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知识点

一、球面几何基础

1. 大圆、小圆

球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。

2．球面上的距离

大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。

$$D=r×θ$$

D为球面距离，r为半径，θ为角距。θ极小r极大时，这也是两点直线距离的公式

3. 球面三角形

三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形成为球面三角形。三条劣弧称为球面三角形的边。用边的字母表示弧长或弧所对应球心角的大小，用角的字母表示两夹边所对应两大圆面的二面角。

从球心出发，过球面三角形三个顶点作射线，三条射线之间构成三个平面。这样的图形称为三面角。三面角O-ABC中，两个面角之和大于第三个面角。（$$∠AOB+∠COB >∠AOC$$）

性质1：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

性质2：等角对等边，大角对大边。

性质3：球面三角形的周长小于大圆周长。

性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：

                      $$ S=(E-π)×r^2	$$				

     E为内角和，r为球半径。

4. 球面三角形的边角关系

（1）球面正余弦定理

cosa=cosb cosc+sinb sinc cosA

cosb=cosa cosc+sina sinc cosB

cosc=cosa cosb+sina sinb cosC

cosA=-cosB cosC+sinB sinC cosa

cosB=-cosA cosC+sinA sinC cosb

cosC=-cosA cosB+sinA sinB cosc

（2）球面四元素公式 cotA sinC=－cosCcosb+sinb cota

                       cotA sinB=－cosB cosc+sinc cota   
            

（3）球面五元素公式

sinA cosb=cosB sinC+sinB cosC cosa

sinA cosc=cosC sinB+sinC cosB cosa

sina cosB=cosb sinc－sinb cosc cosA

sina cosC=cosc sinb－sinc cosb cosA

二、天球坐标系

1. 天球的概念

天球是一个与地球同球心，并有相同的自转轴，半径无限大的球。其目的是将天体沿观测者视线投影到球面上，以便于研究天体及其相对位置。有时还将天球球心设置在某些特殊点，如地心和日心，相应的天球分别称为地心天球和日心天球。

2. 天球坐标系

意义：确定天体在天球上的位置

三要素：基本轴、基本点、坐标范围和量度方向。

3. 几个基本的球面坐标系

（1）地理经纬度：地理纬度φ、地理经度λ

基本轴：地球自转轴

基本点：格林尼治天文台G。坐标西正东负、北正南负。

海里：沿经度圈，纬度每变化1”的球面距离。

（2）地平坐标系：地平高度h或天顶距z、方位角A

基本轴：铅直线

基本点：北点或南点。方位角自南点起，周日视运动方向为正。

（3）赤道坐标系：赤经(R.A.)α或时角t、赤纬(Dec.)δ

基本轴：地球自转轴

基本点：春分点♈。赤纬北正南负，赤经从春分点始，以与周日视运动相反方向度量。时角由子午圈与天赤道交点始西正东负。

4. 四季星空

全天88星座的族分类：

大熊族：包括大熊座及周围属于北半球的星座，大多与动物有关，共有10个星座。

黄道星座：包括黄道13星座，除常见的12个传统星座，还包含蛇夫座。

英仙族：包括英仙座以及与英仙珀耳修斯的故事有关的星座，共有9个星座。

武仙族：包括武仙座以及与武仙海格力斯的故事有关的星座，共有18个星座。

猎户族：包括猎户座与及猎人俄里翁的两只猎犬及猎物，共有5个星座。

幻之水族：包含一些与海洋有关的星座，大部分都在南半球，共有9个星座。

拜耳族：由天文学家约翰·拜耳命名的星座，大多与动物有关，共有11个星座。

拉卡伊族：由天文学家尼可拉·路易·拉卡伊命名的星座，大多都是科学的用具，共有13个星座。

5. 黄道十二宫：白羊宫（Aries, ♈︎）；金牛宫（Taurus, ♉︎）；双子宫（Gemini, ♊︎）；巨蟹宫（Cancer, ♋︎）；狮子宫（Leo, ♌︎）；处女宫（Virgo, ♍︎）；天秤宫（Libra, ♎︎）；天蝎宫（Scorpio, ♏︎）；人马宫（Sagittarius, ♐︎）；摩羯宫（Capricornus, ♑︎）；宝瓶宫（Aquarius, ♒︎）；双鱼宫（Pisces, ♓︎）。

黄道十二宫黄道带上人为划分（与实际星座位置不一致）的均等区域，以数学方式的划分为十二个30°的扇区。

三、天体的视运动

1. 不同纬度的周日视运动

本质：运动的相对性原理。

范围：所有天体，速度为24h/rev

（1）北极：所有天体沿水平小圆运动

（2）赤道：所有天体东升西落

（3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）

                                                $$  h_Polaris=90⁰-φ $$	

2. 天体中天

子午圈：通过天极和天顶的大圆。

天体通过子午圈称为中天。离天顶近的称为上中天，反之则称为下中天。在北半球，上、下中天有如下关系：

$$h_max=90⁰-|δ-φ|$$

$$h_min=〖-90〗^0+|δ+φ| $$

$$h_max+h_min=2×δ$$

在天顶以北上中天时，δ-φ>0。在天顶以南，则δ-φ<0

3. 永不升和永不落天体

由于所有天体绕极轴转动，所以在特定纬度，部分星体永不落或永不升。在北半球，满足如下关系：

永不落： δ>90^0-φ

永不升： δ<-(90^0-φ)

性质：在赤道，没有天体永不升、落

4. 月相

恒星月：月球绕地球公转的周期。

朔望月：月相变化的周期，长于恒星月。

决定因素：日月角距的变化，每天13.2⁰。自朔到望。

5. 日月食

月食：只能在望日发生，只能在月食限内发生，一年两食季。

日食：只能在朔日发生，只能在日食限内发生，一年两食季。

食分：月球视直径被地球本影遮挡住部分与地球视直径之比。日偏食的食分是太阳视圆面直径被遮挡住部分与剩余部分之比。

月亮运动自西向东，速度约1km/s

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