2015IOAA理论短问题第8题-亮温度

英文题目

A strong continuum radio signal from a celestial body has been observed as a burst with a very short duration of 700 μs. The observed flux density at a frequency of 1660 MHz is measured to be 0.35 kJy. If the distance from the source is known to be 2.3 kpc, estimate the brightness temperature of this source.

中文翻译

一个天体发出强烈的连续谱射电信号脉冲，持续时间为700$$\mu s$$。在频率为1660Mhz出测得其流量密度为0.35kJy。如果这个射电源的距离为2.3kpc，估计这个源的亮温度

标准答案（英文）

part1

• (10%)

During 700μs,the radio wave travels about $$r = ct = 3 × 10^{10} × 700 × 10^{-6} = 2.1 × 10^{7} cm$$. The region from where the burst originates must be no larger than the distance that light can travel during the duration of the burst. So we estimate that r is the size of the source. ($$r = 2.1 × 10^{7} cm, R = 2.3 kpc$$)

• (10%)

   Flux density observed at 1660 MHz is

$$ \begin{aligned} \mathrm{S}_{1660 \mathrm{MHz}} &=0.35 \mathrm{kJy} \\ &=0.35 \times 10^{3} \times 10^{-23} \mathrm{ergs} \mathrm{s}^{-1} \mathrm{~cm}^{-2} \mathrm{~Hz}^{-1} \\ &=3.5 \times 10^{-21} \text { ergs s } \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{~Hz}^{-1} \end{aligned} $$

part2

• (30%)

   The solid angle subtended by this source of radiation is

$$ \begin{aligned} \Omega=\pi(r / R)^{2} &=3.14\left(2.1 \times 10^{7} / 2.3 \times 10^{3} \times 3.086 \times 10^{18}\right)^{2} \\ &=2.75 \times 10^{-29} \mathrm{sr} \end{aligned} $$

part3

• (20%)

   The flux density is related to the total brightness by the relation:

$$ \mathrm{S}_{1660 \mathrm{MHz}}=\mathrm{B}_{1660 \mathrm{MHz}} \Omega $$

• (20%)

   while at this frequency, the total brightness can be approximated from the Rayleigh-Jeans formula:

$$ \mathrm{B}_{1660 \mathrm{MHz}}=2 k \mathrm{~T}_{\mathrm{b}} \mathrm{\nu}^{2} / \mathrm{c}^{2} $$

• (10%)

   where Tb is the brightness temperature. Then we have:

$$ \begin{aligned} \mathrm{T}_{\mathrm{b}} &=\mathrm{S}_{1660 \mathrm{MHz}} \mathrm{c}^{2} / 2 \mathrm{k\nu}^{2} \Omega \\ \mathrm{T}_{\mathrm{b}} &=\left[3.5 \times 10^{-21} \times\left(3 \times 10^{10}\right)^{2}\right] /\left[2 \times\left(1.38 \times 10^{-16}\right) \times\left(1660 \times 10^{6}\right)^{2} \times\left(2.75 \times 10^{-29}\right)\right] \\ &=1.5 \times 10^{26} \mathrm{~K} \end{aligned} $$

标准答案（中文）

part1

• (10%)

在700μs内，电磁波经过距离为$$r = ct = 3 × 10^{10} × 700 × 10^{-6} = 2.1 × 10^{7} cm$$。脉冲发出的区域的半径一定不大于光在脉冲持续时间内经过的距离。所以我们用r作为源的半径进行计算。（$$r = 2.1 × 10^{7} cm, R = 2.3 kpc$$）

• (10%)

   在1660Mhz频率处，流量密度为

$$ \begin{aligned} \mathrm{S}_{1660 \mathrm{MHz}} &=0.35 \mathrm{kJy} \\ &=0.35 \times 10^{3} \times 10^{-23} \mathrm{ergs} \mathrm{s}^{-1} \mathrm{~cm}^{-2} \mathrm{~Hz}^{-1} \\ &=3.5 \times 10^{-21} \text { ergs s } \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{~Hz}^{-1} \end{aligned} $$

part2

• (30%)

   在观测者处，源所张立体角为

$$ \begin{aligned} \Omega=\pi(r / R)^{2} &=3.14\left(2.1 \times 10^{7} / 2.3 \times 10^{3} \times 3.086 \times 10^{18}\right)^{2} \\ &=2.75 \times 10^{-29} \mathrm{sr} \end{aligned} $$

part3

• (20%)

   流量密度与总光度有以下关系

$$ \mathrm{S}_{1660 \mathrm{MHz}}=\mathrm{B}_{1660 \mathrm{MHz}} \Omega $$

• (20%)

   在该频率下，总光度可以用瑞利-金斯公式近似得到：

$$ \mathrm{B}_{1660 \mathrm{MHz}}=2 k \mathrm{~T}_{\mathrm{b}} \mathrm{\nu}^{2} / \mathrm{c}^{2} $$

• (10%)

   其中Tb为亮温度。于是我们有

$$ \begin{aligned} \mathrm{T}_{\mathrm{b}} &=\mathrm{S}_{1660 \mathrm{MHz}} \mathrm{c}^{2} / 2 \mathrm{k\nu}^{2} \Omega \\ \mathrm{T}_{\mathrm{b}} &=\left[3.5 \times 10^{-21} \times\left(3 \times 10^{10}\right)^{2}\right] /\left[2 \times\left(1.38 \times 10^{-16}\right) \times\left(1660 \times 10^{6}\right)^{2} \times\left(2.75 \times 10^{-29}\right)\right] \\ &=1.5 \times 10^{26} \mathrm{~K} \end{aligned} $$

中文解析（by 侯志鹏）

本题目的是通过观测得到的源的流量密度与持续时间估计源的亮温度，即通过观测到的流量密度计算源的辐射强度，再由辐射强度计算亮温度。要知道源的辐射强度，还需知道源的大小。本题给出了脉冲的持续时间，因此可以根据持续时间估计源的大小，直接的办法是假定源的半径小于光在脉冲持续时间内经过的距离。

设源的半径为 r，源的距离为 R，辐射强度为 $$B_{\nu}$$，接收到的流量密度为 $$S_{\nu}$$

$$B_{\nu}$$ 与 $$S_{\nu}$$ 的关系为：

$$S_{\nu}=B_{\nu}\cdot\Omega$$， $$\Omega=\pi \frac{r^{2}}{R^{2}}$$为源所张立体角

在射电波段，普朗克公式可近似为瑞利-金斯公式：

$$B_{\nu}=\frac{2\nu^{2}}{c^{2}}kT$$

该公式中辐射强度与热力学温度为线性关系，因此在射电天文领域常用亮温度来估计展源的亮度, 从该公式计算出的温度称为亮温度。

于是得到：

$$T_{b}=\frac{S_{\nu}c^{2}}{2k\nu^{2}\Omega}$$

代入数值得到最终结果。

本题易错点在于，部分同学可能先根据流量密度算出总光度，再由总光度计算出源表面的流量密度，并将源表面的流量密度代入瑞丽-金斯公式进行计算。这种做法混淆了流量密度与辐射强度的概念，前者的定义为单位面积的辐射功率，后者的定义为单位面积在单位方向上的辐射功率，两者关系为$$F_{\nu}=\pi B_{\nu}$$