2019年CNAO决赛第18题-垂直发射的炮弹
题目
18、（高年组）垂直发射的炮弹
垂直发射的炮弹是否会落回炮口，这是很久以前曾出现过的争论。
考虑在赤道处从地面垂直向上发射一颗炮弹，忽略空气影响，则：
（1）当弹丸落回地面时，落点会正好位于炮口、位于其东侧、还是位于其西侧，列出判断依据。
（2）设弹丸发射的初速为$$V_0$$，弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与$$V_0$$的关系，请列出过程。
【提示】
在推导中你可能用到以下参数：
- 地球自转角速度$$ω_0$$
- 地球半径$$R$$
- 重力加速度$$g$$
还可能用到以下公式：
- 开普勒定律
- $$\frac{1}{1+x} \simeq 1-x$$
- $$\frac{1}{(1+x)^2} \simeq 1-2x$$
解答
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官方答案 |
根据开普勒定律，该炮弹的轨迹为以地心为焦点的椭圆。 设在地面高度$$y$$时弹丸相对地心的角速度为$$\omega(y)$$，则在短时间$$dt$$内，弹丸轨迹扫过的面积为$$\frac{1}{2}\omega(y)dt(R+y)(R+y)$$，其中$$R$$为地球半径。
根据开普勒定律，单位时间内扫过的面积为常数，故有\[\omega(y)(R+y)^2 \equiv \omega_0 R^2\]$$\omega_0$$为地球自转角速度。 因$$y \ll R$$，故\[\omega(y) = \omega_0 \frac{R^2}{(R+y)^2} \cong \omega_0 \left(1 - 2\frac{y}{R}\right)\] 因此，炮弹自飞离地面开始，其地心角速度一直小于地球自转角速度$$\omega_0$$，故炮弹的落点位于炮口西侧。
【注】在本次决赛中，很多同学根据“弹丸水平方向速度保持恒定，因此地心角速度随着高度增加而减小”来推定炮弹落于西侧。 但这一论断是错误的。如果在地面坐标系中观察，由于科里奥利力效应的存在，水平方向会产生速度；如果在地心坐标系中观察，无论是水平速度（这里指对应发射时刻的水平方向）还是相对地心的切向速度都是变化的。 在从地面飞行至最高点的过程中，弹丸高度$$y$$与时间$$t$$有如下关系：\[y = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2\] 因$$(\omega - \omega_0)$$为弹丸地心角速度与地球自转角速度之差，故弹丸在地面投影位置的偏离速度（向东为正）： \[dV = (\omega - \omega_0)R = -2\omega_0 y = -2\omega_0 \left(V_0 t - \frac{1}{2} g t^2\right)\] 弹丸飞至最高点所需时间为：$$T = \frac{V_0}{g}$$。
以下可以采用多种方法估算弹丸从发射到飞至最高点期间偏离距离。
例如：取简单平均、或使用$$\frac{T}{2}$$时的$$dV$$作为平均值、或分段计算$$0 \sim \frac{T}{2}，\frac{T}{2} \sim T$$的距离等，结果为某常数 $$\times \omega_0 \frac{V_0^3}{g^2}$$。 若使用积分计算，可得出准确结果$$ \frac{4}{3} \omega_0 \frac{V_0^3}{g^2}$$。
（使用平均值方法计算，推导和计算过程正确，此步骤给满分；若使用积分计算，须得出准确结果，此步骤给满分）
官方答案来自《天文爱好者》
