“2017年CNAO决赛第16题-视差”的版本间的差异
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2019年10月9日 (三) 17:16的版本
题目
16、(低年组和高年组)视差
假设你坐着黑摩的来到一颗距离地球10pc的行星上。这颗行星在环绕一颗类似太阳的恒星的近圆轨上运动。在当地1“年”的时间里,你观测到天空中的各恒星相对于平均位置有11角秒的最大摆动。请问在这颗行星上所观测到的太阳的周年视差是多少?
解答
划重点“各恒星相对平均位置有11角秒的最大摆动”。
能造成恒星相对平均位置有摆动的有很多,但是所有恒星在1年内有相对平均位置一定数量的摆动也只有周年光行差。
那么根据光行差的成因,以及小量近似,我们有下式:
$$κ\approx tan κ=\frac{v}{c}$$
其中$$v$$为行星的平均公转速度,$$c$$为光速。注意$$θ$$的单位!!!
然后划重点“类似太阳的恒星”“近圆轨”。我们可以利用开普勒第三定律轻松的得到这颗行星的轨道半径:
(1)$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{a^3_{earth}}{T^2_{earth}}$$
(2)$$T=\frac{2πa}{v}$$
化简有:
$$a=\frac{4π^2*a^3_{earth}}{(κ*c)^2*T^2_{earth}}$$
注意单位,带入数据,得a=3.44AU
然后根据周年视差的定义(以及小量近似),得出
$$θ\approx tan θ =\frac{a}{d}$$=0.344"