2024-2025学年CNAO决赛第17题-星系喷流

题目

星系的高速喷流若朝着地球方向运动，则可能观测到视超光速运动(superluminalmotion)现象。如图5所示，喷流中的气体团块以速度$$v$$从$$O$$点运动到$$P$$点，运动方向与视线方向有一定夹角$$\theta$$，由于光从$$O$$点和$$P$$点到达观测者的时间有差别，导致团块横向运动(垂直于视线方向)的速度在观测者看来可能超过光速。有射电望远镜观测到一个距离为 2000Mpc 的活动星系核的喷流中的气体团块从图像上看(图6)，其视横向运动角速度为-0.1毫角秒/年。假设喷流运动方向与视线方向的夹角为$$\theta=10°$$。回答时速度用光速c表示，保留两位小数。

(1)求团块的视横向速度 $$v_{\text{app}}$$

(2)记$$\beta = \frac vc, \beta_{\text{app}}=\frac{v_{\text{app}}}c$$，证明如下关系式

$$\beta=\frac{\beta_{\text{app}}}{\sin \theta + \beta_{\text{app}} \cos \theta}$$

(3)计算题中团块真实运动速度 $$v$$。

(4)由第2小问可知，$$v$$是喷流方向与视线方向的夹角$$\theta$$的函数。若我们不知道$$\theta$$的大小，那么题目中所述喷流真实速度$$v$$的最小值是多少?

2025CNAOTheory17

解答

(1)设团块运动时间$$t$$，星系光到达地球时刻$$t_1$$，喷流光到达地球时刻$$t_2$$，星系原始距离地球$$d$$.

由匀速直线运动相关结论可知：$$t_1=\frac{d}{c}$$

喷流运动时间t后：$$d'=d-vt\cos \theta$$, 对于光到达时刻有$$t_2=t+\frac{d'}{c}=t+\frac{d}{c}-t\cdot vt\cos \theta$$

地球看来团块移动距离：$$\Delta x = vt\sin \theta$$

地球看来团块运动时间：$$\Delta t = t_2 - t_1 = t(1 - \frac{v}{c}\cos \theta)$$

地球看来团块运动速度即团块视速度：$$v_\text{app}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{vc\sin \theta}{c-v \cos \theta}$$

(2)由第一题结论$$v_\text{app}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{v\sin \theta}{1-\frac{v}{c} \cos \theta}$$两边同时除以$$c$$可得：

$$\beta_\text{app}=\frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}$$

移项，得到关于$$\beta$$的一次方程$$(1-\beta \cos \theta)\beta_\text{app} = \beta \sin \theta$$

解得：$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$

(3)由角速度结论：$$v_\text{app}=\omega d$$：

代入数据:

$$\omega = 0.1 \text{mas} \cdot \text{yr}^{-1} = 0.1 \times \frac{1}{206265 \times 10^3} \text{rad} \cdot \text{yr}^{-1} = \frac{1}{206265 \times 10^4} \text{rad} \cdot \text{yr}^{-1}$$;

$$d = 2000 \text{Mpc} = 2.0 \times 10^9 \text{pc} = 6.52 \times 10^9 \text{ly}$$

可得$$v_\text{app} \approx 3.16 \text{c} $$，即$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$

代入$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$可得$$\beta\approx 0.96，v \approx 2.89 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

(4)对分母使用辅助角公式：

$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}=\frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}\sin(\theta + \varphi)}\ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}}$$(其中 $$\tan \varphi = \beta_\text{app}$$)

代入(3)中已证的$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$可知：$$\beta \ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}} \approx 0.95, v \approx 2.86 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

(解答由BJG10 GEJ_CaCO3III给出，目前还没检查，若有错误欢迎指正)