2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线

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题目

(20分)天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。 已知相关参数如下： 恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$ 恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$ 恒星有效温度$$ T_s=5778K$$ 行星轨道周期$$ T=6.19天$$

(1) 若行星轨道半径为$$a$$，轨道倾角（轨道平面法线与视线方向的夹角）为$$i$$。要在地球上观测到凌星现象，请推导$$i$$需要满足的几何条件（用 $$R_s$$、$$a$$表示）。

(2) 假设该行星轨道平面与恒星赤道平面重合，恒星、行星在视线方向的投影均为几何圆形，行星绕恒星做匀速圆周运动，恒星盘面亮度均匀（不考虑临边昏暗效应）。根据凌星光变曲线中的入食时长$$t_{12}$$和食中时长$$t_{23}$$，推导行星相对于恒星的轨道速度$$ v_p $$表达式、计算行星的轨道速度$$ v_p$$（单位：$$m/s$$）以及行星的轨道半径 $$a$$（单位：$$au$$）。

(3) 基于 (2)，根据凌星深度的定义$$ \Delta F / F_0$$（行星遮挡的恒星通量与恒星总通量之比），推导行星半径$$R_p$$与恒星半径$$R_s$$的关系式，并利用给定数据计算行星的半径（以米和地球半径 $$R_{\oplus} $$为单位）。