2026年CNAO选拔赛第一题-星等
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题目
星等是天文学观测中基本的参数。其中视星等对应从地球观测到的亮度（受距离影响），绝对星等对应着把天体放在$$32.6$$光年（$$10$$秒差距）标准距离处的亮度，反映真实光度。（提示：$$1\text{Å}=10^{-8}\text{cm}$$）
（1）距离太阳最近的恒星是比邻星，其周年视差是$$0.7687$$角秒；根据比邻星的视星等$$11.13$$，请问其绝对星等是多少？
（2）在AB星等系统下，“单色”视星等$$m$$可以用流量密度$$f_{\nu}$$来表示，流量密度$$f_{\nu}$$为特定频率$$\nu$$处单位频率间隔内的辐射流量（即单位面积的辐射功率），表示为$$m=-2.5\log_{10}\frac{f_{\nu}}{3631 \text{ Jy}}$$，其中$$1\text{ Jy}=10^{-26}\text{ W Hz}^{-1}\text{m}^{-2}=10^{-23}\text{ erg s}^{-1}\text{Hz}^{-1}\text{cm}^{-2}$$（cgs单位下），$$3631$$央斯基（$$Jy$$）为零点。
请用波长$$\lambda$$和流量密度$$f_{\lambda}$$（特定波长$$\lambda$$处单位波长间隔内的辐射流量）表示流量密度$$f_{\nu}$$，注意推导过程要引入单位，最终表达式中，$$f_{\nu}$$以$$Jy$$为单位，流量密度$$f_{\lambda}以\text{erg s}^{-1}\text{Å}^{-1}\text{cm}^{-2}$$为单位，波长$$\lambda$$以埃米$$Å$$为单位。（提示：$$\nu f_{\nu}=\lambda f_{\lambda}$$）
（3）宇宙中的发光天体，除了像恒星这样的点光源，还有星系等具有一定形状的扩展源天体。衡量这种扩展源的亮度，除了使用总星等$$m$$，还通常引用表面亮度$$\mu$$，即扩展的物体表面一块标准尺寸的亮度，其单位通常是每平方角秒的星等（$$\text{mag arcsec}^{-2}$$）。如果某一频率范围的辐射流量F（流量密度之和）对应星等$$m=-2.5\log_{10}F+ZP$$（单位为$$mag$$），其中$$ZP$$是受到多种因素（仪器系统、地球大气等）影响的常数，那么表面亮度为$$\mu=m+2.5\log_{10}S$$（单位为$$\text{mag arcsec}^{-2}$$），其中S为视（角）面积（单位是$$\text{arcsec}^2$$）。假如扩展源沿着视线方向移动，请问其表面亮度随着径向距离的变化如何变化？请结合公式推导说明。
解答
（1）由周年视差计算距离，周年视差π (")与天体距离d（pc）满足关系：
$$d = \frac{1}{π}$$ 代入$$π=0.7687"$$，得： $$d = \frac{1}{0.7687} \approx 1.301\ \text{pc}$$
