2021年IOAA理论第11题-抛射体的最小速度

英文题目

Minimum velocity of a projectile (15 points).

11.1 What is the minimum speed with which a projectile must be launched from the Earth's surface at the equator such that the projectile reaches the north pole?

12.0pt

11.2 Find the eccentricity of the trajectory described by the projectile.

3.0pt

You may ignore the rotation of the Earth. Also assume the earth surface is spherical.

Reference Chart

中文翻译

抛射物的最小速度（15分）

11.1 考虑一个从地表赤道处发射并最终落到北极点的抛射物。其需要的最小速度是多少？（12分）

11.2 求这条轨道的偏心率（3分）

你可以忽略地球自转并认为地球是标准的球。

参考图见上。

解答

上图为示意图

11.1

由开普勒第一定律知，E、N在一椭圆上，O为椭圆焦点。设其另一焦点为F，作EO、NO、EF、NF。

则由椭圆几何性质知，$$EO+NO+EF+NF=4a$$，a为椭圆半长径。

又有：$$EO=NO=R_{Earth}$$，$$EF+NF\geqslant EN=\sqrt{2}R_{Earth}$$

同时，$$E_{total}=E_k+E_p=-\dfrac{GMm}{R_{Earth}}+\dfrac{1}{2}mv^2=-\dfrac{GMm}{2a}$$，所以想算得最小速度，则需算得最小的a。

即取$$EF+NF=EN$$，$$4a=(2+\sqrt{2})R_{Earth}$$。将a代回能量中，算得$$v=7.2km/s$$

11.2

由几何性质知，$$OF=2c$$，所以$$c=\dfrac{\sqrt{2}}{4}R_{Earth}$$，则$$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}-1$$