2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线 - 版本历史

2026年7月19日 (日) 08:27 GEJ CaCO3III

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‎解答

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‎解答

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−	~~{{需要解答}}~~
	== 题目 ==		== 题目 ==
	'''(20分)'''天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。		'''(20分)'''天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。

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 == 解答 ==
-(1)
+{{用户答案|[[用户:GEJ_CaCO3III | BJG10 GEJ_CaCO3III]]}}
 [[文件:屏幕截图 2026-07-19 091031.png|无框|右|轨道倾角模式图]]
+(1)如图是临界情况，$$ \sin (\frac \pi 2-i) = \cos i = \frac{R_s}{a} $$
 一般情况需要满足$$|\cos i|\le \frac{R_s}{a}$$，即$$i \in [\arccos(\frac{R_s}{a}), \pi - \arccos(\frac{R_s}{a})]$$

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 如图是临界情况，$$ \sin (\frac \pi 2-i) = \cos i = \frac{R_s}{a} $$
-一般情况需要满足$$|\cos i|\le \frac{R_s}{a}$$，即$$i \in [-\frac \pi 2 , -\arcsin(\frac{R_s}{a})]\cup[\arcsin(\frac{R_s}{a}), \frac \pi 2]$$
+一般情况需要满足$$|\cos i|\le \frac{R_s}{a}$$，即$$i \in [\arccos(\frac{R_s}{a}), \pi - \arccos(\frac{R_s}{a})]$$
 (2)先假设轨道倾角为$$\frac \pi 2$$, $$v_p(t_{12}+t_{23})=R_s$$, $$v_p = \frac{2R_s}{t_{12}+t_{23}}$$
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 得：$$v_p = 1.16\times 10^5 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 0.07 \text{a.u.}$$
-注意到此假设下$$\frac{R_p}{R_s} = \frac{t_{12}}{t_{23}} = \frac{1}{10}$$
+注意到此假设下$$\frac{R_p}{R_s} = \frac{t_{12}}{t_{12} + t_{23}} = \frac{1}{10}$$
 (3)由题意，$$\delta = \frac{F_0 - F}{F_0}$$，且$$F\propto S$$，

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	得：$$v_p = 1.16\times 10^5 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 0.07 \text{a.u.}$$		得：$$v_p = 1.16\times 10^5 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 0.07 \text{a.u.}$$
		+
		+	注意到此假设下$$\frac{R_p}{R_s} = \frac{t_{12}}{t_{23}} = \frac{1}{10}$$
		+
		+	(3)由题意，$$\delta = \frac{F_0 - F}{F_0}$$，且$$F\propto S$$，
		+
		+	即$$\delta = \frac{\pi R_p^2}{\pi R_s^2} = \frac{R_p^2}{R_s^2}$$. 可知$$R_p = R_s\sqrt\delta$$
		+
		+	读图，取$$\delta = 0.01$$可知$$R_p = 0.1R_s = 0.1R_\odot = 6.96\times 10^7 \text{m} = 10.93 R_\oplus$$
		+
		+	计算出的$$\frac{R_p}{R_s}$$与假设一致，故假设正确
		+
		+	本题答案由BJG10 GEJ_CaCO3III给出

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 [[文件:屏幕截图 2026-07-19 091031.png|无框|右|轨道倾角模式图]]
-如图是临界情况，$$ \cos (\frac \pi 2-i) = \sin i = \frac{R_s}{a}} $$
+如图是临界情况，$$ \sin (\frac \pi 2-i) = \cos i = \frac{R_s}{a} $$
-一般情况需要满足$$|\sin i|\le \frac{R_s}{a}$$，即$$i \in [-\arcsin(\frac{R_s}{a}),\arcsin(\frac{R_s}{a})]$$
+一般情况需要满足$$|\cos i|\le \frac{R_s}{a}$$，即$$i \in [-\frac \pi 2 , -\arcsin(\frac{R_s}{a})]\cup[\arcsin(\frac{R_s}{a}), \frac \pi 2]$$

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 (1)
 [[文件:屏幕截图 2026-07-19 091031.png|无框|右|轨道倾角模式图]]
-如图，$$\cos (\frac \pi 2-i) = \sin i = \frac{R_s}{a}}$$
+如图是临界情况，$$\cos (\frac \pi 2-i) = \sin i = \frac{R_s}{a}}$$

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 == 题目 ==
 '''(20分)'''天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。
 已知相关参数如下：
-恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$
+已知相关参数如下：<br>
-恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$
+恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$<br>
-恒星有效温度$$ T_s=5778K$$
+恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$<br>
-行星轨道周期$$ T=6.19天$$
+恒星有效温度$$ T_s=5778K$$<br>
 [[文件:2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线图.png|无框]]