分类:Alan Wanyan的专栏-天体视运动
知识点
一、球面几何基础
1. 大圆、小圆
球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。
2．球面上的距离
大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。
$$D=r×θ$$
D为球面距离，r为半径，θ为角距。θ极小r极大时，这也是两点直线距离的公式
3. 球面三角形
三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形成为球面三角形。三条劣弧称为球面三角形的边。用边的字母表示弧长或弧所对应球心角的大小，用角的字母表示两夹边所对应两大圆面的二面角。
从球心出发，过球面三角形三个顶点作射线，三条射线之间构成三个平面。这样的图形称为三面角。三面角O-ABC中，两个面角之和大于第三个面角。（$$∠AOB+∠COB >∠AOC$$）
性质1：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
性质2：等角对等边，大角对大边。
性质3：球面三角形的周长小于大圆周长。
性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：
$$ S=(E-π)×r^2 $$
E为内角和，r为球半径。
4. 球面三角形的边角关系
（1）球面正余弦定理
cosa=cosb cosc+sinb sinc cosA
cosb=cosa cosc+sina sinc cosB
cosc=cosa cosb+sina sinb cosC
cosA=-cosB cosC+sinB sinC cosa
cosB=-cosA cosC+sinA sinC cosb
cosC=-cosA cosB+sinA sinB cosc
（2）球面四元素公式 cotA sinC=－cosCcosb+sinb cota
cotA sinB=－cosB cosc+sinc cota
（3）球面五元素公式
sinA cosb=cosB sinC+sinB cosC cosa
sinA cosc=cosC sinB+sinC cosB cosa
sina cosB=cosb sinc－sinb cosc cosA
sina cosC=cosc sinb－sinc cosb cosA
二、天球坐标系
1. 天球的概念
天球是一个与地球同球心，并有相同的自转轴，半径无限大的球。其目的是将天体沿观测者视线投影到球面上，以便于研究天体及其相对位置。有时还将天球球心设置在某些特殊点，如地心和日心，相应的天球分别称为地心天球和日心天球。
2. 天球坐标系
意义：确定天体在天球上的位置
三要素：基本轴、基本点、坐标范围和量度方向。
3. 几个基本的球面坐标系
（1）地理经纬度：地理纬度φ、地理经度λ
基本轴：地球自转轴
基本点：格林尼治天文台G。坐标西正东负、北正南负。
海里：沿经度圈，纬度每变化1”的球面距离。
（2）地平坐标系：地平高度h或天顶距z、方位角A
基本轴：铅直线
基本点：北点或南点。方位角自南点起，周日视运动方向为正。
（3）赤道坐标系：赤经(R.A.)α或时角t、赤纬(Dec.)δ
基本轴：地球自转轴
基本点：春分点♈。赤纬北正南负，赤经从春分点始，以与周日视运动相反方向度量。时角由子午圈与天赤道交点始西正东负。
4. 四季星空
全天88星座的族分类：
大熊族：包括大熊座及周围属于北半球的星座，大多与动物有关，共有10个星座。
黄道星座：包括黄道13星座，除常见的12个传统星座，还包含蛇夫座。
英仙族：包括英仙座以及与英仙珀耳修斯的故事有关的星座，共有9个星座。
武仙族：包括武仙座以及与武仙海格力斯的故事有关的星座，共有18个星座。
猎户族：包括猎户座与及猎人俄里翁的两只猎犬及猎物，共有5个星座。
幻之水族：包含一些与海洋有关的星座，大部分都在南半球，共有9个星座。
拜耳族：由天文学家约翰·拜耳命名的星座，大多与动物有关，共有11个星座。
拉卡伊族：由天文学家尼可拉·路易·拉卡伊命名的星座，大多都是科学的用具，共有13个星座。
5. 黄道十二宫：白羊宫（Aries, ♈︎）；金牛宫（Taurus, ♉︎）；双子宫（Gemini, ♊︎）；巨蟹宫（Cancer, ♋︎）；狮子宫（Leo, ♌︎）；处女宫（Virgo, ♍︎）；天秤宫（Libra, ♎︎）；天蝎宫（Scorpio, ♏︎）；人马宫（Sagittarius, ♐︎）；摩羯宫（Capricornus, ♑︎）；宝瓶宫（Aquarius, ♒︎）；双鱼宫（Pisces, ♓︎）。
黄道十二宫黄道带上人为划分（与实际星座位置不一致）的均等区域，以数学方式的划分为十二个30°的扇区。
三、天体的视运动
1. 不同纬度的周日视运动
本质：运动的相对性原理。
范围：所有天体，速度为24h/rev
（1）北极：所有天体沿水平小圆运动
（2）赤道：所有天体东升西落
（3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）
$$ h_Polaris=90⁰-φ $$
2. 天体中天
子午圈：通过天极和天顶的大圆。
天体通过子午圈称为中天。离天顶近的称为上中天，反之则称为下中天。在北半球，上、下中天有如下关系：
$$h_max=90⁰-|δ-φ|$$
$$h_min=〖-90〗^0+|δ+φ| $$
$$h_max+h_min=2×δ$$
在天顶以北上中天时，δ-φ>0。在天顶以南，则δ-φ<0
3. 永不升和永不落天体
由于所有天体绕极轴转动，所以在特定纬度，部分星体永不落或永不升。在北半球，满足如下关系：
永不落： δ>90^0-φ
永不升： δ<-(90^0-φ)
性质：在赤道，没有天体永不升、落
4. 月相
恒星月：月球绕地球公转的周期。
朔望月：月相变化的周期，长于恒星月。
决定因素：日月角距的变化，每天13.2⁰。自朔到望。
5. 日月食
月食：只能在望日发生，只能在月食限内发生，一年两食季。
日食：只能在朔日发生，只能在日食限内发生，一年两食季。
食分：月球视直径被地球本影遮挡住部分与地球视直径之比。日偏食的食分是太阳视圆面直径被遮挡住部分与剩余部分之比。
月亮运动自西向东，速度约1km/s
题目
例1：设地球的半径为6400km，在北纬30。的纬线上有A、B两点。若O为北纬30。圈所成小圆的圆心，∠AOB=90。，那么AB两点间球面距离为多少？
例2：地球上两城市A, B的坐标分别为（φ1，λ1）和（φ2，λ2）。若地球半径为R，求出两城市间实际球面距离。
例3：太阳在那个星座待的时间最短？在那个黄道宫待的时间最短？
例4：全天约有6000颗可见恒星，假设他们均匀分布。若某地纬度是北纬30⁰，那么在该地的观测者可以观测到大约多少颗永不落天体？
球面几何练习题
练习1：设地球赤道上两城市A、B，地理经度分别为东经15。和西经30。。求两地之间的球面距离。（地球半径为6400km）
- 练习2：（1）证明球面三角形性质3。
（2）利用几何法、向量法证明球面三角余弦定理。
练习3：半径为10的球面上有一个边长为2、4/3、3的球面三角形。求该球面三角形的内角。
