2023-2024学年CNAO决赛选择题 - 版本历史

CHN-5：/* 第9题 */

2025-05-15T07:20:58Z

‎第9题

CHN-5：/* 部分计算题解答 */

2025-04-30T08:18:35Z

‎部分计算题解答

CHN-5：/* 第12题 */

2025-04-30T08:13:13Z

‎第12题

CHN-5：/* 部分计算题解答 */

2025-04-29T15:26:11Z

‎部分计算题解答

CHN-5：/* 部分计算题解答 */

2025-04-29T15:25:08Z

‎部分计算题解答

CHN-5：/* 计算题解答 */

2025-04-29T15:15:21Z

‎计算题解答

2025年4月20日 (日) 01:08 Dg1200

2025-04-20T01:08:15Z

2025年4月20日 (日) 01:07 Dg1200

2025-04-20T01:07:08Z

Quan787：第8题“平方根”

2025-04-12T13:37:42Z

第8题“平方根”

Yiguic：/* 答案 */

2025-02-13T02:11:44Z

‎答案

@@ 第78行： / 第78行： @@
 这里的$$\Delta\lambda$$就是红移引起的光谱的改变量，结合红移与速度的关系：
 $$
-v_\odot = cz = \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}
+v_\odot = cz = c\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}
 $$

@@ 第92行： / 第92行： @@
 $$
-讨论（Credit: [[用户:Alan Wanyan]]）：其实分辨率达到 $$a=\dfrac{c}{2v} =1.676×10^{9} $$ 即可观测到视向速度变化，故答案并不严谨。
+讨论（Credit: [[用户:Alan Wanyan]]）：其实分辨率达到 $$R' = \dfrac{c}{2v} = 1.676×10^{9}$$即可观测到视向速度变化，故答案并不严谨。
 （3.352或是1.676，差一个因子2，没什么，数量级对了就行 -- ustc教授lgl）
@@ 第137行： / 第137行： @@
 假定在过去的$$t$$时刻，两束光分别从天体的直径两端发出：$$(d_c, \theta_1, \phi)$$、$$(d_c, \theta_2, \phi)$$。根据广义相对论，光沿径向测地线传播，$$\theta$$和$$\phi$$保持为常数，也就是说观测者看到的角距离和发出光线时的角距离一致：$$\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$$。
-那么我们测量到的天体的大小，在它发光的$t$时刻（由于宇宙膨胀，那个时候的天体比现在小）应该是：
+那么我们测量到的天体的大小，在它发光的$$t$$时刻（由于宇宙膨胀，那个时候的天体比现在小）应该是：
 $$
 D = a(t) d_c \Delta\theta
@@ 第154行： / 第154行： @@
 注：我们考虑一个天体在过去时间$$t$$发出的光被当前时间$$t_0$$的观测者发现，那么要考虑三个效应：
 * 当天体的光到达地球时，它的光分布在球面：$$4\pi d_c^2 a(t_0)^2 = 4\pi d_c^2$$，这里的距离就是共动距离（$$a(t_0)=1$$）
-* 由于亮度是单位时间、单位面积的能量，因为红移的缘故，光子的接收频率（个每秒，单位时间接受光子的数量，不是光子本身的频率）是发射频率的1/(1+z)，你可以理解为相邻两个光子之间的距离由$c\Delta t$膨胀为$c\Delta t (1+z)$，这会导致接收到的亮度变小
+* 由于亮度是单位时间、单位面积的能量，因为红移的缘故，光子的接收频率（个每秒，单位时间接受光子的数量，不是光子本身的频率）是发射频率的$$1/(1+z)$$，你可以理解为相邻两个光子之间的距离由$$c\Delta t$$膨胀为$$c\Delta t (1+z)$$，这会导致接收到的亮度变小
-* 因为红移的缘故，光子本身的频率也变为原来的1/(1+z)，即能量变为原来的1/(1+z)，这会导致接收到的亮度变小
+* 因为红移的缘故，光子本身的频率也变为原来的$$1/(1+z)$$，即能量变为原来的$$1/(1+z)$$，这会导致接收到的亮度变小
 于是：
@@ 第164行： / 第164行： @@
 反过来定义光度距离：
 $$
-F = \dfrac{L}{4\pi d_c^2} \implies d_L = d_c(1+z)
+F = \dfrac{L}{4\pi d_L^2} \implies d_L = d_c(1+z)
 $$

@@ 第121行： / 第121行： @@
 $$
-注：共动距离数值上不随宇宙膨胀而改变，对于平直宇宙（下同），物理距离 proper distance 就是共动距离×尺度因子，宇宙膨胀体现在尺度因子$$a(t)$$，注意$$a(t_0)\equiv 1$$
+注：共动距离数值上不随宇宙膨胀而改变，对于平直宇宙（下同），物理距离 proper distance 就是共动距离×尺度因子，宇宙膨胀体现在尺度因子$$a(t)$$：
 角直径距离 angular diameter distance：
@@ 第128行： / 第133行： @@
 $$
-注：考虑和我们共动距离为$$d_c$$的一个天体，其固有尺度为$$D$$（例如一个恒星或者星系，即其两端有物理联系的时候，假设它在我们所考虑的宇宙学时间尺度里是稳恒的，其固有尺度应当不随红移或者时间改变）。天体在过去的$$t$$时刻发光，我们看它两端的张角应该是$$D$$与物理距离之比：
+注：考虑和我们共动距离为$$d_c$$的一个天体，其固有尺度为$$D$$（例如一个恒星或者星系，即其两端有物理联系的时候，假设它在我们所考虑的宇宙学时间尺度里是稳恒的，其固有尺度应当不随红移或者时间改变）。
 $$
-\theta = \dfrac{D}{d_c a(t)}
+D = a(t) d_c \Delta\theta
 $$
 反过来，由于$$a(t) = 1/(1+z)$$，我们定义角直径距离：
 $$
-d_A = \dfrac{D}{\theta} = \dfrac{d_c}{1+z}
+d_A = \dfrac{D}{\Delta\theta} = \dfrac{d_c}{1+z}
 $$
@@ 第146行： / 第153行： @@
 注：我们考虑一个天体在过去时间$$t$$发出的光被当前时间$$t_0$$的观测者发现，那么要考虑三个效应：
-* 当天体的光到达地球时，它的光分布在球面：$$4\pi d_c^2 a(t_0)^2 = 4\pi d_c^2$$
+* 当天体的光到达地球时，它的光分布在球面：$$4\pi d_c^2 a(t_0)^2 = 4\pi d_c^2$$，这里的距离就是共动距离（$$a(t_0)=1$$）
-* 由于亮度是单位时间、单位面积的能量，因为红移的缘故，光子的接收频率（个每秒，单位时间接受光子的数量，不是光子本身的频率）是发射频率的1/(1+z)，这会导致接收到的亮度变小
+* 由于亮度是单位时间、单位面积的能量，因为红移的缘故，光子的接收频率（个每秒，单位时间接受光子的数量，不是光子本身的频率）是发射频率的1/(1+z)，你可以理解为相邻两个光子之间的距离由$c\Delta t$膨胀为$c\Delta t (1+z)$，这会导致接收到的亮度变小
 * 因为红移的缘故，光子本身的频率也变为原来的1/(1+z)，即能量变为原来的1/(1+z)，这会导致接收到的亮度变小

@@ 第78行： / 第78行： @@
 这里的$$\Delta\lambda$$就是红移引起的光谱的改变量，结合红移与速度的关系：
 $$
-v_\odot = cz = \frac{\Delta\lambda}{\lambda}
+v_\odot = cz = \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}
 $$
 则分辨率为：
 $$
-R = \dfrac{\lambda}{\Delta\lambda} = \frac{1}{z} = \frac{c}{v_\odot} = \frac{c}{v_\oplus}\dfrac{M_\odot}{M_\oplus}
+R = \dfrac{\lambda}{\Delta\lambda} = \dfrac{1}{z} = \dfrac{c}{v_\odot} = \dfrac{c}{v_\oplus}\dfrac{M_\odot}{M_\oplus}
 $$
@@ 第89行： / 第89行： @@
 $$
-R = \frac{c}{v_\oplus}\dfrac{M_\odot}{M_\oplus} = 3 \times 10^9
+R = \dfrac{c}{v_\oplus}\dfrac{M_\odot}{M_\oplus} = 3 \times 10^9
 $$
-讨论（Credit: [[用户:Alan Wanyan]]）：其实分辨率达到 $$a=\frac{c}{2v} =1.676×10^{9} $$ 即可观测到视向速度变化，故答案并不严谨。
+讨论（Credit: [[用户:Alan Wanyan]]）：其实分辨率达到 $$a=\dfrac{c}{2v} =1.676×10^{9} $$ 即可观测到视向速度变化，故答案并不严谨。
 （3.352或是1.676，差一个因子2，没什么，数量级对了就行 -- ustc教授lgl）
@@ 第100行： / 第100行： @@
 活力公式（能量守恒）：
 $$
-\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}
+\dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{GMm}{r} = -\dfrac{GMm}{2a}
 $$
 原来的轨道，$$a = r$$，$$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$$
@@ 第108行： / 第108行： @@
 代入活力公式：
 $$
-\frac{1}{2}\times 1.44\frac{GM}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}
+\dfrac{1}{2}\times 1.44\dfrac{GM}{r} - \dfrac{GMm}{r} = -\dfrac{GMm}{2a}
 $$
 解得$$a = \dfrac{25}{14}r \approx 1.8r$$，$$c = a - r = \dfrac{11}{24}r$$
@@ 第125行： / 第125行： @@
 角直径距离 angular diameter distance：
 $$
-d_A = \frac{d_c}{1+z}
+d_A = \dfrac{d_c}{1+z}
 $$
 注：考虑和我们共动距离为$$d_c$$的一个天体，其固有尺度为$$D$$（例如一个恒星或者星系，即其两端有物理联系的时候，假设它在我们所考虑的宇宙学时间尺度里是稳恒的，其固有尺度应当不随红移或者时间改变）。天体在过去的$$t$$时刻发光，我们看它两端的张角应该是$$D$$与物理距离之比：
 $$
-\theta = \frac{D}{d_c a(t)}
+\theta = \dfrac{D}{d_c a(t)}
 $$
@@ 第137行： / 第137行： @@
 反过来，由于$$a(t) = 1/(1+z)$$，我们定义角直径距离：
 $$
-d_A = \frac{D}{\theta} = \frac{d_c}{1+z}
+d_A = \dfrac{D}{\theta} = \dfrac{d_c}{1+z}
 $$
@@ 第152行： / 第152行： @@
 于是：
 $$
-F = \frac{L}{4\pi d_c^2} \times \frac{1}{(1+z)^2}
+F = \dfrac{L}{4\pi d_c^2} \times \dfrac{1}{(1+z)^2}
 $$
 反过来定义光度距离：
 $$
-F = \frac{L}{4\pi d_c^2} \implies d_L = d_c(1+z)
+F = \dfrac{L}{4\pi d_c^2} \implies d_L = d_c(1+z)
 $$

@@ 第67行： / 第67行： @@
 观测太阳的视向速度引起的红移
-$M_\odot v_\odot = M_\oplus v_\oplus$
+$$M_\odot v_\odot = M_\oplus v_\oplus$$
-$v_\odot = v_\oplus\dfrac{M_\oplus}{M_\odot}$
+$$v_\odot = v_\oplus\dfrac{M_\oplus}{M_\odot}$$
 光谱仪的分辨率：
@@ 第76行： / 第76行： @@
 $$
-这里的$\Delta\lambda$就是红移引起的光谱的改变量，结合红移与速度的关系：
+这里的$$\Delta\lambda$$就是红移引起的光谱的改变量，结合红移与速度的关系：
 $$
 v_\odot = cz = \frac{\Delta\lambda}{\lambda}
@@ 第86行： / 第86行： @@
 $$
-常识：$v_\oplus = 30\,\mathrm{km/s}$，$\dfrac{M_\odot}{M_\oplus} = 3\times 10^5$
+常识：$$v_\oplus = 30\,\mathrm{km/s}$$，$$\dfrac{M_\odot}{M_\oplus} = 3\times 10^5$$
 $$
@@ 第92行： / 第92行： @@
 $$
-讨论：其实分辨率达到 $$a=\frac{c}{2v} =1.676×10^{9} $$ 即可观测到视向速度变化，故答案并不严谨。
+讨论（Credit: [[用户:Alan Wanyan]]）：其实分辨率达到 $$a=\frac{c}{2v} =1.676×10^{9} $$ 即可观测到视向速度变化，故答案并不严谨。
 （3.352或是1.676，差一个因子2，没什么，数量级对了就行 -- ustc教授lgl）
@@ 第102行： / 第102行： @@
 \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}
 $$
-原来的轨道，$a = r$，$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$
+原来的轨道，$$a = r$$，$$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$$
-新的轨道：$v = 1.2\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$，$r = a-c$
+新的轨道：$$v = 1.2\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$$，$$r = a-c$$
 代入活力公式：
 $$
-\frac{1}{2}\times 1.44\dfrac{GM}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}
+\frac{1}{2}\times 1.44\frac{GM}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}
 $$
-解得$a = \dfrac{25}{14}r \approx 1.8r$，$c = a - r = \dfrac{11}{24}r$
+解得$$a = \dfrac{25}{14}r \approx 1.8r$$，$$c = a - r = \dfrac{11}{24}r$$
-偏心率$e = \dfrac{c}{a} = 0.44$
+偏心率$$e = \dfrac{c}{a} = 0.44$$
 ==== 第12题 ====
@@ 第121行： / 第121行： @@
 $$
-注：共动距离数值上不随宇宙膨胀而改变，对于平直宇宙（下同），物理距离 proper distance 就是共动距离×尺度因子，宇宙膨胀体现在尺度因子$a(t)$，注意$a(t_0)\equiv 1$
+注：共动距离数值上不随宇宙膨胀而改变，对于平直宇宙（下同），物理距离 proper distance 就是共动距离×尺度因子，宇宙膨胀体现在尺度因子$$a(t)$$，注意$$a(t_0)\equiv 1$$
 角直径距离 angular diameter distance：
@@ 第128行： / 第128行： @@
 $$
-注：考虑和我们共动距离为$d_c$的一个天体，其固有尺度为$D$（例如一个恒星或者星系，即其两端有物理联系的时候，假设它在我们所考虑的宇宙学时间尺度里是稳恒的，其固有尺度应当不随红移或者时间改变）。天体在过去的$t$时刻发光，我们看它两端的张角应该是$D$与物理距离之比：
+注：考虑和我们共动距离为$$d_c$$的一个天体，其固有尺度为$$D$$（例如一个恒星或者星系，即其两端有物理联系的时候，假设它在我们所考虑的宇宙学时间尺度里是稳恒的，其固有尺度应当不随红移或者时间改变）。天体在过去的$$t$$时刻发光，我们看它两端的张角应该是$$D$$与物理距离之比：
 $$
 \theta = \frac{D}{d_c a(t)}
 $$
-（假定在$t$时刻两束光分布从天体的直径两端发出，最终在$t_0$时刻汇聚到地球上的望远镜——这意味着这两束光一直是沿着径向传播的。此外，如果是平直宇宙，即使是不断膨胀的，也不会改变两个径向测地线之间的夹角！这意味着，无论光线沿着径向测地线传播的过程中经历了如何复杂的膨胀趋势的演化，它们始终保持着出发时的夹角！——也就是说它们汇聚到望远镜中时的夹角等于出发时的夹角！）
+（假定在$$t$$时刻两束光分布从天体的直径两端发出，最终在$$t_0$$时刻汇聚到地球上的望远镜——这意味着这两束光一直是沿着径向传播的。此外，如果是平直宇宙，即使是不断膨胀的，也不会改变两个径向测地线之间的夹角！这意味着，无论光线沿着径向测地线传播的过程中经历了如何复杂的膨胀趋势的演化，它们始终保持着出发时的夹角！——也就是说它们汇聚到望远镜中时的夹角等于出发时的夹角！）
-反过来，由于$a(t) = 1/(1+z)$，我们定义角直径距离：
+反过来，由于$$a(t) = 1/(1+z)$$，我们定义角直径距离：
 $$
 d_A = \frac{D}{\theta} = \frac{d_c}{1+z}
@@ 第145行： / 第145行： @@
 $$
-注：我们考虑一个天体在过去时间$t$发出的光被当前时间$t_0$的观测者发现，那么要考虑三个效应：
+注：我们考虑一个天体在过去时间$$t$$发出的光被当前时间$$t_0$$的观测者发现，那么要考虑三个效应：
-* 当天体的光到达地球时，它的光分布在球面：$4\pi d_c^2 a(t_0)^2 = 4\pi d_c^2$
+* 当天体的光到达地球时，它的光分布在球面：$$4\pi d_c^2 a(t_0)^2 = 4\pi d_c^2$$
 * 由于亮度是单位时间、单位面积的能量，因为红移的缘故，光子的接收频率（个每秒，单位时间接受光子的数量，不是光子本身的频率）是发射频率的1/(1+z)，这会导致接收到的亮度变小
 * 因为红移的缘故，光子本身的频率也变为原来的1/(1+z)，即能量变为原来的1/(1+z)，这会导致接收到的亮度变小

@@ 第61行： / 第61行： @@
 CDADB ABCCA BA
-==计算题解答==
+==部分计算题解答==
-[[2024CNAO决赛选择题第9题解答]]
+==== 第9题 ====
-<br />
+观测太阳的视向速度引起的红移

@@ 第10行： / 第10行： @@
 . 以下那个天体距离我们最近（　　　）？
-[[文件:CNAO2024决赛图1.jpg|缩略图|图1]]（A）M20　　　　（B）M31　　　（C）M81　　　（D）M101
+（A）M20　　　　（B）M31　　　（C）M81　　　（D）M101
 . 全天看上去最亮的恒星位于（　　　）。
@@ 第17行： / 第17行： @@
 . 图1箭头指的是哪种太阳活动（　　　）？
+<gallery>CNAO2024决赛图1.jpg</gallery>
 （A）黑子　　　　（B）暗条　　　　（C）针状体　　　　（D）耀斑

@@ 第8行： / 第8行： @@
 （A）西安　  　　　（B）北京　　　　（C）上海　　　　（D）杭州
-. 以下那个天体距离我们最近（　　　）？[[文件:CNAO2024决赛图1.jpg|缩略图|图1]]（A）M20　　　　（B）M31　　　（C）M81　　　（D）M101
+. 以下那个天体距离我们最近（　　　）？
 . 全天看上去最亮的恒星位于（　　　）。

@@ 第30行： / 第30行： @@
 （C）③①②⑤④　　　　（D）③⑤①②④
-. 当我们观测遥远的恒星时，如果中间有其它恒星或行星（透镜天体）穿过，由于引力的光汇聚作用，观测的背景恒星亮度增加，即微引力透镜效应。利用微引力透镜寻找系外行星，有一个非常重要的时标参数τ，可以大致描述信号的长短，它与透镜天体质量的平方成正比。一般来说，恒星质量的透镜天体引发的微引力透镜时标一般在一个月左右，那么木星质量的透镜天体导致的事件时标为（      ）左右。
+. 当我们观测遥远的恒星时，如果中间有其它恒星或行星（透镜天体）穿过，由于引力的光汇聚作用，观测的背景恒星亮度增加，即微引力透镜效应。利用微引力透镜寻找系外行星，有一个非常重要的时标参数τ，可以大致描述信号的长短，它与透镜天体质量的平方根成正比。一般来说，恒星质量的透镜天体引发的微引力透镜时标一般在一个月左右，那么木星质量的透镜天体导致的事件时标为（      ）左右。
 （A）1年　　　（B）1月　　　（C）1天　　　（D）1小时

@@ 第57行： / 第57行： @@
 ==答案==
-（待公布）
+CDADB ABCCA BA
 ==计算题解答==