2024-2025学年CNAO决赛第17题-星系喷流 - 版本历史

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-04-01T14:12:15Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-04-01T14:11:23Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-04-01T14:10:38Z

‎解答

GEJ CaCO3III：/* 解答 */

2026-04-01T14:05:40Z

‎解答

2026年4月1日 (三) 13:55 GEJ CaCO3III

2026-04-01T13:55:39Z

2025年7月21日 (一) 01:43 GEJ CaCO3III

2025-07-21T01:43:26Z

GEJ CaCO3III：创建页面，内容为“==题目== 星系的高速喷流若朝着地球方向运动，则可能观测到视超光速运动(superluminalmotion)现象。如图5所示，喷流中的气体团…”

2025-07-21T01:42:14Z

创建页面，内容为“==题目== 星系的高速喷流若朝着地球方向运动，则可能观测到视超光速运动(superluminalmotion)现象。如图5所示，喷流中的气体团…”

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==题目==
星系的高速喷流若朝着地球方向运动，则可能观测到视超光速运动(superluminalmotion)现象。如图5所示，喷流中的气体团块以速度$$v$$从$$O$$点运动到$$P$$点，运动方向与视线方向有一定夹角$$\theta$$，由于光从$$O$$点和$$P$$点到达观测者的时间有差别，导致团块横向运动(垂直于视线方向)的速度在观测者看来可能超过光速。有射电望远镜观测到一个距离为 2000Mpc 的活动星系核的喷流中的气体团块从图像上看(图6)，其视横向运动角速度为-0.1毫角秒/年。假设喷流运动方向与视线方向的夹角为0-109回答时速度用光速c表示，保留两位小数。

(1)求团块的视横向速度 $$v_{\text{app}}$$

(2)记$$\beta = \frac vc, \beta_{\text{app}}=\frac{v_{\text{app}}}c$$，证明如下关系式

$$\beta=\frac{\beta_{\text{app}}}{\sin \theta + \beta_{\text{app}} \cos \theta}$$

(3)计算题中团块真实运动速度 $$v$$。

(4)由第2小问可知，$$v$$是喷流方向与视线方向的夹角$$\theta$$的函数。若我们不知道0的大小，那么题目中所述喷流真实速度$$v$$的最小值是多少?
[[文件:C2025TH17.jpg|缩略图|2025CNAOTheory17]]

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 (4)对分母使用辅助角公式：
-$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}=\frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}\sin(\theta + \phi)}\ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}}$$(其中 $$\tan \phi = \beta_\text{app}$$)
+$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}=\frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}\sin(\theta + \varphi)}\ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}}$$(其中 $$\tan \varphi = \beta_\text{app}$$)
 代入(3)中已证的$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$可知：$$\beta \ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}} \approx 0.95, v \approx 2.86 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

@@ 第47行： / 第47行： @@
 (4)对分母使用辅助角公式：
-$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}=\frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}\sin(\theta + \phi)}\ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}}$$
+$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}=\frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}\sin(\theta + \phi)}\ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}}$$(其中 $$\tan \phi = \beta_\text{app}$$)
 代入(3)中已证的$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$可知：$$\beta \ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}} \approx 0.95, v \approx 2.86 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

←上一版本		2026年4月1日 (三) 14:10的版本
第43行：		第43行：
	可得$$v_\text{app} \approx 3.16 \text{c} $$，即$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$		可得$$v_\text{app} \approx 3.16 \text{c} $$，即$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$

−	代入$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$可得$$\beta\approx 0.~~96，即v~~ \approx 2.9 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$	+	代入$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$可得$$\beta\approx 0.96，v \approx 2.89 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$
		+
		+	(4)对分母使用辅助角公式：
		+
		+	$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}=\frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}\sin(\theta + \phi)}\ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}}$$
		+
		+	代入(3)中已证的$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$可知：$$\beta \ge \frac{\beta_\text{app}}{\sqrt{\beta_\text{app}^2+1}} \approx 0.95, v \approx 2.86 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

←上一版本		2026年4月1日 (三) 14:05的版本
第32行：		第32行：

	解得：$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$		解得：$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$
		+
		+	(3)由角速度结论：$$v_\text{app}=\omega d$$：
		+
		+	代入数据:
		+
		+	$$\omega = 0.1 \text{mas} \cdot \text{yr}^{-1} = 0.1 \times \frac{1}{206265 \times 10^3} \text{rad} \cdot \text{yr}^{-1} = \frac{1}{206265 \times 10^4} \text{rad} \cdot \text{yr}^{-1}$$;
		+
		+	$$d = 2000 \text{Mpc} = 2.0 \times 10^9 \text{pc} = 6.52 \times 10^9 \text{ly}$$
		+
		+	可得$$v_\text{app} \approx 3.16 \text{c} $$，即$$\beta_\text{app} \approx 3.16$$
		+
		+	代入$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$可得$$\beta\approx 0.96，即v \approx 2.9 \times 10^8 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$$

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第12行：		第12行：
	(4)由第2小问可知，$$v$$是喷流方向与视线方向的夹角$$\theta$$的函数。若我们不知道$$\theta$$的大小，那么题目中所述喷流真实速度$$v$$的最小值是多少?		(4)由第2小问可知，$$v$$是喷流方向与视线方向的夹角$$\theta$$的函数。若我们不知道$$\theta$$的大小，那么题目中所述喷流真实速度$$v$$的最小值是多少?
	[[文件:C2025TH17.jpg\|缩略图\|2025CNAOTheory17]]		[[文件:C2025TH17.jpg\|缩略图\|2025CNAOTheory17]]
		+	==解答==
		+	(1)设团块运动时间$$t$$，星系光到达地球时刻$$t_1$$，喷流光到达地球时刻$$t_2$$，星系原始距离地球$$d$$.
		+
		+	由匀速直线运动相关结论可知：$$t_1=\frac{d}{c}$$
		+
		+	喷流运动时间t后：$$d'=d-vt\cos \theta$$, 对于光到达时刻有$$t_2=t+\frac{d'}{c}=t+\frac{d}{c}-t\cdot vt\cos \theta$$
		+
		+	地球看来团块移动距离：$$\Delta x = vt\sin \theta$$
		+
		+	地球看来团块运动时间：$$\Delta t = t_2 - t_1 = t(1 - \frac{v}{c}\cos \theta)$$
		+
		+	地球看来团块运动速度即团块视速度：$$v_\text{app}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{vc\sin \theta}{c-v \cos \theta}$$
		+
		+	(2)由第一题结论$$v_\text{app}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{v\sin \theta}{1-\frac{v}{c} \cos \theta}$$两边同时除以$$c$$可得：
		+
		+	$$\beta_\text{app}=\frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}$$
		+
		+	移项，得到关于$$\beta$$的一次方程$$(1-\beta \cos \theta)\beta_\text{app} = \beta \sin \theta$$
		+
		+	解得：$$\beta = \frac{\beta_\text{app}}{\sin \theta + \beta_\text{app}\cos \theta}$$

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 ==题目==
-星系的高速喷流若朝着地球方向运动，则可能观测到视超光速运动(superluminalmotion)现象。如图5所示，喷流中的气体团块以速度$$v$$从$$O$$点运动到$$P$$点，运动方向与视线方向有一定夹角$$\theta$$，由于光从$$O$$点和$$P$$点到达观测者的时间有差别，导致团块横向运动(垂直于视线方向)的速度在观测者看来可能超过光速。有射电望远镜观测到一个距离为 2000Mpc 的活动星系核的喷流中的气体团块从图像上看(图6)，其视横向运动角速度为-0.1毫角秒/年。假设喷流运动方向与视线方向的夹角为0-109回答时速度用光速c表示，保留两位小数。
+星系的高速喷流若朝着地球方向运动，则可能观测到视超光速运动(superluminalmotion)现象。如图5所示，喷流中的气体团块以速度$$v$$从$$O$$点运动到$$P$$点，运动方向与视线方向有一定夹角$$\theta$$，由于光从$$O$$点和$$P$$点到达观测者的时间有差别，导致团块横向运动(垂直于视线方向)的速度在观测者看来可能超过光速。有射电望远镜观测到一个距离为 2000Mpc 的活动星系核的喷流中的气体团块从图像上看(图6)，其视横向运动角速度为-0.1毫角秒/年。假设喷流运动方向与视线方向的夹角为$$\theta=10°$$。回答时速度用光速c表示，保留两位小数。
-(1)求团块的视横向速度 $$v_{\text{app}}$$
+<nowiki>(1)求团块的视横向速度 $$v_{\text{app}}$$</nowiki>
-(2)记$$\beta = \frac vc, \beta_{\text{app}}=\frac{v_{\text{app}}}c$$，证明如下关系式
+<nowiki>(2)记$$\beta = \frac vc, \beta_{\text{app}}=\frac{v_{\text{app}}}c$$，证明如下关系式</nowiki>
-$$\beta=\frac{\beta_{\text{app}}}{\sin \theta + \beta_{\text{app}} \cos \theta}$$
+<nowiki>$$\beta=\frac{\beta_{\text{app}}}{\sin \theta + \beta_{\text{app}} \cos \theta}$$</nowiki>
 (3)计算题中团块真实运动速度 $$v$$。
-(4)由第2小问可知，$$v$$是喷流方向与视线方向的夹角$$\theta$$的函数。若我们不知道0的大小，那么题目中所述喷流真实速度$$v$$的最小值是多少?
+(4)由第2小问可知，$$v$$是喷流方向与视线方向的夹角$$\theta$$的函数。若我们不知道$$\theta$$的大小，那么题目中所述喷流真实速度$$v$$的最小值是多少?
 [[文件:C2025TH17.jpg|缩略图|2025CNAOTheory17]]