2017年CNAO决赛第16题-视差

题目

16、（低年组和高年组）视差

  假设你坐着黑摩的来到一颗距离地球10pc的行星上。这颗行星在环绕一颗类似太阳的恒星的近圆轨上运动。在当地1“年”的时间里，你观测到天空中的各恒星相对于平均位置有11角秒的最大摆动。请问在这颗行星上所观测到的太阳的周年视差是多少？

解答

划重点“各恒星相对平均位置有11角秒的最大摆动”。

能造成恒星相对平均位置有摆动的有很多，但是所有恒星在1年内有相对平均位置一定数量的摆动也只有周年光行差。

那么根据光行差的成因，以及小量近似，我们有下式：

$$κ\approx tan κ=\frac{v}{c}$$

其中v为行星的平均公转速度，c为光速。注意κ的单位是弧度。

然后划重点“类似太阳的恒星”“近圆轨”。我们可以利用开普勒第三定律得到这颗行星的轨道半径：

（1）$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{a^3_{earth}}{T^2_{earth}}$$

（2）$$T=\frac{2πa}{v}$$

化简有：

$$a=\frac{4π^2*a^3_{earth}}{(κ*c)^2*T^2_{earth}}$$

注意单位，带入数据，得a=3.44AU

然后根据周年视差的定义（以及小量近似），得出

$$θ\approx tan θ =\frac{a}{d}=0.344"$$

讨论

本题目“相对于平均位置有11角秒的最大摆动”的条件是有问题的，因为强行忽略了另一种视差——三角视差的影响。其实，在考虑三角视差的情况下，这道题也是可以解答的。

光行差是由光源和观测者的相对运动引起的。由于光速是有限的，光从发出到接收存在时间差，因此观测者看到的光源会落后于相对运动。恒星的光行差与恒星的速度和地球的速度都有关，但恒星的速度通常不会剧烈变化，因此“相对于平均位置”的光行差就只跟行星的公转速度有关了。所以在这样的假设下，任何恒星的光行差都是相等的，等于v/c。

三角视差与行星的速度无关，而是与行星的位置以及恒星的距离有关。因此不同的恒星视差不是不同的。

这两个视差的合成不是简单地加和，因为两者方向不同。上文已经说了，光行差的方向与行星速度方向相同，三角视差与行星相对恒星的位置矢量方向相反。由于行星的轨道接近圆形，行星的速度与位置矢量保持一个90°的夹角。所以，对于黄极附近的恒星，光行差和三角视差可以采用勾股定理进行叠加：

一年之内恒星的光行差和视差的变化如下图：（点开可动）

而对于黄纬不是90°的恒星来说，其视差和光行差均在南北方向被压缩，压缩的比例为sinβ（β为黄纬）。此时视差和光行差的夹角不再是常数，但这不影响它们的矢量和可以在东西方向达到最大值（因为两个分矢量只有南北方向被压缩了）。总的画面就是上面的图像被整体压扁了，但总视差的最大值依然保持不变。（点开可动）

即使不考虑黄纬带来的影响，只定性讨论的话，结论也很明显，总视差一定不小于光行差，三角视差越大，总视差越大。

因此，题目如果把“相对于平均位置有11角秒的最大摆动”更改为“相对于平均位置有11角秒的最小摆动”，不仅能更明确地体现光行差的性质，并且可以考察选手对这两种视差的细节进行更深入的思考，使这道题变成一道更有趣的题目。因为这个摆动是光行差和三角视差的合成，因此摆动最小代表着这个天体距离极远，没有三角视差，那么剩余的11角秒就完全是光行差。标答也无需进行调整。