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M81：2020年CNAO决赛第15题-主星序占比

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2020年CNAO决赛第15题-主星序占比

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15.（仅高年组）主序星占比
　　假设诞生的恒星中最大和最小质量分别是100和0.08个太阳质量，依据Salpeter初始质量函数估算银河系中类太阳G型主序星占多少比例。
提示：
　　Salpeter初始质量函数是：$$\frac{dN}{dM}=kM^\alpha$$，这里k是归一化常数，指数α =2.35。
　　对上式积分可以得到：$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$，这里$$M_{lower}^{\alpha+1}$$和$$M_{upper}^{\alpha+1}$$分别代表最小恒星质量0.08和最大恒星质量100。
==解答==
根据提示中给出的$$N=\frac{k}{\alpha+1} [M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}]$$，进行归一化处理，即N=1，同时把0.08和100代入其中，可以计算得到k=0.0446。
因此，$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$可以改写成：$$\frac{N}{N_{tot}}=0.033\times[M^{\alpha+1}]_{M_{upper}}^{M_{lower}}$$。
对于G型主序星，它们的恒星质量在0.8至1.04之间，所以代入可以得到G型主序星在银河系恒星中所占比例，约为1.33%。
注：不同参考文献给出G型主序星的质量范围存在微小差别，可在0.8至1.2之间，因此最后计算得到的比例在1.33%至1.88%之间的都算正确。

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 .（仅高年组）主序星占比
 　　假设诞生的恒星中最大和最小质量分别是100和0.08个太阳质量，依据Salpeter初始质量函数估算银河系中类太阳G型主序星占多少比例。
 提示：
 　　Salpeter初始质量函数是：$$\frac{dN}{dM}=kM^\alpha$$，这里k是归一化常数，指数α =2.35。
 　　对上式积分可以得到：$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$，这里$$M_{lower}^{\alpha+1}$$和$$M_{upper}^{\alpha+1}$$分别代表最小恒星质量0.08和最大恒星质量100。
 ==解答==
 根据提示中给出的$$N=\frac{k}{\alpha+1} [M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}]$$，进行归一化处理，即N=1，同时把0.08和100代入其中，可以计算得到k=0.0446。
 因此，$$N=\frac{k}{\alpha+1}\left[M_{upper}^{\alpha+1}-M_{lower}^{\alpha+1}\right]$$可以改写成：$$\frac{N}{N_{tot}}=0.033\times[M^{\alpha+1}]_{M_{upper}}^{M_{lower}}$$。
 对于G型主序星，它们的恒星质量在0.8至1.04之间，所以代入可以得到G型主序星在银河系恒星中所占比例，约为1.33%。
 注：不同参考文献给出G型主序星的质量范围存在微小差别，可在0.8至1.2之间，因此最后计算得到的比例在1.33%至1.88%之间的都算正确。

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