2024-2025学年CNAO决赛第16题-星团年龄
题目
疏散星团中的恒星是由一个大的分子气体云几乎同时分裂形成的。年龄是疏散星团的一个关键参数，等年龄线拟合方法是测量疏散星团年龄的经典方法，但它需要使用理论模型计算的等年龄线数据。疏散星团的恒星在颜色-星等图上的分布通常有一个观测特征，叫作拐点，可以认为拐点附近的恒星刚刚结束主序阶段的演化。如图4所示,图中是著名的疏散星团 M67 在颜色-星等图上的分布，其中拐点恒星的位置由五角星所示，为简化计算，我们近似认为拐点位置对应的色指数为 B-V-0.5(注:色指数是一个和恒星的颜色相关的量)。
(1)已知主序星的颜色与质量具有相关关系，表1是一些已知的恒星质量和颜色(B-V)数据，请根据这些信息作图，并推断图中拐点星的质量。
(2)M67中的恒星与我们的太阳具有非常相似的化学成分(氢的质量比为73%,氦元素占比25%,2%为其他元素)对于图中所示的拐点星，其主序阶段大约可以燃烧掉总氢质量的 13%。另外，主序星存在典型的质量-光度关系$$L\propto kM^\alpha$$，其中$$L$$是恒星的光度，$$M$$是恒星质量，$$\alpha$$是一个常数，对于这里的计算 $$\alpha = 3.5$$，k是一个常数，该关系得出的光度可以视为恒星在其主序阶段的平均光度。请估算M67的年龄。
解答
(2)质量耗散率由核反应决定：$$4 ^{1}\text{H} \rightarrow ^{4}\text{He}$$，质量减少量$$\delta m = 4m_p-(2m_p + 2m_n)=2(m_p-m_n)$$，减少率$$\kappa = \frac{\delta m}{\Delta M_H}=\frac{2(m_p-m_n)}{4m_p}=\frac 12 - \frac{m_n}{2m_p)}$$
设(1)中拟合结果为$$M=f(B-V)$$（因时间原因不给出第一问拟合答案，按计算器即可），则$$M_\star = f(0.5)$$，由质光关系：$$L_\star = L_\odot (\frac{M_\star}{M_\odot})^{\frac 72}$$
拐点星总氢消耗量为$$\Delta M_H=\eta_1 \eta_2 M_\star$$，则总质量减少量$$\delta m = \kappa \eta_1 \eta_2 M_\star$$，由质能方程有$$E = \kappa \eta_1 \eta_2 M_\star c^2$$，结合光度表达式有寿命$$t=\frac EL = \frac{\kappa \eta_1 \eta_2 M_\star c^2}{L_\odot}\cdot (\frac{M_\star}{M_\odot})^{-\frac 72}$$
代入数据：$$\kappa = \frac 12 - \frac{m_n}{2(m_e+m_p)}; \eta_1 = 73\%; \eta_2 = 13 \%; M_\star = f(0.5)$$计算即可(其他数据由常数表给出)
解答由BJG10给出，若有错误欢迎指正
