2019年IAO理论高年组第4题-彗星粒子

来自astro-init

英文原题

4. Comet particles. Particles of characteristic cometary matter of various sizes come off a comet. Estimate, the characteristic sizes D of the particles which are not ejected outside the Solar System due to the solar radiation pressure.

Note: You will get more points for the solution if you first derive the algebraic formula of the answer D=f(a,b,c,d,e...) and only then get the numerical answer by inserting the numerical data a, b, c, d, e... into this formula.

中文翻译

4. 彗星粒子。一些典型的彗星物质构成的粒子从彗星上脱落下来。估计,不被太阳的辐射压弹射出太阳系的粒子的典型直径。

注意:如果你可以推导出解析形式的方程如D=f(a,b,c,d,e...),然后将所需参数a, b, c, d, e...代入得到数值答案,你可以得到额外的分数。

解答

(注意:本题目与标答不完全一致)

彗星一般沿椭圆、抛物线或非常接近双曲线的轨道围绕太阳运行。彗星由于尺寸较大,引力之外的力对其影响不大,但脱落的碎屑由于尺寸较小,光压对其运动轨迹的影响比较大。这是因为万有引力基本正比于尺寸的三次方,但是光压正比于颗粒的受光面积,从而正比于尺寸的二次方。随着尺寸减小,光压与引力的比值会增大。

光压来自于光子的动量。单个光子具有动量P= hν/c和能量E=hν,对微粒来说光压正比于单位时间落在微粒上的光子数,所以在太阳系的情况下,光压与万有引力一样都遵循平方反比规律,并且是一个保守力。

假设球形微粒可以吸收照射在表面的光子,微粒半径为r,与太阳距离为R,太阳光度为L:

$$F_p=2\pi r^2 \frac{L}{4\pi R^2} \frac{\frac{h\nu}{c}}{h\nu}=\frac{L r^2}{2c R^2}$$

与此同时,微粒受到的万有引力为:$$F_g=\frac{GMm}{R^2}=\frac{4GM\pi\rho r^2}{3R^2}$$.

可以看出,微粒受到的光压和万有引力都遵循平方反比规律。微粒受到的合力为:

$$F=F_g -F_p =\frac{GMm}{R^2}-\frac{L r^2}{2c R^2}=\frac{GMm}{R^2}-\frac{Lr^2}{2cGMm}\frac{GMm}{R^2}=(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})F_g$$

通过上述整理我们发现光压相当于对引力乘上了一个系数。相应的,其“引力”势能也会产生对应的变化。

当我们判断一个物体是否会脱离引力束缚时,通常观察其机械能(引力势能+动能)。当机械能<0时,物体是椭圆轨道;机械能≥0时,物体会脱离引力束缚。对于这个粒子来说,恰好能脱离太阳系的情形是:

$$E_p +E_k=-(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}mv^2=0$$

对于刚刚离开彗星的微粒,其速度大小认为与彗星母体相同,可以对微粒的速度应用活力公式$$v^2=GM(\frac{2}{R}-\frac{1}{a})$$。将其带入:

$$E_p +E_k=-(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})\frac{GMm}{R}+GMm(\frac{1}{R}-\frac{1}{2a})=0$$

$$(\frac{Lr^2}{2cGMm}-1)\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{2a}=0$$

$$\frac{Lr^2}{2cGMm}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$

将m=4/3πr3ρ代入,

$$\frac{Lr^2}{2cGM(\frac{4}{3}\pi\rho r^3 )}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$

$$\frac{L}{2cGM(\frac{4}{3}\pi\rho r)}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$

整理得$$D=2r=\frac{3aL}{2\pi cGM\rho R}$$

此时D为微粒密度、与太阳距离、母体彗星轨道半长径的函数D(ρ,R,a).观察可以看出,R越大时D越小,对应彗星离太阳越远,微粒越难被弹出太阳系;a越大时D越大,对应母体彗星的轨道能量越大,微粒越容易弹出太阳系

代入彗星的平均密度300kg/m3,假设彗星与太阳距离1AU,轨道半长径100AU来计算,D=0.0015m。