2016年IOAA理论第12题-系外行星

题目

探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫 “摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测 系外行星及其寄主星的多重信息。

本题中，我们考虑一颗质量为M_p，半径为R_p的行星绕一颗质量为M_s(M_s>>M_p)，半径为R_s的恒星公转，公转轨道半径为a。当轨道面的中心轴与视线方向的夹角i趋向于i=90°时，观测者的视线与该行星的轨道面平行，此时被定义为“侧向”。假设没有其他行星绕恒星公转，且R_s<<a。

“摆动法”: 当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质 心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产 生微弱的多普勒位移。

(图片） 恒星的视向速度 可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V₁随时间t的周期变化如图所示。 图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V₀。

12.1 请用M_S和P表示，推导出轨道半径a和轨道线速度V_p。

12.2 请用M_s,v₀ 和v_p表示，推出行星质量下限M_p,min。

凌星法： 当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒 星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显 示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。

（图片） 如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一 条弦，弦的中心到圆心的距离为bR_s。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流 量变化的最大值为Δ。 图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其 中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为t_F，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为t_T。这些 节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。 凌星法中可测量的物理量有P ,t_T ,t_F 和 Δ。

12.3 请用含有R_s和a的表达式给出i的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的 现象。

12.4 用R_s和R_p表示Δ。

12.5 用R_s, R_p, a, P和 b表示 t_T和 t_F。

12.6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为

$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$

12.7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/R_s ，推导过程可以采用适当的近似。

12.8 结合摆动法与凌日法的结论，用t_T ,t_F ,Δ 和 P表示恒星平均密度 ，已知 $$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。

固态还是气态：

考虑一个从地球看过去为侧向(i=90°)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星 的质量为$$1.00M_{\bigodot }$$，凌日法观测到的周期P为50.0天，凌日现象的时长为1.00小时，凌日的流量变 化量Δ为0.0064。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为0.400m/s。

12.9 计算行星的轨道半径 a分别以AU和米为单位。

12.10 求系统的 t_F/t_T比值。

12.11 用地球质量$$M_{\bigoplus }$$和地球半径$$R_{\bigoplus }$$分别求得行星质量M_p与行星半径R_p。行星是固态的还 是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。

恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线

12.12 考虑一个i=90°的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行 星的尺寸 R_p相等。恒星的自转周期是 2P。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续 五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流 量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子 与行星相遇了。

12.13 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇 宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的 情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。