未名题集-第一期

本期主题：Moon

Moon 在天文上可以指月球，也可以指行星的卫星们。 2025.2.5

解析已于2025.2.14发布。请在完成习题后查看～

火星的卫星掩食

火星表面上存不存在某个地方，使得可以观测到火星的两颗卫星一颗从另一颗面前经过？如果是，请尝试计算可观测到这一现象的范围。请给出必要的计算和证明，可以假设火星是球体。

做完题了才许打开！
题目灵感：2014年CNAO决赛第17题-月掩星，2015年IAO理论高低年组第3题-很近的相合，2017年IOAA理论第2题-地球凌日带，2019年CNAO决赛第14题-火星的月亮定性解：由开普勒定律可知，火星位于火卫一火卫二的轨道焦点上，同样，火星同时位于火卫一和火卫二的轨道平面上。由立体几何相关知识可知，过同一点的两个平面如果不重合那么必然相交。由此可知火卫一火卫二的轨道在火星的天空中必然有交点。火卫一的公转周期是0.319天，而火卫二的公转周期是1.262天，角速度不同，总有会合的一天。事实解：在讨论中，有同学使用虚拟天文馆进行了模拟。而另一位同学则直接找出了一张NASA的新闻：2013年8月1日，好奇号拍摄到两颗火星卫星的相互掩食的现象[1]。定量解：火卫一和火卫二相对火星的轨道倾角很小（大约1度），可以近似为火卫一火卫二都在火星赤道平面上空。同时，火卫一火卫二的轨道偏心率都远小于1，可以近似为圆轨道。然后画图解三角形就行。解得纬度上限为0.4度左右，即只有赤道附近能看到。

如果月球公转方向颠倒，那么朔望月将会如何变化？

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相同知识点：2015IOAA理论短问题第1题-共振轨道,2013年CNAO决赛选择题第8题，2018年IAO理论低年组第2题-火星大冲，2019年CNAO决赛第14题-火星的月亮根据朔望月（其实就是会合周期）的计算公式：$$\frac{1}{T}=\frac{1}{T_{fast}}-\frac{1}{T_{slow}}$$，代入恒星月27.32天，地球的公转周期365.25 天，可以计算出恒星月。但是，由于月球公转方向颠倒，此时负号变正好，得到朔望月将缩短至约 25.42 天。

将一个铁砧从月球轨道（不在月球引力井内）静止释放，大约需要多久铁砧会落到地球表面？（你可以考虑地球半径，也可以不考虑。）

真的做完了吧？
原题：2017年CNAO决赛选择题第10题。假设铁砧只受万有引力作用，铁砧的运动轨道可以看做是一个极扁的椭圆。那么代入开普勒第三定律，此时半长径为地月距离的一半，而坠落所需的时间是完整轨道周期的一半。大约是4.8天。

如果月球拥有适当的大气（使得月球日夜面温度差距不大），月球的温度大约会是多少？不考虑失控温室效应，假定月球的反射率为0.5，你可以把这样的月球当做黑体。

你一定认真做了，对吧？
原型：2013IOAA理论短问题第1题-地球的表面温度，2015IOAA理论短问题第9题-金星的流量密度，2017年IOAA理论第7题-外星生命(b) 考虑无损耗反照，月球吸收到的太阳辐射仅以两种方式被发射出去：1. 太阳辐射被直接反射出去；2. 太阳辐射被吸收以提高表面温度，并以黑体辐射将这部分辐射发射出去。于是我们可以根据斯特潘-波尔兹曼定律列出： $$4\pi r^2 \sigma T^4 =(1=\alpha) \frac{L_\odot}{4\pi D^2}\pi r^2$$, 其中 $$T$$,$$r$$ 分别是月球表面温度和月球的直径，D 是日地距离（相比日地距离，地月距离可以忽略，所以日月距离近乎为日地距离），$$L_\odot=4\pi r_\odot^2 \sigma T_\odot^4$$是太阳光度。据此可以解得：$$T=(\frac{1-\alpha}{4})^{1/4}\sqrt{\frac{R_\odot}{D}}T_\odot\approx 240K$$