2013年CNAO决赛第19题-双星

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19、（高年组）双星

天文学家将包围在恒星周围的特定空间称为洛希瓣，在这个范围内的物质会受到中心天体的引力约束而在轨道上作环绕运动。当恒星吸附的物质膨胀至洛希瓣的范围之外，它们将摆脱恒星引力的束缚，如果这种情况发生在双星系统中，逃逸的物质将经由拉格朗日点落入另一颗子星的引力范围内。某双星系统中两颗恒星围绕它们的质心在同一直线上旋转且正在发生物质交流，已知某时刻两颗恒星质量分别为m₁和m₂(m₁>m₂)，两个子星的距离为r，引力常量为G，不考虑系统与外部的物质交流。

1)求该时刻系统轨道周期T。

2)如果一段时间后，发现轨道周期T变短了(△T＜＜T)，

试通过计算确定两颗天体是相互靠近还是远离，物质转移的方向是从m₁到m₂还是从m₂到m₁。

提示：

(1+x)(1+y)≈1+x+y，当x＜＜1，y＜＜1 时。

(1+x)ⁿ≈1+nx，当x＜＜1 时。