“2020年CNAO决赛第15题-主星序占比”的版本间的差异
(2020年CNAO决赛第15题-主星序占比) |
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15.(仅高年组)主序星占比 | 15.(仅高年组)主序星占比 | ||
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假设诞生的恒星中最大和最小质量分别是100和0.08个太阳质量,依据Salpeter初始质量函数估算银河系中类太阳G型主序星占多少比例。 | 假设诞生的恒星中最大和最小质量分别是100和0.08个太阳质量,依据Salpeter初始质量函数估算银河系中类太阳G型主序星占多少比例。 | ||
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Salpeter初始质量函数是:$$\frac{dN}{dM}=kM^\alpha$$,这里k是归一化常数,指数α =2.35。 | Salpeter初始质量函数是:$$\frac{dN}{dM}=kM^\alpha$$,这里k是归一化常数,指数α =2.35。 | ||
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对上式积分可以得到:$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$,这里$$M_{lower}^{\alpha+1}$$和$$M_{upper}^{\alpha+1}$$分别代表最小恒星质量0.08和最大恒星质量100。 | 对上式积分可以得到:$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$,这里$$M_{lower}^{\alpha+1}$$和$$M_{upper}^{\alpha+1}$$分别代表最小恒星质量0.08和最大恒星质量100。 | ||
==解答== | ==解答== | ||
根据提示中给出的$$N=\frac{k}{\alpha+1} [M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}]$$,进行归一化处理,即N=1,同时把0.08和100代入其中,可以计算得到k=0.0446。 | 根据提示中给出的$$N=\frac{k}{\alpha+1} [M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}]$$,进行归一化处理,即N=1,同时把0.08和100代入其中,可以计算得到k=0.0446。 | ||
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因此,$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$可以改写成:$$\frac{N}{N_{tot}}=0.033\times[M^{\alpha+1}]_{M_{upper}}^{M_{lower}}$$。 | 因此,$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$可以改写成:$$\frac{N}{N_{tot}}=0.033\times[M^{\alpha+1}]_{M_{upper}}^{M_{lower}}$$。 | ||
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对于G型主序星,它们的恒星质量在0.8至1.04之间,所以代入可以得到G型主序星在银河系恒星中所占比例,约为1.33%。 | 对于G型主序星,它们的恒星质量在0.8至1.04之间,所以代入可以得到G型主序星在银河系恒星中所占比例,约为1.33%。 | ||
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注:不同参考文献给出G型主序星的质量范围存在微小差别,可在0.8至1.2之间,因此最后计算得到的比例在1.33%至1.88%之间的都算正确。 | 注:不同参考文献给出G型主序星的质量范围存在微小差别,可在0.8至1.2之间,因此最后计算得到的比例在1.33%至1.88%之间的都算正确。 |
2022年4月30日 (六) 19:25的最新版本
15.(仅高年组)主序星占比
假设诞生的恒星中最大和最小质量分别是100和0.08个太阳质量,依据Salpeter初始质量函数估算银河系中类太阳G型主序星占多少比例。
提示:
Salpeter初始质量函数是:$$\frac{dN}{dM}=kM^\alpha$$,这里k是归一化常数,指数α =2.35。
对上式积分可以得到:$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$,这里$$M_{lower}^{\alpha+1}$$和$$M_{upper}^{\alpha+1}$$分别代表最小恒星质量0.08和最大恒星质量100。
解答
根据提示中给出的$$N=\frac{k}{\alpha+1} [M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}]$$,进行归一化处理,即N=1,同时把0.08和100代入其中,可以计算得到k=0.0446。
因此,$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$可以改写成:$$\frac{N}{N_{tot}}=0.033\times[M^{\alpha+1}]_{M_{upper}}^{M_{lower}}$$。
对于G型主序星,它们的恒星质量在0.8至1.04之间,所以代入可以得到G型主序星在银河系恒星中所占比例,约为1.33%。
注:不同参考文献给出G型主序星的质量范围存在微小差别,可在0.8至1.2之间,因此最后计算得到的比例在1.33%至1.88%之间的都算正确。