2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣
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题目
（20分）HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。 视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。 请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：
（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。
（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]
