2020年CNAO决赛第18题-新智彗星颗粒的命运

题目

18.（低年组和高年组）新智彗星颗粒的命运

　　2020年的新智彗星（Neowise）吸引了无数眼球。一般彗星会释放出不同尺寸的颗粒，假设一个脱离了彗核的彗星颗粒（其尺寸为D）在太阳系内只受到太阳的万有引力和太阳辐射压力的作用，则存在一个彗星颗粒临界尺寸D₀，使得该颗粒受到的引力和辐射压力平衡，请估算D₀的值，并说明尺寸大于D₀和小于D₀的Neowise彗星颗粒的命运将分别是什么？

解答

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假设彗星距太阳的距离为R，彗星颗粒的典型尺寸为d，典型质量为m。

假设该颗粒为球球形，其半径为r=d/2；假设它100%反射所有照在它上面的光。

该颗粒所受的力为：太阳的引力$$F_g$$，太阳光的辐射压力$$F_p$$。其中，$$F_g=G\frac{mM_s}{R^2}$$。

辐射压的计算

假设太阳光的光子打在颗粒上全反射，由此产生的光子动量变化为：$$\Delta p=2\frac{hv}{c}$$。其中h，v，c分别为普朗克常数、光的频率和光速。

由此可推出N个光子打在彗星颗粒上所产生的力为：$$F=2\frac{Nhv}{c}\pi r^2$$。

由Nhv=E可得，$$F=2\frac{E}{c}\pi r^2$$。

而对应的光压则为：$$p=2\frac{E}{c}$$。

因为$$E=\frac{L}{4\pi r^2}$$，所以彗星颗粒受到的光推力为：$$F_p=pS=2\frac{L}{4\pi R^2c}\times\pi r^2=\frac{Lr^2}{2cR^2}$$，其中L为太阳光度。

在本题中如果用这个式子进行后续计算也算对。但是严格来讲，在考虑到彗星颗粒为球形时，实际的光推力会比上式小一半，即：$$F_p=\frac{Lr^2}{4cR^2}$$。

由于上式的推到需要用到微积分，推导过程在这里省略。在实际比赛中，以上两个公式都被认为是正确的。

综上所述，从彗星脱离出来的颗粒所受的合力为：$$F=F_g-F_p=G\frac{mM_s}{R^2}-\frac{Lr^2}{4cR^2}=G\frac{m}{R^2}(M_s-\frac{Lr^2}{4cGm})$$。

两力平衡时，则可得到临界尺寸$$D_0$$。

引入密度ρ：$$m=\rho\cdot\frac{4\pi r^3}{3}$$，则可由上式推出对r的尺寸限制：$$r=\frac{3L}{16\pi c\rho GM_s}$$。

其中，太阳的光度L我们可以从太阳常数在一个au的数值得到（$$A=1376W/m^2$$）：

$$L=A\times4\pi(au)^2$$。

因此可得：$$r=\frac{3A\cdot(au)^2}{4\pi c\rho GM_s}$$。

假设颗粒的密度与彗星密度类似，约为200-400kg/m³。在此我们取平均值，即$$\rho=300kg/m^3$$。

代入后可得：$$r\approx1.9\times10^{-6}m$$，即：$$D_0=2r\approx3.8\times10^{-6}m$$。

在此我们只取一位有效数字，则：$$D_0=4\times10^{-6}m=4\mu m$$。（不考虑颗粒球形积分的尺寸比这个数字大一倍，即为8微米。两个结果都算对。）

彗星颗粒的命运是：尺寸大于4微米的颗粒将会留在太阳系内，小于4微米的颗粒将会被太阳的辐射压推出太阳系。█