2026年CNAO选拔赛第一题-星等
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题目
星等是天文学观测中基本的参数。其中视星等对应从地球观测到的亮度（受距离影响），绝对星等对应着把天体放在$$32.6$$光年（$$10$$秒差距）标准距离处的亮度，反映真实光度。（提示：$$1\text{Å}=10^{-8}\text{cm}$$）
（1）距离太阳最近的恒星是比邻星，其周年视差是$$0.7687$$角秒；根据比邻星的视星等$$11.13$$，请问其绝对星等是多少？
（2）在AB星等系统下，“单色”视星等$$m$$可以用流量密度$$f_{\nu}$$来表示，流量密度$$f_{\nu}$$为特定频率$$\nu$$处单位频率间隔内的辐射流量（即单位面积的辐射功率），表示为$$m=-2.5\log_{10}\frac{f_{\nu}}{3631 \text{ Jy}}$$，其中$$1\text{ Jy}=10^{-26}\text{ W Hz}^{-1}\text{m}^{-2}=10^{-23}\text{ erg s}^{-1}\text{Hz}^{-1}\text{cm}^{-2}$$（cgs单位下），$$3631$$央斯基（$$Jy$$）为零点。
请用波长$$\lambda$$和流量密度$$f_{\lambda}$$（特定波长$$\lambda$$处单位波长间隔内的辐射流量）表示流量密度$$f_{\nu}$$，注意推导过程要引入单位，最终表达式中，$$f_{\nu}$$以$$Jy$$为单位，流量密度$$f_{\lambda}以\text{erg s}^{-1}\text{Å}^{-1}\text{cm}^{-2}$$为单位，波长$$\lambda$$以埃米$$Å$$为单位。（提示：$$\nu f_{\nu}=\lambda f_{\lambda}$$）
（3）宇宙中的发光天体，除了像恒星这样的点光源，还有星系等具有一定形状的扩展源天体。衡量这种扩展源的亮度，除了使用总星等$$m$$，还通常引用表面亮度$$\mu$$，即扩展的物体表面一块标准尺寸的亮度，其单位通常是每平方角秒的星等（$$\text{mag arcsec}^{-2}$$）。如果某一频率范围的辐射流量F（流量密度之和）对应星等$$m=-2.5\log_{10}F+ZP$$（单位为$$mag$$），其中$$ZP$$是受到多种因素（仪器系统、地球大气等）影响的常数，那么表面亮度为$$\mu=m+2.5\log_{10}S$$（单位为$$\text{mag arcsec}^{-2}$$），其中S为视（角）面积（单位是$$\text{arcsec}^2$$）。假如扩展源沿着视线方向移动，请问其表面亮度随着径向距离的变化如何变化？请结合公式推导说明。
解答
（1）由周年视差计算距离，
周年视差$$\pi('')$$与天体距离$$d(pc)$$满足关系：
$$d = \frac{1}{\pi}$$
代入$$\pi=0.7687"$$
$$d = \frac{1}{0.7687} \approx 1.301\ \text{pc}$$
利用距离模数公式求绝对星等，
视星等$$m$$与绝对星等$$M$$的距离模数公式为：
$$m - M = 5\lg d - 5$$
变形得绝对星等表达式：
$$M = m + 5 - 5\lg d$$
代入$$m=11.13$$、$$d\approx1.301\ \text{pc}$$，其中$$\lg1.301\approx0.1143$$：
$$M = 11.13 + 5 - 5\times0.1143 \approx 15.56$$
(2)根据辐射能量守恒，频率间隔$$\mathrm{d}\nu$$与对应波长间隔$$\mathrm{d}\lambda$$内的辐射流量相等，即 $$f_\nu \mathrm{d}\nu = f_\lambda \mathrm{d}\lambda$$，因此$$f_\nu$$的取值由$$f_\lambda$$、波长$$\lambda$$和光速$$c$$共同决定。
我们通过量纲分析推导函数形式。定义基本量纲：能量$$[E]$$、时间$$[T]$$、长度$$[L]$$，各物理量的量纲为：
- $$f_\nu$$（单位频率流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[T] = [E]\cdot[L]^{-2}$$（除以频率等价于乘以时间）
- $$f_\lambda$$（单位波长流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[L]^{-1} = [E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3}$$
- 波长$$\lambda$$：量纲为$$[L]$$
- 光速$$c$$：量纲为$$[L]\cdot[T]^{-1}$$
设幂律形式 $$f_\nu = k \cdot f_\lambda \cdot \lambda^a \cdot c^b$$（k为无量纲常数），将量纲代入等式两边：
- 左边量纲：$$[E]\cdot[L]^{-2}$$
- 右边量纲：$$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3} \cdot [L]^a \cdot [L]^b\cdot[T]^{-b} = [E]\cdot[T]^{-1-b}\cdot[L]^{-3+a+b}$$
根据量纲一致性，两边各基本量纲的指数相等：
- 时间量纲：$$-1-b = 0 \implies b=-1$$
- 长度量纲：$$-3+a+b = -2$$，代入$$b=-1$$得$$a=2$$
因此得到函数形式：
$$f_\nu = k \cdot \frac{f_\lambda \cdot \lambda^2}{c}$$
由能量守恒的物理关系可知无量纲常数$$k=1$$，即 $$f_\nu = \frac{f_\lambda \cdot \lambda^2}{c}$$
题目约定的单位：
- $$f_\lambda$$单位：$$\mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Å}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
- $$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å}$$，且$$1\ \mathrm{Å}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
- 光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$
- $$f_\nu$$ 目标单位：$$\mathrm{Jy}$$，且$$1\ \mathrm{Jy}=10^{-23}\ \mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
先将所有物理量统一为 cgs 单位计算$$f_\nu$$的物理量值：
波长转换：$$\lambda(\mathrm{cm}) = \lambda_\mathrm{Å} \times 10^{-8}$$，因此$$\lambda^2(\mathrm{cm^2}) = \lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16}$$
$$f_\lambda$$单位转换：$$1\ \mathrm{Å}^{-1}=10^8\ \mathrm{cm}^{-1}$$，因此$$f_\lambda(\mathrm{cgs}) = f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8\ \mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot cm^{-3}}$$
代入表达式：
$$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Hz^{-1}\cdot cm^{-2}}) &= \frac{f_\lambda(\mathrm{cgs}) \cdot \lambda(\mathrm{cm})^2}{c} \\ &= \frac{(f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8) \times (\lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16})}{3\times10^{10}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{Å}} \cdot \lambda_\mathrm{Å}^2}{3\times10^{18}} \end{align*}$$
再转换为$$\mathrm{Jy}$$单位：
$$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{Jy}) &= \frac{f_\nu\ (\mathrm{cgs})}{10^{-23}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{Å}} \cdot \lambda_\mathrm{Å}^2}{3\times10^{18}} \times 10^{23} \\ &= \boldsymbol{\frac{10^5}{3} \cdot \lambda^2 f_\lambda \approx 3.33\times10^4 \cdot \lambda^2 f_\lambda} \end{align*}$$
其中$$\lambda$$以$$\mathrm{Å}$$为单位，$$f_\lambda$$以$$\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Å^{-1}\cdot cm^{-2}}$$为单位，$$f_\nu$$以$$\mathrm{Jy}$$为单位。
(3)总星等与距离的关系:
总辐射流量$$F$$遵循平方反比定律，与径向距离$$d$$的平方成反比：$$F \propto \frac{1}{d^2}$$
代入星等定义$$m = -2.5\lg F + ZP$$，得：
$$m = -2.5\lg\left(\frac{C}{d^2}\right) + ZP = 5\lg d + \text{常数}$$
即总星等随距离增大而数值增加（天体整体变暗）。
角面积与距离的关系:
扩展源的固有线大小D不随距离变化，其角直径$$\theta \propto \frac{D}{d}$$，因此角面积$$S \propto \theta^2 \propto \frac{1}{d^2}$$，即：
$$S = \frac{K}{d^2} \implies \lg S = -2\lg d + \text{常数}$$
距离越远，扩展源的角面积越小。
表面亮度的合成:
将上述两式代入表面亮度定义$$\mu = m + 2.5\lg S$$：
$$\begin{align*}\mu &= \left(5\lg d + C_1\right) + 2.5\times\left(-2\lg d + C_2\right) \\&= 5\lg d + C_1 -5\lg d + 2.5C_2 \\&= \text{常数}\end{align*}$$
