2024年IOAA理论第5题-宇宙微波背景

	由ai生成 本页内容由ai生成。请帮助校对和完善这个页面。

英文题目

T5. CMB (10 points)

The Cosmic Microwave Background (CMB) is radiation emitted during the early Universe. It is reasonably homogeneous and isotropic, and well described by a black-body radiation spectrum. Its emission spectrum today has a peak at a temperature of approximately $$T_{\text{today}} \sim 3\ \text{K}$$, as measured by the COBE satellite FIRAS instrument.

(a) (3 points) What is the redshift ($$z$$) at which the CMB spectrum has a peak at the infrared wavelength of $$\lambda_{\text{IR}} \sim 0.1\ \text{mm}$$?

(b) (7 points) By assuming a spatially flat, matter-dominated Universe, what is the age of the Universe corresponding to the redshift of the previous part?

中文翻译

T5. 宇宙微波背景（10分）

宇宙微波背景（CMB）是早期宇宙发出的辐射。它具有较好的均匀性和各向同性，并能用黑体辐射谱很好地描述。根据COBE卫星FIRAS仪器的测量，其当前发射谱的峰值温度约为$$T_{\text{today}} \sim 3\ \text{K}$$。

(a) (3分) 当CMB光谱的红外波段峰值波长为$$\lambda_{\text{IR}} \sim 0.1\ \text{毫米}$$时，对应的红移$$z$$是多少？

(b) (7分) 假设宇宙是空间平坦且物质主导的，计算对应上述红移时宇宙的年龄。

官方解答

(a) 解答：

根据维恩位移定律：

$$\lambda_{\text{today}} \cdot T_{\text{today}} = b$$

其中$$b$$为维恩位移常数。已知当前CMB的峰值温度$$T_{\text{today}} \approx 3\ \text{K}$$，对应的波长为：

$$\lambda_{\text{today}} \approx \frac{b}{T_{\text{today}}} \approx 1\ \text{毫米}$$

当该波长在红移$$z$$下对应于红外波长$$0.1\ \text{毫米}$$时：

$$1 + z = \frac{\lambda_{\text{today}}}{\lambda_{\text{IR}}} = \frac{1\ \text{毫米}}{0.1\ \text{毫米}} = 10$$

因此，红移为：

$$\boxed{z = 9}$$

(b) 解答：

对于物质主导的平坦宇宙，尺度因子$$a$$与红移的关系为：

$$a = \frac{1}{1+z} = 0.1$$

哈勃参数满足：

$$H^2 = H_0^2 \left( \frac{\Omega_m}{a^3} \right)$$

在纯物质主导的假设下（$$\Omega_m = 1$$），宇宙年龄的积分表达式为：

$$t = \frac{1}{H_0} \int_0^{0.1} \frac{\sqrt{a}}{1} da = \frac{1}{H_0} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} \bigg|_0^{0.1}$$

代入哈勃常数$$H_0 = 70\ \text{km/s/Mpc}$$，并转换单位后计算得：

$$t \approx \frac{2 \times (0.1)^{3/2}}{3 \times 70} \times \frac{3.086 \times 10^{22}\ \text{m/Mpc}}{1000\ \text{m/s}}$$

结果为：

$$\boxed{t \approx 0.3\ \text{Gyr}}$$