2019年CNAO决赛第14题-火星的月亮

题目

14、（低年组）火星的月亮

火卫一和火卫二是火星的两颗天然卫星，它们的运行方式与地月系统非常相似。最大的不同就是它们的公转轨道几乎位于火星赤道正上方，且非常接近正圆。

（1）计算位于火星赤道附近的一位观测者（可能是某种行动力很差的火星生物），连续两次看到火卫一升起的时间间隔。

（2）计算这位观测者连续两次看到火卫二升起的时间间隔。

（3）描述这位观测者看到火卫一和火卫二升落的方位。

解答

首先需要引入一些“常识”（此处数据从stellarium上获得），火星自转周期$$t_M=24.62h$$，火卫一公转周期$$t_1=7.68h$$，火卫二公转周期$$t_2=30.24h$$。它们都是自西向东旋转。

由题目，观测者和火卫相当于都是在各自的圆上绕转，且三圆是同心圆，题目所问的是会合周期问题。设会合周期为$$T$$，会合周期公式为$$\frac{1}{T}=\frac{1}{T_{fast}}-\frac{1}{T_{slow}}$$，其中$$T_{fast}$$表示转得快的周期，$$T_{slow}$$表示转得慢的周期。

（1）由于火卫一比火星转得快，设会合周期为$$T$$，则$$\frac{1}{T}=\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_M}$$，

故$$T=\frac{1}{\frac{1}{7.68}-\frac{1}{24.62}}=11.16h$$。

（2）由于火卫二比火星转得慢，则$$\frac{1}{T}=\frac{1}{t_M}-\frac{1}{t_2}$$，

故$$T=\frac{1}{\frac{1}{24.62}-\frac{1}{30.24}}=132.47h$$。

（3）对于火星赤道上的观测者，因为火卫一、火卫二的轨道都在赤道面上，又因为火卫一公转速度比火星自转速度快，火卫二公转速度比火星自转速度慢，所以观测者会看到火卫一从正西升起，在正东落下，火卫二则从正东升起，在正西落下。