2011年CNAO决赛第14题-月食的食分

题目

14、（低年组）月食的食分

月食的食分是体现月面进入地球本影程度的量，具体计算方法如图（图为月食食甚时的示意图）。假定月面和地球本影都是正圆，那么定义月食食分为R与月面直径d 月的比值，其中R为月面与地球本影两圆心连线上，经过月面边缘、地影边缘的最小距离。月球绕地球的公转轨道为椭圆，两者距离变化范围为360000～400000km。求月全食食分的理论最大值。（日地距离取1.5×108km）

解答

（由于题目不完整，这里考虑食分为地影直径和月面直径比值）

使用角度方法计算： 将弧长近似为弦长，设地月距离$$d$$，月球半径$$r$$，地球半径$$r_\oplus$$，太阳半径$$r_\odot$$，日地距离$$d_0$$

由几何关系，设地球本影锥长$$d_1$$，有$$\frac{d_0+d_1}{r_\odot}=\frac{d_1}{r_\oplus}$$

任取距离为$$x$$的点，$$x$$处本影锥直径为$$y$$，有：$$\frac{y}{d_1-x}=\frac{r_\oplus}{d_1}$$

设本影角直径$$\theta = \frac yx$$，联立上述方程解得$$\theta = \frac{2r_\oplus}{x}-\frac2{d_0}(r_\odot - r_\oplus)$$

月球角直径$$\delta = 2\frac{r}{d}$$，对于任意的$$x$$，食分理论最大值为$$k=\frac{\theta}{\delta}=\frac{dr_\oplus}{rx}-\frac{d}{d_0r}(r_\odot - r_\oplus)$$

代入$$x=d=d_\text{min}$$，原式可化简：$$k=$\frac{r_\oplus}{r}-\frac{d}{d_0r}(r_\odot - r_\oplus)$$，代入数据计算得$$k \lesssim 2.72$$