2026年CNAO选拔赛第一题-星等 - 版本历史

2026年7月19日 (日) 08:26 GEJ CaCO3III

2026-07-19T08:26:50Z

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T02:02:45Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T02:01:29Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T02:00:53Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T01:59:09Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T01:57:55Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T01:57:08Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-07-19T01:53:31Z

‎解答

2026年7月19日 (日) 01:50 Astro Yuan

2026-07-19T01:50:10Z

2026年7月19日 (日) 01:35 Astro Yuan

2026-07-19T01:35:11Z

←上一版本		2026年7月19日 (日) 08:26的版本
第1行：		第1行：
−	~~{{需要解答}}~~
−
	==题目==		==题目==

←上一版本		2026年7月19日 (日) 02:02的版本
第119行：		第119行：

	$$\begin{align}\mu &= \left(5\lg d + C_1\right) + 2.5\times\left(-2\lg d + C_2\right) \\&= 5\lg d + C_1 -5\lg d + 2.5C_2 \\&= \text{常数}\end{align}$$		$$\begin{align}\mu &= \left(5\lg d + C_1\right) + 2.5\times\left(-2\lg d + C_2\right) \\&= 5\lg d + C_1 -5\lg d + 2.5C_2 \\&= \text{常数}\end{align}$$
		+
		+	本题答案由AstroYuan与GEJ_CaCO3III共同提供

	[[分类:星等]]		[[分类:星等]]

←上一版本		2026年7月19日 (日) 02:01的版本
第93行：		第93行：

	其中$$\lambda$$以$$\mathrm{Å}$$为单位，$$f_\lambda$$以$$\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Å^{-1}\cdot cm^{-2}}$$为单位，$$f_\nu$$以$$\mathrm{Jy}$$为单位。		其中$$\lambda$$以$$\mathrm{Å}$$为单位，$$f_\lambda$$以$$\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Å^{-1}\cdot cm^{-2}}$$为单位，$$f_\nu$$以$$\mathrm{Jy}$$为单位。
		+

@@ 第16行： / 第16行： @@
 （1）由周年视差计算距离，
-周年视差π (")与天体距离d（pc）满足关系：
+周年视差$$\pi('')$$与天体距离$$d(pc)$$满足关系：
-$$d = \frac{1}{π}$$
+$$d = \frac{1}{\pi}$$
-代入$$π=0.7687"$$
+代入$$\pi=0.7687"$$
 $$d = \frac{1}{0.7687} \approx 1.301\ \text{pc}$$
@@ 第72行： / 第72行： @@
 *$$f_\lambda$$单位：$$\mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Å}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
-*$$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å})，且$$1\ \mathrm{Å}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
+*$$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å}$$，且$$1\ \mathrm{Å}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
 *光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$

@@ 第43行： / 第43行： @@
 *$$f_\nu$$（单位频率流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[T] = [E]\cdot[L]^{-2}$$（除以频率等价于乘以时间）
 *$$f_\lambda$$（单位波长流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[L]^{-1} = [E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3}$$
 *波长$$\lambda$$：量纲为$$[L]$$
 *光速$$c$$：量纲为$$[L]\cdot[T]^{-1}$$
@@ 第50行： / 第53行： @@
 *左边量纲：$$[E]\cdot[L]^{-2}$$
 *右边量纲：$$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3} \cdot [L]^a \cdot [L]^b\cdot[T]^{-b} = [E]\cdot[T]^{-1-b}\cdot[L]^{-3+a+b}$$
@@ 第55行： / 第59行： @@
 *时间量纲：$$-1-b = 0 \implies b=-1$$
 *长度量纲：$$-3+a+b = -2$$，代入$$b=-1$$得$$a=2$$
@@ 第66行： / 第71行： @@
 *$$f_\lambda$$单位：$$\mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Å}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
 *$$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å})，且$$1\ \mathrm{Å}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
 *光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$
 *$$f_\nu$$ 目标单位：$$\mathrm{Jy}$$，且$$1\ \mathrm{Jy}=10^{-23}\ \mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
@@ 第73行： / 第81行： @@
 波长转换：$$\lambda(\mathrm{cm}) = \lambda_\mathrm{Å} \times 10^{-8}$$，因此$$\lambda^2(\mathrm{cm^2}) = \lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16}$$
-<nowiki>$$f_\lambda$$单位转换：$$1\ \mathrm{Å}^{-1}=10^8\ \mathrm{cm}^{-1}$$，因此$$f_\lambda(\mathrm{cgs}) = f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8\ \mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot cm^{-3}}$$</nowiki>
 代入表达式：
 $$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Hz^{-1}\cdot cm^{-2}}) &= \frac{f_\lambda(\mathrm{cgs}) \cdot \lambda(\mathrm{cm})^2}{c} \\ &= \frac{(f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8) \times (\lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16})}{3\times10^{10}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{Å}} \cdot \lambda_\mathrm{Å}^2}{3\times10^{18}} \end{align*}$$
 再转换为$$\mathrm{Jy}$$单位：

@@ 第66行： / 第66行： @@
 *$$f_\lambda$$单位：$$\mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{\AA}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
-*$$\lambda$$单位：$$\mathrm{\AA}\)，且$$1\ \mathrm{\AA}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
+*$$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å})，且$$1\ \mathrm{\AA}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
-*<nowiki>光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$</nowiki>
+*光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$
 *$$f_\nu$$ 目标单位：$$\mathrm{Jy}$$，且$$1\ \mathrm{Jy}=10^{-23}\ \mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
 先将所有物理量统一为 cgs 单位计算$$f_\nu$$的物理量值：
-#波长转换：$$\lambda(\mathrm{cm}) = \lambda_\mathrm{\AA} \times 10^{-8}$$，因此$$\lambda^2(\mathrm{cm^2}) = \lambda_\mathrm{\AA}^2 \times 10^{-16}$$
+波长转换：$$\lambda(\mathrm{cm}) = \lambda_\mathrm{Å} \times 10^{-8}$$，因此$$\lambda^2(\mathrm{cm^2}) = \lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16}$$
-#<nowiki>$$f_\lambda$$单位转换：$$1\ \mathrm{\AA}^{-1}=10^8\ \mathrm{cm}^{-1}$$，因此$$f_\lambda(\mathrm{cgs}) = f_{\lambda,\mathrm{\AA}} \times 10^8\ \mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot cm^{-3}}$$</nowiki>
+<nowiki>$$f_\lambda$$单位转换：$$1\ \mathrm{Å}^{-1}=10^8\ \mathrm{cm}^{-1}$$，因此$$f_\lambda(\mathrm{cgs}) = f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8\ \mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot cm^{-3}}$$</nowiki>
 代入表达式：
-<nowiki>$$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Hz^{-1}\cdot cm^{-2}}) &= \frac{f_\lambda(\mathrm{cgs}) \cdot \lambda(\mathrm{cm})^2}{c} \\ &= \frac{(f_{\lambda,\mathrm{\AA}} \times 10^8) \times (\lambda_\mathrm{\AA}^2 \times 10^{-16})}{3\times10^{10}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{\AA}} \cdot \lambda_\mathrm{\AA}^2}{3\times10^{18}} \end{align*}$$</nowiki>
+$$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Hz^{-1}\cdot cm^{-2}}) &= \frac{f_\lambda(\mathrm{cgs}) \cdot \lambda(\mathrm{cm})^2}{c} \\ &= \frac{(f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8) \times (\lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16})}{3\times10^{10}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{Å}} \cdot \lambda_\mathrm{Å}^2}{3\times10^{18}} \end{align*}$$
 再转换为$$\mathrm{Jy}$$单位：
-<nowiki>$$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{Jy}) &= \frac{f_\nu\ (\mathrm{cgs})}{10^{-23}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{\AA}} \cdot \lambda_\mathrm{\AA}^2}{3\times10^{18}} \times 10^{23} \\ &= \boldsymbol{\frac{10^5}{3} \cdot \lambda^2 f_\lambda \approx 3.33\times10^4 \cdot \lambda^2 f_\lambda} \end{align*}$$</nowiki>
+$$\begin{align*} f_\nu\ (\mathrm{Jy}) &= \frac{f_\nu\ (\mathrm{cgs})}{10^{-23}} \\ &= \frac{f_{\lambda,\mathrm{Å}} \cdot \lambda_\mathrm{Å}^2}{3\times10^{18}} \times 10^{23} \\ &= \boldsymbol{\frac{10^5}{3} \cdot \lambda^2 f_\lambda \approx 3.33\times10^4 \cdot \lambda^2 f_\lambda} \end{align*}$$
-<nowiki>其中$$\lambda$$以$$\mathrm{\AA}$$为单位，$$f_\lambda$$以$$\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot \AA^{-1}\cdot cm^{-2}}$$为单位，$$f_\nu$$以$$\mathrm{Jy}$$为单位。</nowiki>
+其中$$\lambda$$以$$\mathrm{Å}$$为单位，$$f_\lambda$$以$$\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Å^{-1}\cdot cm^{-2}}$$为单位，$$f_\nu$$以$$\mathrm{Jy}$$为单位。

@@ 第38行： / 第38行： @@
 $$M = 11.13 + 5 - 5\times0.1143 \approx 15.56$$
-(2)根据辐射能量守恒，频率间隔$$\mathrm{d}\nu$$与对应波长间隔$$\mathrm{d}\lambda$$内的辐射流量相等，即 $$f_\nu \mathrm{d}\nu = f_\lambda \mathrm{d}\lambda$$，因此$$f_\nu\)的取值由\(f_\lambda$$、波长$$\lambda$$和光速$$c$$共同决定。
+(2)根据辐射能量守恒，频率间隔$$\mathrm{d}\nu$$与对应波长间隔$$\mathrm{d}\lambda$$内的辐射流量相等，即 $$f_\nu \mathrm{d}\nu = f_\lambda \mathrm{d}\lambda$$，因此$$f_\nu$$的取值由$$f_\lambda$$、波长$$\lambda$$和光速$$c$$共同决定。
 我们通过量纲分析推导函数形式。定义基本量纲：能量$$[E]$$、时间$$[T]$$、长度$$[L]$$，各物理量的量纲为：
@@ 第109行： / 第109行： @@
 $$\begin{align*}\mu &= \left(5\lg d + C_1\right) + 2.5\times\left(-2\lg d + C_2\right) \\&= 5\lg d + C_1 -5\lg d + 2.5C_2 \\&= \text{常数}\end{align*}$$
 [[分类:星等]]

@@ 第42行： / 第42行： @@
 我们通过量纲分析推导函数形式。定义基本量纲：能量$$[E]$$、时间$$[T]$$、长度$$[L]$$，各物理量的量纲为：
-* $$f_\nu$$（单位频率流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[T] = [E]\cdot[L]^{-2}$$（除以频率等价于乘以时间）
+*$$f_\nu$$（单位频率流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[T] = [E]\cdot[L]^{-2}$$（除以频率等价于乘以时间）
-* $$f_\lambda$$（单位波长流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[L]^{-1} = [E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3}$$
+*$$f_\lambda$$（单位波长流量密度）：量纲为 $$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-2}\cdot[L]^{-1} = [E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3}$$
-* 波长$$\lambda$$：量纲为$$[L]$$
+*波长$$\lambda$$：量纲为$$[L]$$
-* 光速$$c$$：量纲为$$[L]\cdot[T]^{-1}$$
+*光速$$c$$：量纲为$$[L]\cdot[T]^{-1}$$
 设幂律形式 $$f_\nu = k \cdot f_\lambda \cdot \lambda^a \cdot c^b$$（k为无量纲常数），将量纲代入等式两边：
-* 左边量纲：$$[E]\cdot[L]^{-2}$$
+*左边量纲：$$[E]\cdot[L]^{-2}$$
-* 右边量纲：$$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3} \cdot [L]^a \cdot [L]^b\cdot[T]^{-b} = [E]\cdot[T]^{-1-b}\cdot[L]^{-3+a+b}$$
+*右边量纲：$$[E]\cdot[T]^{-1}\cdot[L]^{-3} \cdot [L]^a \cdot [L]^b\cdot[T]^{-b} = [E]\cdot[T]^{-1-b}\cdot[L]^{-3+a+b}$$
 根据量纲一致性，两边各基本量纲的指数相等：
-* 时间量纲：$$-1-b = 0 \implies b=-1$$
+*时间量纲：$$-1-b = 0 \implies b=-1$$
-* 长度量纲：$$-3+a+b = -2$$，代入$$b=-1$$得$$a=2$$
+*长度量纲：$$-3+a+b = -2$$，代入$$b=-1$$得$$a=2$$
 因此得到函数形式：
@@ 第65行： / 第65行： @@
 题目约定的单位：
-* $$f_\lambda$$单位：$$\mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Å}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
+*$$f_\lambda$$单位：$$\mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Å}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
-* $$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å}\)，且$$1\ \mathrm{Å}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
+*$$\lambda$$单位：$$\mathrm{Å}\)，且$$1\ \mathrm{Å}=10^{-8}\ \mathrm{cm}$$
-* <nowiki>光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$</nowiki>
+*<nowiki>光速$$c=3\times10^{10}\ \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$$</nowiki>
-* $$f_\nu$$ 目标单位：$$\mathrm{Jy}$$，且$$1\ \mathrm{Jy}=10^{-23}\ \mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
+*$$f_\nu$$ 目标单位：$$\mathrm{Jy}$$，且$$1\ \mathrm{Jy}=10^{-23}\ \mathrm{erg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{-2}$$
 先将所有物理量统一为 cgs 单位计算$$f_\nu$$的物理量值：
-# 波长转换：$$\lambda(\mathrm{cm}) = \lambda_\mathrm{Å} \times 10^{-8}$$，因此$$\lambda^2(\mathrm{cm^2}) = \lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16}$$
+#波长转换：$$\lambda(\mathrm{cm}) = \lambda_\mathrm{Å} \times 10^{-8}$$，因此$$\lambda^2(\mathrm{cm^2}) = \lambda_\mathrm{Å}^2 \times 10^{-16}$$
-# <nowiki>$$f_\lambda$$单位转换：$$1\ \mathrm{Å}^{-1}=10^8\ \mathrm{cm}^{-1}$$，因此$$f_\lambda(\mathrm{cgs}) = f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8\ \mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot cm^{-3}}$$</nowiki>
+#<nowiki>$$f_\lambda$$单位转换：$$1\ \mathrm{Å}^{-1}=10^8\ \mathrm{cm}^{-1}$$，因此$$f_\lambda(\mathrm{cgs}) = f_{\lambda,\mathrm{Å}} \times 10^8\ \mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot cm^{-3}}$$</nowiki>
 代入表达式：
@@ 第84行： / 第84行： @@
 <nowiki>其中$$\lambda$$以$$\mathrm{Å}$$为单位，$$f_\lambda$$以$$\mathrm{erg\cdot s^{-1}\cdot Å^{-1}\cdot cm^{-2}}$$为单位，$$f_\nu$$以$$\mathrm{Jy}$$为单位。</nowiki>
 (3)总星等与距离的关系: