2016年CNAO决赛第15题—金星勾陈一

题目

15、（低年组和高年组）金星勾陈一 假设在未来人类将金星的大气进行了彻底改造，令其变得和地球一样宜居，然后大规模移民金星。金 星公转轨道可视为圆轨道。

(1）请问居住在金星北纬 60° 的观测者能看到勾陈一星吗？并解释原因。

(2） 金星上的居民也想观测到月亮刚好把太阳完全挡住的日全食，但金星没有天然卫星，于是金星 居民快定发射一个球形的人造卫星来实现这一效果。并且，他们希望该卫星绕金星的公转周期为 30天。 请问该卫星的轨道距离金星表面多高，该卫星直径应为多大？

解答

解：(1）看不到。黄赤交角可以视为 180°的话，就可以认为金星是完全倒过来自转的，金星的北天 极对应南黄极，南天极对应北黄极。所以，金星北纬 60°的居民，相当于居住在黄纬的南纬 60° ，只能看到黄纬的北纬30°以南的星空。而北黄极位于天龙座，离勾陈一（地球的北极星）的角距离远小于 60° 由此可知勾陈一的黄纬大于北纬 30°，因此不能被看到。

(2）在地球上看，太阳祝直径为 30 角分，到太阳 lau，所以在金星上看，太阳视直径为 $$\dfrac{30}{0.72}= 41.7'$$ 。因此人造卫星的视直径也要是 41.7 角分。人造卫星绕金星做匀速圆周运动，万有引力产生向心力， 因此：$$\dfrac{GMm}{r^2}=mr\omega^2$$，式中G为万有引力常数，r为卫星到金星质心的距离，M为金星质量，m为卫星质量， 。为卫星的角速度。又有：$$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$$，式中T为卫星公转周期。两式联立并整理可得：$$r^3=\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}$$ 带入数据计算可得：$$r=3.81×10^5km$$。因此，从金星表面 上看，卫星离观测者的距离为$$r'=r-r_{V}=3.75×10^5km$$ 在这个距离上，41.7角 分对应弧度为：$$41.7×60/206265 = 0.01213$$。因此该卫星的直径为：$$3.75×10^5km ×0.01213 = 4549km$$