2020年CNAO决赛第16题-灶神星冲日

题目

16.（低年组和高年组）灶神星冲日

　　对于地球来说，当行星或小行星运行到与太阳相反的方向时，我们称其为冲日。对于火星或者小行星带的天体，由于距离地球较近，近日点的冲日就会比一般的冲日更亮，也就是所谓的“大冲”。灶神星（Vesta）是小行星带中最大的成员之一，它于1807年3月29日被德国天文学家奥伯斯发现。灶神星的近日点和远日点分别为2.151AU和2.572AU。上次大冲发生在2018年6月20日，视星等达到5.1等。假设灶神星轨道和地球轨道共面，且其轨道不受火星和木星的影响。

(1) 计算下次仍然发生在5-6月左右的大冲的年月日。

(2) 计算灶神星在远日点冲日（方位天文学中，近日点冲日才叫“大冲”，非近日点冲日只叫做“冲”，没有“小冲”一词）时的视星等。

解答

（1）根据开普勒第三定律的近似公式，计算灶神星公转周期：$$T_v=(a_J^3/a_E^3)^{\frac{1}{2}}=3.6290yr$$。

其中，$$a_J=\frac{2.151+2.572}{2}=2.3615au$$，$$a_E=1au$$。

根据会合周期公式，计算灶神星会合周期：$$\frac{1}{S_{VE}}=\frac{1}{T_E}-\frac{1}{T_V}$$，$$S_{VE}=1.38038yr$$。

5个会合周期后，即6.9019yr，会迎来发生在5至6月的大冲。

$$365.2422\times6.9019yr=2520.865\approx2521day$$

2018年后的6.9年内，有2020和2024两个闰年，因此：2521-(365×7+2)=-36。

由此可得，下次大冲发生在2025年5月15日，但由于灶神星轨道实际有倾角，冲日的具体日期可能有偏差。

（2）灶神星冲日时的视星等与其到地球和太阳的距离有关。

$$m_{近}-m_{远}=-2.5\log{\frac{F_{近}}{F_{远}}}$$，其中$$F\propto\frac{1}{d^2r^2}$$，d和r分别为它到地球和太阳的距离。

$$\frac{F_{近}}{F_{远}}=\frac{(2.572\times1.572)^2}{(2.151\times1.151)^2}=2.667$$，$$m_{远}=m_{近}+2.5\log{\frac{F_{近}}{F_{远}}}=6.2$$。