2026年CNAO决赛第16题-（仅高年组）星际彗星 - 版本历史

2026年7月19日 (日) 08:41 GEJ CaCO3III

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−	~~{{需要编辑}}~~
	==题目==		==题目==
	2025年7月1日，小行星撞地预警系统（ATLAS）上报了对一新天体的观测结果。2025年7月2日，国际天文学联合会（IAU）确认它是一颗彗星，并授予其编号 C/2025 N1。同时，它也是继2017年的1I/'Oumuamua和2019年的2I/Borisov之后，人类确认的第3个穿越太阳系的星际天体（Interstellar Object），因此又被授予编号3I/Atlas。		2025年7月1日，小行星撞地预警系统（ATLAS）上报了对一新天体的观测结果。2025年7月2日，国际天文学联合会（IAU）确认它是一颗彗星，并授予其编号 C/2025 N1。同时，它也是继2017年的1I/'Oumuamua和2019年的2I/Borisov之后，人类确认的第3个穿越太阳系的星际天体（Interstellar Object），因此又被授予编号3I/Atlas。

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 得：$$v_{rel} = 89.8\text{km} \cdot \text{s} ^{-1}$$
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 [[分类:天体力学]]

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	得：$$e=6.16$$		得：$$e=6.16$$
		+
		+	由双曲线性质，其初末速度夹角是渐近线（x轴）方向的夹角的补角，渐近线方程：$$y=\pm \frac{b}{a}x = x\sqrt{e^2-1}$$
		+
		+	与x轴夹角：$$\tan \theta = \sqrt{e^2-1}$$
		+
		+	速度夹角即为$$\pi - 2\theta = \pi - 2\arctan (\sqrt{e^2-1})$$
		+
		+	代入$$e = 6.16$$得：$$\left \langle v_{in}, v_{out} \right \rangle = 18.69^{\circ}$$

	(4)		(4)

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 ==解答==
 (1)运用开普勒第三定律，有$$GM_\odot = \frac{4\pi^2a^3}{T^2}$$
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 (4)
 [[文件:彗星及火星轨道模式图.png|无框|右|彗星轨道模式图]]
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 得：$$v_{rel} = 89.8\text{km} \cdot \text{s} ^{-1}$$
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 [[分类:天体力学]]

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 即$$e=\sqrt{1+\frac{v^2_p v^2_\infty r_p^2}{(GM_\odot)^2}}$$
-代入$$GM_\odot = 1.323\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$
+代入$$GM_\odot = 1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$
 得：$$e=6.16$$

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 化简，得$$v_p=\sqrt{\frac{2GM_\odot}{r_p}+v^2_\infty}$$
-代入$$GM_\odot = 1.323\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$
+代入$$GM_\odot = 1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$
 得：$$v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$

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 代入$$a=1.496\times10^8\text{km}$$与$$T=3.16\times 10^7 \text{s}$$
-得$$GM_\odot=1.323\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}$$
+得$$GM_\odot=1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}$$
 (2)由于轨道能量守恒，有$$E_{k,peri}+E_{p,peri}=E_{k\infty}$$
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 化简，得：$$v_{rel} = \sqrt{v^2_\infty+\frac{3GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$
-代入$$GM_\odot = 1.323\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}, r_m = 1.52 \text{a.u.}=2.27\times 10^8 \text{km}$$
+代入$$GM_\odot = 1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}, r_m = 1.52 \text{a.u.}=2.27\times 10^8 \text{km}$$
-得：$$v_{rel} = 89.79\text{km} \cdot \text{s} ^{-1}$$
+得：$$v_{rel} = 89.8\text{km} \cdot \text{s} ^{-1}$$
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 [[分类:天体力学]]

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	化简，得：$$v_{rel} = \sqrt{v^2_\infty+\frac{3GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$		化简，得：$$v_{rel} = \sqrt{v^2_\infty+\frac{3GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$

		+	代入$$GM_\odot = 1.323\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}, r_m = 1.52 \text{a.u.}=2.27\times 10^8 \text{km}$$
		+
		+	得：$$v_{rel} = 89.79\text{km} \cdot \text{s} ^{-1}$$
		+
		+	本题解答由BJG10 GEJ_CaCO3III给出，如有错误处欢迎指出！
	[[分类:天体力学]]		[[分类:天体力学]]

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 代入$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot}),v_m = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}},v_o \sin \theta_0 = \frac{v_pr_p}{r_m}$$
-化简，得：$$v_{rel} = \sqrt{GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot})+\frac{GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$
+得：$$v_{rel} = \sqrt{GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot})+\frac{GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$
 [[分类:天体力学]]

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	(4)		(4)
		+	[[文件:彗星及火星轨道模式图.png\|无框\|右\|彗星轨道模式图]]

		+	如图，设彗星在火星轨道处速度为$$v_o$$,火星轨道半径$$r_m$$,火星轨道速度$$v_m$$
		+
		+	由圆轨道速度公式，$$v_m = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}$$
		+
		+	由于角动量守恒有$$v_pr_p=v_o r_m \sin \theta_0$$
		+
		+	解得$$v_o \sin \theta_0 = \frac{v_pr_p}{r_m}$$
		+
		+	由平行四边形性质有$$\theta + \theta_0 = \pi$$即$$\sin \theta = \sin \theta_0$$
		+
		+	由活力公式，$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}-\frac1a)$$
		+
		+	代入(3)中$$a$$的结果,得$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot})$$
		+
		+	由余弦定理，$$v_{rel}^2=v_o^2 + v_m^2 - 2 v_o v_m \cos (\theta + \frac{\pi}{2})=v_o^2 + v_m^2 + 2 v_o v_m \sin \theta_0$$
		+
		+	代入$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot}),v_m = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}},v_o \sin \theta_0 = \frac{v_pr_p}{r_m}$$
		+
		+	化简，得：$$v_{rel} = \sqrt{GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot})+\frac{GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$

	[[分类:天体力学]]		[[分类:天体力学]]