2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线

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题目

(20分)天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。

已知相关参数如下：
恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$
恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$
恒星有效温度$$ T_s=5778K$$
行星轨道周期$$ T=6.19天$$

(1) 若行星轨道半径为$$a$$，轨道倾角（轨道平面法线与视线方向的夹角）为$$i$$。要在地球上观测到凌星现象，请推导$$i$$需要满足的几何条件（用 $$R_s$$、$$a$$表示）。

(2) 假设该行星轨道平面与恒星赤道平面重合，恒星、行星在视线方向的投影均为几何圆形，行星绕恒星做匀速圆周运动，恒星盘面亮度均匀（不考虑临边昏暗效应）。根据凌星光变曲线中的入食时长$$t_{12}$$和食中时长$$t_{23}$$，推导行星相对于恒星的轨道速度$$ v_p $$表达式、计算行星的轨道速度$$ v_p$$（单位：$$m/s$$）以及行星的轨道半径 $$a$$（单位：$$au$$）。

(3) 基于 (2)，根据凌星深度的定义$$ \Delta F / F_0$$（行星遮挡的恒星通量与恒星总通量之比），推导行星半径$$R_p$$与恒星半径$$R_s$$的关系式，并利用给定数据计算行星的半径（以米和地球半径 $$R_{\oplus} $$为单位）。

解答

(1)

如图是临界情况，$$ \sin (\frac \pi 2-i) = \cos i = \frac{R_s}{a} $$

一般情况需要满足$$|\cos i|\le \frac{R_s}{a}$$，即$$i \in [\arccos(\frac{R_s}{a}), \pi - \arccos(\frac{R_s}{a})]$$

(2)先假设轨道倾角为$$\frac \pi 2$$, $$v_p(t_{12}+t_{23})=R_s$$, $$v_p = \frac{2R_s}{t_{12}+t_{23}}$$

又有$$v_p = \frac{2\pi a}{T}$$可得$$a = \frac{Tv_p}{2\pi}=\frac{R_sT}{\pi(t_{12}+t_{23})}$$

代入$$2R_s = 2.00 R_\odot = 1.392\times 10^{9} \text{m}, t_{12} + t_{23}=200\text{min} = 1.2\times 10^4\text{s}, T = 6.19 \text{d} = 5.35 \times 10^5\text{s}$$

得：$$v_p = 1.16\times 10^5 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 0.07 \text{a.u.}$$

注意到此假设下$$\frac{R_p}{R_s} = \frac{t_{12}}{t_{12} + t_{23}} = \frac{1}{10}$$

(3)由题意，$$\delta = \frac{F_0 - F}{F_0}$$，且$$F\propto S$$，

即$$\delta = \frac{\pi R_p^2}{\pi R_s^2} = \frac{R_p^2}{R_s^2}$$. 可知$$R_p = R_s\sqrt\delta$$

读图，取$$\delta = 0.01$$可知$$R_p = 0.1R_s = 0.1R_\odot = 6.96\times 10^7 \text{m} = 10.93 R_\oplus$$

计算出的$$\frac{R_p}{R_s}$$与假设一致，故假设正确

本题答案由BJG10 GEJ_CaCO3III给出