2023-2024学年CNAO决赛第2题-双星系统

题目

天狼星是地球的天空中除了太阳外最明亮的恒星。不过它并不像我们的太阳一样“孤身一星”，而是处于双星系统中。这对双星分别名为天狼 A 和天狼 B，正绕着它们的质心旋转。天狼 A 和 B 的物理性质如下：

឴឴឴឴឴឴឴឵឵឵឵឵឵౼౼౼౼౼天狼 A౼౼天狼 B

半径 \( R \) \( 1.7R_\odot \) \( 0.0084R_\odot \)

质量 \( M\) \( 2M_\odot \) \( 1M_\odot \)

光度 \( L \) \( 25L_\odot \) \( 0.056L_\odot \)

现在已知天狼 B 相对于天狼 A 运动的轨道参数如下：

周期 \( P \) 50 年

半长轴 \( a \) 7.5 角秒

偏心率 \( e \) 0.6

（1）天狼 A 相对于天狼 B 运动的轨道是什么形状（写出曲线的分类即可）？

（2）天狼 A 和天狼 B 绕它们的质心的轨道的半长轴分别为多少（以角秒为单位）？写明计算的过程和理由。

（3）除了大家熟悉的行星运动定律，开普勒还得出一个方程：\( M = E - e \sin E \times \frac{180^\circ}{\pi} \) 来计算行星的位置，其中 \( e \) 为轨道偏心率，\( E \) 为偏近点角，\( M \) 为平近点角，是行星从近日点运动到当前时刻，一个假想行星转过的角度。这一假想行星以真行星轨道的半长轴为半径绕太阳做圆周运动。请问当天狼 A 具有偏近点角 \( E = 30^\circ \) 时，距离其上一次与天狼 B 的相距最近过去了多久（以年计）？写明计算的过程和理由。

解答

(1) 椭圆。轨道参数偏心率不为 0，且小于 1，是椭圆。

(2)若了解质心的计算方式，则可知质心位于天狼 A 和 B 的连线上，且位于靠近天狼 A 的三分之一处。天狼 A 的半长轴应为二者相对运动的半长轴的三分之一，天狼 B 为三分之二，分别为 2.5 角秒和 5 角秒。

若仅了解牛顿运动定律，因为二者受力相同，但质量不同，且加速度与运动（即轨道）的尺度成正比，即质量与运动的尺度成反比（\( a = \frac{f}{m} \)）。因此二者半长轴应为一比二，天狼 A 轨道为天狼 B 的二分之一大，其半长轴分别为 2.5 角秒和 5 角秒。

(3)天狼 A 的近日点（近点）即为距离天狼 B 的最近点。因此，已知偏近点角为 30 度。平近点角为： \[ M = 30^\circ - \frac{0.6 \times \sin 30^\circ}{\pi} \times 180^\circ \approx 12.8^\circ. \] 由开普勒第二定律可知，绕太阳的圆周运动是匀速的，因为其与太阳的连线总是其半径。因此在开普勒方程中，假想行星转过的角度 \( M \)（即平近点角）除以 360 度乘以轨道周期即为相应真行星从近日点运动到现在所经过的时间。因为假想行星的半径和真行星的半长轴相同，其周期与真行星相同。那么对于天狼 A 来说，相应的假想天狼 A 运动 12.8 度所需的时间为： \[ \frac{12.8}{360} \times 50 \, \text{年} \approx 1.78 \, \text{年}. \] 因此，当天狼 A 具有偏近点角 30 度时，距离其上一次与天狼 B 的相距最近过去 1.78 年。