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| − | ==知识点==
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| − | 一、球面几何基础
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| − | 1. 大圆、小圆
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| − | 球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。
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| − | 2．球面上的距离
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| − | 大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。
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| − | $$D=r×θ$$
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| − | D为球面距离，r为半径，θ为角距。θ极小r极大时，这也是两点直线距离的公式
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| − | 3. 球面三角形
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| − | 三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形成为球面三角形。三条劣弧称为球面三角形的边。用边的字母表示弧长或弧所对应球心角的大小，用角的字母表示两夹边所对应两大圆面的二面角。
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| − | 从球心出发，过球面三角形三个顶点作射线，三条射线之间构成三个平面。这样的图形称为三面角。三面角O-ABC中，两个面角之和大于第三个面角。（$$∠AOB+∠COB >∠AOC$$）
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| − | 性质1：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
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| − | 性质2：等角对等边，大角对大边。
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| − | 性质3：球面三角形的周长小于大圆周长。
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| − | 性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：
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| − | $$ S=(E-π)×r^2 $$
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| − | E为内角和，r为球半径。
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| − | 4. 球面三角形的边角关系
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| − | （1）球面正余弦定理
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| − | cosa=cosb cosc+sinb sinc cosA
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| − | cosb=cosa cosc+sina sinc cosB
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| − | cosc=cosa cosb+sina sinb cosC
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| − | cosA=-cosB cosC+sinB sinC cosa
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| − | cosB=-cosA cosC+sinA sinC cosb
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| − | cosC=-cosA cosB+sinA sinB cosc
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| − | （2）球面四元素公式
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| − | cotA sinC=－cosCcosb+sinb cota
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| − | cotA sinB=－cosB cosc+sinc cota
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| − | （3）球面五元素公式
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| − | sinA cosb=cosB sinC+sinB cosC cosa
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| − | sinA cosc=cosC sinB+sinC cosB cosa
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| − | sina cosB=cosb sinc－sinb cosc cosA
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| − | sina cosC=cosc sinb－sinc cosb cosA
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| − | 二、天球坐标系
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| − | 1. 天球的概念
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| − | 天球是一个与地球同球心，并有相同的自转轴，半径无限大的球。其目的是将天体沿观测者视线投影到球面上，以便于研究天体及其相对位置。有时还将天球球心设置在某些特殊点，如地心和日心，相应的天球分别称为地心天球和日心天球。
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| − | 2. 天球坐标系
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| − | 意义：确定天体在天球上的位置
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| − | 三要素：基本轴、基本点、坐标范围和量度方向。
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| − | 3. 几个基本的球面坐标系
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| − | （1）地理经纬度：地理纬度φ、地理经度λ
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| − | 基本轴：地球自转轴
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| − | 基本点：格林尼治天文台G。坐标西正东负、北正南负。
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| − | 海里：沿经度圈，纬度每变化1”的球面距离。
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| − | （2）地平坐标系：地平高度h或天顶距z、方位角A
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| − | 基本轴：铅直线
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| − | 基本点：北点或南点。方位角自南点起，周日视运动方向为正。
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| − | （3）赤道坐标系：赤经(R.A.)α或时角t、赤纬(Dec.)δ
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| − | 基本轴：地球自转轴
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| − | 基本点：春分点♈。赤纬北正南负，赤经从春分点始，以与周日视运动相反方向度量。时角由子午圈与天赤道交点始西正东负。
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| − | 4. 四季星空
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| − | 全天88星座的族分类：
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| − | 大熊族：包括大熊座及周围属于北半球的星座，大多与动物有关，共有10个星座。
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| − | 黄道星座：包括黄道13星座，除常见的12个传统星座，还包含蛇夫座。
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| − | 英仙族：包括英仙座以及与英仙珀耳修斯的故事有关的星座，共有9个星座。
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| − | 武仙族：包括武仙座以及与武仙海格力斯的故事有关的星座，共有18个星座。
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| − | 猎户族：包括猎户座与及猎人俄里翁的两只猎犬及猎物，共有5个星座。
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| − | 幻之水族：包含一些与海洋有关的星座，大部分都在南半球，共有9个星座。
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| − | 拜耳族：由天文学家约翰·拜耳命名的星座，大多与动物有关，共有11个星座。
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| − | 拉卡伊族：由天文学家尼可拉·路易·拉卡伊命名的星座，大多都是科学的用具，共有13个星座。
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| − | 5. 黄道十二宫：白羊宫（Aries, ♈︎）；金牛宫（Taurus, ♉︎）；双子宫（Gemini, ♊︎）；巨蟹宫（Cancer, ♋︎）；狮子宫（Leo, ♌︎）；处女宫（Virgo, ♍︎）；天秤宫（Libra, ♎︎）；天蝎宫（Scorpio, ♏︎）；人马宫（Sagittarius, ♐︎）；摩羯宫（Capricornus, ♑︎）；宝瓶宫（Aquarius, ♒︎）；双鱼宫（Pisces, ♓︎）。
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| − | 黄道十二宫黄道带上人为划分（与实际星座位置不一致）的均等区域，以数学方式的划分为十二个30°的扇区。
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| − | 三、天体的视运动
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| − | 1. 不同纬度的周日视运动
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| − | 本质：运动的相对性原理。
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| − | 范围：所有天体，速度为24h/rev
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| − | （1）北极：所有天体沿水平小圆运动
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| − | （2）赤道：所有天体东升西落
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| − | （3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）
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| − | $$ h_Polaris=90⁰-φ $$
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| − | 2. 天体中天
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| − | 子午圈：通过天极和天顶的大圆。
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| − | 天体通过子午圈称为中天。离天顶近的称为上中天，反之则称为下中天。在北半球，上、下中天有如下关系：
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| − | $$h_max=90⁰-|δ-φ|$$
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| − | $$h_min=〖-90〗^0+|δ+φ| $$
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| − | $$h_max+h_min=2×δ$$
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| − | 在天顶以北上中天时，δ-φ>0。在天顶以南，则δ-φ<0
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| − | 3. 永不升和永不落天体
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| − | 由于所有天体绕极轴转动，所以在特定纬度，部分星体永不落或永不升。在北半球，满足如下关系：
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| − | 永不落： δ>90^0-φ
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| − | 永不升： δ<-(90^0-φ)
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| − | 性质：在赤道，没有天体永不升、落
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| − | 4. 月相
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| − | 恒星月：月球绕地球公转的周期。
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| − | 朔望月：月相变化的周期，长于恒星月。
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| − | 决定因素：日月角距的变化，每天13.2⁰。自朔到望。
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| − | 5. 日月食
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| − | 月食：只能在望日发生，只能在月食限内发生，一年两食季。
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| − | 日食：只能在朔日发生，只能在日食限内发生，一年两食季。
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| − | 食分：月球视直径被地球本影遮挡住部分与地球视直径之比。日偏食的食分是太阳视圆面直径被遮挡住部分与剩余部分之比。
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| − | 月亮运动自西向东，速度约1km/s
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| − | ==题目==
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| − | 例1：设地球的半径为6400km，在北纬30。的纬线上有A、B两点。若O为北纬30。圈所成小圆的圆心，∠AOB=90。，那么AB两点间球面距离为多少？
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| − | 例2：地球上两城市A, B的坐标分别为（φ1，λ1）和（φ2，λ2）。若地球半径为R，求出两城市间实际球面距离。
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| − | 例3：太阳在那个星座待的时间最短？在那个黄道宫待的时间最短？
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| − | 例4：全天约有6000颗可见恒星，假设他们均匀分布。若某地纬度是北纬30⁰，那么在该地的观测者可以观测到大约多少颗永不落天体？
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| − | '''球面几何练习题'''
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| − | 练习1：设地球赤道上两城市A、B，地理经度分别为东经15。和西经30。。求两地之间的球面距离。（地球半径为6400km）
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| − | 练习2：（1）证明球面三角形性质3。
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| − | （2）利用几何法、向量法证明球面三角余弦定理。
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| − | 练习3：半径为10的球面上有一个边长为2、4/3、3的球面三角形。求该球面三角形的内角。
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| − | ==题目来源==
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| − | CNAO 预赛决赛题
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| − | 人教版《高中数学选修3-3 球面上的几何》
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