2023-2024学年CNAO决赛第4题-近邻星系

题目

在近邻宇宙中，某一正向近圆星系的直径为 $$40\,\text{kpc}$$，观测到它的角直径为 $$51.566\,\text{arcsec}$$。

（1）此星系的角度径距离是多少？

（2） 若此星系光谱存在$${H_\alpha}$$发射线，则观测到的$${H_\alpha}$$发射线的波长为多少？该星系固有距离、角直径距离、光度距离近似相等。

（3） 观测到此星系的全波段流量为 $$3.11 \times 10\,\text{Wpc}^{-2}$$，求此星系的热光度。

（4） （仅高年组）已知此星系的中心黑洞质量为 $$M = 10^9 M_{\odot}$$，求此星系的爱丁顿比率（Eddington ratio）。

解答

（1）将角直径转换为 rad 单位， \[ \theta = \frac{51.566\,\text{arcsec}}{60 \times 60} \times \frac{\pi}{180} = 0.00025\,\text{rad}, \] 距离为 \[ d = \frac{D}{\theta} = 160\,\text{Mpc}. \]

（2）利用 \[ \frac{v}{c} = \frac{H_0 d}{c}, \] 得到 \[ \frac{v}{c} = 0.04. \] 近邻宇宙不用考虑相对论效应，$$z = \frac{v}{c} = 0.04$$，观测波长与实验室波长的关系为 \[ \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{lab}}} = z + 1 = 1.04. \] H$$\alpha$$ 实验室波长为 $$656.28\,\text{nm}$$，所以观测到的波长为 \[ \lambda_{\text{obs}} = 682.53\,\text{nm}. \]

（3）全波段流量与热光度的关系为 \[ F = \frac{L_{\text{bol}}}{4 \pi d^2}, \] 因此热光度为 \[ L_{\text{bol}} = 10^{42}\,\text{erg/s}. \]

（4）爱丁顿光度为 \[ L_{\text{Edd}} = 1.26 \times 10^{38} \left(\frac{M_{\text{BH}}}{M_{\odot}}\right)\,\text{erg/s}, \] 因此爱丁顿比率为

\[ \frac{L_{bol}}{L_{Edd}}=0.079 \]