2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣 - 版本历史

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2026-07-21T09:02:15Z

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2026-07-21T07:15:05Z

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2026-07-21T07:08:01Z

‎近似解法：纠错

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2026-07-21T07:07:36Z

‎近似解法：修改

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2026-07-21T07:03:26Z

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2026-07-20T13:06:47Z

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2026-07-18T14:42:27Z

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2026-07-01T05:02:35Z

按知识点分类

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第1行：		第1行：
−	~~{{需要解答}}~~
	==题目==		==题目==
	'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。		'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。

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第71行：		第71行：

	\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]		\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]
		+
		+	=== 第（3）问 ===
		+	\[a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2} = 0.2781 AU\]
		+
		+	\[a_1 = \frac{a_1 \sin i}{\sin i} = \frac{0.2781}{0.6807} = 0.4086 AU\]
		+
		+	\[a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2} = 0.5425 AU\]
		+
		+	按照$$M_2 = 0.486 M_{\odot} $$计算，$$a = 0.5189 AU$$
		+
		+	计算洛希瓣半径：
		+	\[1 AU \approx 215 R_{\odot}\]
		+
		+	\[R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} = 0.2279 AU = 49.0 R_{\odot}\]
		+
		+	按照$$ M_2 = 0.486 M_{\odot} $$计算，$$R_{L1} \approx 0.23144 AU = 49.77 R_{\odot}$$
		+
		+	$$R \ll R_{L1} $$
		+
		+	故未发生物质输运。
	[[分类:天体力学]]		[[分类:天体力学]]

@@ 第17行： / 第17行： @@
 提示：Paczynski 近似公式：
 \[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]
 ==解答==
 === 第（1）问 ===

@@ 第49行： / 第49行： @@
 能说明白矮星质量范围在$$ 0.1 \sim 1.4 $$太阳质量(依据钱德拉塞卡极限定义)，这个假设存在问题的，满分。
-求解一元三次方程的，给出精确解的满分。
+求解一元三次方程，给出精确解的满分。
 ==== 牛顿迭代法 ====

@@ 第41行： / 第41行： @@
 === 第（2）问 ===
 ==== 近似解法 ====
-根据双星系统的质量函数公式：
+\[f(M_2) = 1.0361 \times 10^{-7} \cdot K_1^3 \cdot P \cdot (1 - e^2)^{3/2} = 0.01118 M_{\odot}\]
-$$f(M_2) = \frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1 + M_2)^2} = \frac{P K_1^3}{2\pi G} (1 - e^2)^{3/2}$$
-估算白矮星伴星的质量$$ M_2 $$(可先假设$$ M_2 $$远小于$$ M_1$$) (以太阳质量$$ M_{\odot} $$为单位)。
+先假设白矮星$$ M_2 $$远小于$$ M_1 $$:\[ M_2 \sin i \approx (f \cdot M_1^2)^{1/3} = 0.331 M_{\odot}\]
-主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值$$ a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2}$$。双星相对轨道半长轴$$ a = a_1 + a_2 $$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为 $$a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2}$$。洛希瓣半径$$ R_{L1} $$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$ R \ge R_{L1} $$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$以及双星的相对轨道半长轴$$ a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
-(Paczynski 近似公式：$$R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} $$)
+\[M_2 \approx \frac{0.331}{\sin i} = \frac{0.331}{0.6807} = 0.486 M_{\odot}\]
 ==== 牛顿迭代法 ====

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第38行：		第38行：

	$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$		$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$
		+
		+	（2）根据双星系统的质量函数公式：
		+	$$f(M_2) = \frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1 + M_2)^2} = \frac{P K_1^3}{2\pi G} (1 - e^2)^{3/2}$$
		+	估算白矮星伴星的质量$$ M_2 $$(可先假设$$ M_2 $$远小于$$ M_1$$) (以太阳质量$$ M_{\odot} $$为单位)。
		+	主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值$$ a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2}$$。双星相对轨道半长轴$$ a = a_1 + a_2 $$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为 $$a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2}$$。洛希瓣半径$$ R_{L1} $$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$ R \ge R_{L1} $$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$以及双星的相对轨道半长轴$$ a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
		+	(Paczynski 近似公式：$$R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} $$)

	[[分类:天体力学]]		[[分类:天体力学]]

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-{{需要编辑}}
+{{需要解答}}
 ==题目==
 ==解答==
 [[分类:天体力学]]