2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

5 恒星基本参数（仅高年组）（20分）

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{l}(n) - \nu_{l}(n-1)$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构，其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\mu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1\,\mu\mathrm{Hz}$$，有效温度 $$T_{\mathrm{eff},\odot} = 5777\,\mathrm{K}$$。

5.1

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星，它的观测振动频率 $$\nu(\mu\mathrm{Hz})$$ 如下表所示：

节点数 $$n$$	阶数 $$l=0$$	阶数 $$l=1$$
15	1700.43	1746.93
16	1802.15	1849.11
17	1904.62	1951.98
18	2007.45	2055.41
19	2110.94	2158.89
20	2214.33	2262.32
21	2317.18	2366.15
22	2420.75	2470.23
23	2524.94	2575.97
24	2629.36	2678.47
25	2736.22	2783.71

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的大频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

5.2

$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：

$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$

$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$

其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度 $$T_{\mathrm{eff}}$$ 是可以通过观测获得的量。

已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\mu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\mu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。

5.3

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。

恒星	$$\nu_{\mathrm{max}}/\mu\mathrm{Hz}$$	$$\langle\Delta\nu\rangle/\mu\mathrm{Hz}$$	$$T_{\mathrm{eff}}/\mathrm{K}$$
α Cen A	2400	105.72	5790
α Cen B	4100	161.70	5214

解答

5.1

节点数 $$n$$	阶数 $$l=0$$	阶数 $$l=1$$
16-15	101.72	102.18
17-16	102.47	102.87
18-17	102.83	103.43
19-18	103.49	103.48
20-19	103.39	103.43
21-20	102.85	103.83
22-21	103.57	104.08
23-22	104.19	105.74
24-23	104.42	102.50
25-24	106.86	105.24

$$\langle\Delta\nu_{l=0}\rangle = 103.58\,\mu\mathrm{Hz}$$

$$\langle\Delta\nu_{l=1}\rangle = 103.68\,\mu\mathrm{Hz}$$

5.2

$$ \langle\Delta\nu\rangle = \dfrac{1}{2}(\langle\Delta\nu_{l=0}\rangle + \langle\Delta\nu_{l=1}\rangle) = 103.63\,\mu\mathrm{Hz} $$

由题意得：

$$ \dfrac{g}{g_\odot} = \dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}} $$

$$ \dfrac{\rho}{\rho_\odot} = \left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^2 $$

由 $$g = \dfrac{GM}{R^2}$$ 和 $$\rho = \dfrac{3M}{4\pi R^3}$$ 得：

$$ R = \dfrac{3g}{4\pi G\rho} \propto \dfrac{g}{\rho} $$

则有：

$$ M = \dfrac{gR^2}{G} \propto gR^2 \propto g^3\rho^{-2} $$

即：

$$ \dfrac{R}{R_\odot} = \dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-2} $$

$$ \dfrac{M}{M_\odot} = \left(\dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\right)^3\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-4} $$

代入数据得到：

恒星	$$M/M_\odot$$	$$R/R_\odot$$
16 Cyg A	1.00	1.19

5.3

由上题：

$$ \dfrac{R}{R_\odot} = \dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-2} $$

$$ \dfrac{M}{M_\odot} = \left(\dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\right)^3\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-4} $$

代入数据得到：

恒星	$$M/M_\odot$$	$$R/R_\odot$$
α Cen A	1.25	1.27
α Cen B	0.98	0.88