“2019年CNAO决赛第18题-垂直发射的炮弹”的版本间的差异

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(1) 西侧。地球的自转方向是自西向东,当炮弹离开炮口时,炮弹拥有$$\omega_0R$$的水平方向的线速度,而在高度为h的时候,炮弹相对于地心的角速度为$$\omega_0\frac{R}{R+h}\lt\omega_0$$,也就是说相对于观测者而言,炮弹实际上是在向西运动。
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(2) 炮弹可认为在一个椭圆形轨道上运动,地球位于其中一个焦点上,如图。由于炮弹高度远小于地球半径,远地点处炮弹的高度$$h=\frac{v_0^2}{2g}$$,从发射到落下的时间为$$t=\frac{2v_0}{g}$$
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由椭圆的极坐标方程
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$$r=\frac{a(1-\epsilon^2)}{1-\epsilon cos\theta}$$
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以及活力公式
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$$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$
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可以解出椭圆的半长轴$$a$$和离心率$$\epsilon$$
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然后就可以解出距离了。
  
 
[[分类:天体力学]]
 
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2019年11月15日 (五) 10:41的版本

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题目

18、(高年组)垂直发射的炮弹

垂直发射的炮弹是否会落回炮口,这是很久以前曾出现过的争论。

考虑在赤道处从地面垂直向上发射一颗炮弹,忽略空气影响,则:

(1)当弹丸落回地面时,落点会正好位于炮口、位于其东侧、还是位于其西侧,列出判断依据。

(2)设弹丸发射的初速为V0,弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与V0的关系,请列出过程。

图1

【提示】

在推导中你可能用到以下参数:

  • 地球自转角速度ω0
  • 地球半径R
  • 重力加速度g

还可能用到以下公式:

  • 开普勒定律
  • $$\frac{1}{1+x}\simeq 1-x$$
  • $$\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x$$

解答

(1) 西侧。地球的自转方向是自西向东,当炮弹离开炮口时,炮弹拥有$$\omega_0R$$的水平方向的线速度,而在高度为h的时候,炮弹相对于地心的角速度为$$\omega_0\frac{R}{R+h}\lt\omega_0$$,也就是说相对于观测者而言,炮弹实际上是在向西运动。

(2) 炮弹可认为在一个椭圆形轨道上运动,地球位于其中一个焦点上,如图。由于炮弹高度远小于地球半径,远地点处炮弹的高度$$h=\frac{v_0^2}{2g}$$,从发射到落下的时间为$$t=\frac{2v_0}{g}$$

2019cnao t18.png

由椭圆的极坐标方程

$$r=\frac{a(1-\epsilon^2)}{1-\epsilon cos\theta}$$

以及活力公式

$$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$

可以解出椭圆的半长轴$$a$$和离心率$$\epsilon$$

然后就可以解出距离了。