2017年CNAO决赛第16题-视差

16、（低年组和高年组）视差

  假设你坐着黑摩的来到一颗距离地球10pc的行星上。这颗行星在环绕一颗类似太阳的恒星的近圆轨上运动。在当地1“年”的时间里，你观测到天空中的各恒星相对于平均位置有11角秒的最大摆动。请问在这颗行星上所观测到的太阳的周年视差是多少？

解答

划重点“各恒星相对平均位置有11角秒的最大摆动”。

能造成恒星相对平均位置有摆动的有很多，但是所有恒星在1年内有相对平均位置一定数量的摆动也只有周年光行差。

那么根据光行差的成因，以及小量近似，我们有下式：

$$κ/approx tan κ=/frac{v}{c}$$

其中$$v$$为行星的平均公转速度，$$c$$为光速。注意$$θ$$的单位！！！

然后划重点“类似太阳的恒星”“近圆轨”。我们可以利用开普勒第三定律轻松的得到这颗行星的轨道半径：

（1）$$/frac{a^3]{T^2}=/frac{a_{earth}^3}{T_{earth}^2}$$

（2）$$T=/frac{2πa}{v}$$

化简有：

$$a=/frac{4π^2a_{earth}^3}{(κ*c}^2*T_{earth}^2}$$

注意单位，带入数据，得a=3.44AU

然后根据周年视差的定义（以及小量近似），得出

$$θ/approx tan θ =/frac{a}{d}$$=0.344"