2019年CNAO决赛第18题-垂直发射的炮弹
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题目
18、（高年组）垂直发射的炮弹
垂直发射的炮弹是否会落回炮口，这是很久以前曾出现过的争论。
考虑在赤道处从地面垂直向上发射一颗炮弹，忽略空气影响，则：
（1）当弹丸落回地面时，落点会正好位于炮口、位于其东侧、还是位于其西侧，列出判断依据。
（2）设弹丸发射的初速为V0，弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与V0的关系，请列出过程。
【提示】
在推导中你可能用到以下参数：
- 地球自转角速度ω0
- 地球半径R
- 重力加速度g
还可能用到以下公式：
- 开普勒定律
- $$\frac{1}{1+x}\simeq 1-x$$
- $$\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x$$
解答
(1) 西侧。地球的自转方向是自西向东，当炮弹离开炮口时，炮弹拥有$$\omega_0R$$的水平方向的线速度，而在高度为h的时候，炮弹相对于地心的角速度为$$\omega_0\frac{R}{R+h}\lt\omega_0$$，也就是说相对于观测者而言，炮弹实际上是在向西运动。
(2) 炮弹可认为在一个椭圆形轨道上运动，地球位于其中一个焦点上，如图。由于炮弹高度远小于地球半径，远地点处炮弹的高度$$h=\frac{v_0^2}{2g}$$
由椭圆的极坐标方程
$$r=\frac{a(1-\epsilon^2)}{1-\epsilon cos\theta}$$
以及活力公式,注意，炮弹的质量远小于地球质量，故
$$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$
可以解出椭圆的半长轴$$a$$和离心率$$\epsilon$$
然后就可以解出距离了。
