2019年IOAA理论第9题-地月系统拉格朗日L2点的距离 - 版本历史

2022年3月5日 (六) 14:05 Jingsong Guo

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@@ 第33行： / 第33行： @@
 ω^2 =
 \dfrac{GM}
-{(R + r)2} +
+{(R + r)^2} +
 \dfrac{Gm}
-{r2}$$ ;
+{r^2}$$ ;
 <div style="float:right">(''4 p'')</div>
@@ 第151行： / 第151行： @@
 ω^2 =
 \dfrac{GM}
-{(R + r)2} +
+{(R + r)^2} +
 \dfrac{Gm}
-{r2}$$ ;
+{r^2}$$ ;
 <div style="float:right">(''4 分'')</div>
@@ 第237行： / 第237行： @@
 (9.12) $$x = 0.160 05$$;
-那么,
+那么，
 $$r = xR_{Moon} = 0.160 05 \times 384 400km = 61 524 km$$
-最后有
+最后有：
 $$h = r - R_{Moon} = 61 524 km - 1737 km = 59 787 km$$
-后面这种算法也可以给满分。但是，如果两个方程里只忽略了一个m，就要扣掉至少两份。
+后面这种算法也可以给满分。但是，如果两个方程里只忽略了一个m，就要扣掉至少两分。

@@ 第24行： / 第24行： @@
 The relay satellite revolves on a circular orbit, due to the gravitational forces of the Earth and the Moon.
 Its net acceleration is:
 (9.1)
@@ 第87行： / 第88行： @@
-Substituting the mass ratio m=M = 0:0123 of the Earth-Moon system one can obtain
+Substituting the mass ratio $$m:M = 0:0123$$ of the Earth-Moon system one can obtain
 (9.7) $$x = 0.159 83$$;
@@ 第109行： / 第110行： @@
 an almost equivalent result.
-One might say, that $$m \ll M$$ and therefore m can be neglected either in the left hand side of Eq. (9.1)
+One might say, that $$m ≪ M$$ and therefore m can be neglected either in the left hand side of Eq. (9.1)
 and in the r.h.s. of Eq. (9.2), i.e. one can use the following approximation:
@@ 第135行： / 第136行： @@
 This latter should be accepted as a full point solution, too. If, however, m is dropped out only from one
 of the two equations, then at least 2 points should be subtracted.

@@ 第22行： / 第22行： @@
 ==官方解答==
 The relay satellite revolves on a circular orbit, due to the gravitational forces of the Earth and the Moon.
 Its net acceleration is:

@@ 第53行： / 第53行： @@
 Substituting Eq. (9.2) into Eq. (9.1), eliminating the gravitational constant (G), and introducing the
-dimensionless quantity x = r=R, we obtain
+dimensionless quantity $$x = r/R ≪1$$, we obtain
 (9.3)$$\dfrac{(M + m)x +M}

@@ 第26行： / 第26行： @@
 Its net acceleration is:
 (9.1)
-−
 $$(r +
 \dfrac{M}

@@ 第90行： / 第90行： @@
 Substituting the mass ratio m=M = 0:0123 of the Earth-Moon system one can obtain
-(9.7) $$x = 0:159 83$$;
+(9.7) $$x = 0.159 83$$;
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
@@ 第103行： / 第103行： @@
 From this result we should subtract the radius of the Moon, and such a way we obtain that
-(9.9) $$h = r - RMoon = 61 440 km - 1737 km = 59 703 km$$
+(9.9) $$h = r - R_{Moon} = 61 440 km - 1737 km = 59 703 km$$
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>

@@ 第30行： / 第30行： @@
 \dfrac{M}
 {m +M}
+R)
 ω^2 =
 \dfrac{GM}
@@ 第37行： / 第37行： @@
 {r2}$$ ;
 <div style="float:right">(''4 p'')</div>
 where R and r denote the (constant) distances between Earth and Moon, and between Moon and the
@@ 第61行： / 第62行： @@
 {R^2x^2}$$
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
 (9.4) $$(M + m)x +M =
@@ 第76行： / 第78行： @@
 {x^2}$$;
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
 from which we get
@@ 第83行： / 第86行： @@
 {3M + m}$$;
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
 Substituting the mass ratio m=M = 0:0123 of the Earth-Moon system one can obtain
@@ 第88行： / 第92行： @@
 (9.7) $$x = 0:159 83$$;
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
 and therefore
 (9.8) $$r = xR_{Moon} = 0.159 83 \times 384 400km = 61 440 km$$
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
@@ 第99行： / 第105行： @@
 (9.9) $$h = r - RMoon = 61 440 km - 1737 km = 59 703 km$$
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
 Here is another solution, which is erroneous in principle (or say, "approximative") but numerically gives

@@ 第54行： / 第54行： @@
 (9.3)$$\dfrac{(M + m)x +M}
-{R2} =
+{R^2} =
 \dfrac{M}
 {R^2(1 + x)^2} +
@@ 第61行： / 第61行： @@
 <div style="float:right">(''2 p'')</div>
-(9.4) $$\dfrac{(M + m)x +M} =
+(9.4) $$(M + m)x +M =
 \dfrac{M}
 {(1 + x)^2} +
@@ 第102行： / 第102行： @@
 an almost equivalent result.
-One might say, that m � M and therefore m can be neglected either in the left hand side of Eq. (9.1)
+One might say, that $$m \ll M$$ and therefore m can be neglected either in the left hand side of Eq. (9.1)
 and in the r.h.s. of Eq. (9.2), i.e. one can use the following approximation:
@@ 第120行： / 第120行： @@
 and therefore,
-$$r = xRMoon = 0.160 05 \times 384 400km = 61 524 km$$
+$$r = x_R{Moon} = 0.160 05 \times 384 400km = 61 524 km$$
 and, finally
-$$h = r - RMoon = 61 524 km - 1737 km = 59 787 km$$
+$$h = r - R_{Moon} = 61 524 km - 1737 km = 59 787 km$$
 This latter should be accepted as a full point solution, too. If, however, m is dropped out only from one
 of the two equations, then at least 2 points should be subtracted.