2019年IAO理论高年组第4题-彗星粒子 - 版本历史

2020年4月7日 (二) 04:47 Quan787

2020-04-07T04:47:55Z

2020年4月7日 (二) 04:44 Quan787

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2020年4月6日 (一) 10:50 Quan787

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2020年4月6日 (一) 09:00 Quan787

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Quan787：创建页面，内容为“==英文原题== 4. Comet particles. Particles of characteristic cometary matter of various sizes come off a comet. Estimate, the characteristic sizes D of the part…”

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==英文原题==

4. Comet particles. Particles of characteristic cometary matter of various sizes come off a comet. Estimate, the characteristic sizes D of the particles which are not ejected outside the Solar System due to the solar radiation pressure.

Note: You will get more points for the solution if you first derive the algebraic formula of the answer D=f(a,b,c,d,e...) and only then get the numerical answer by inserting the numerical data a, b, c, d, e... into this formula.

==中文翻译==

4. 彗星粒子。一些典型的彗星物质构成的粒子从彗星上脱落下来。估计，不被太阳的辐射压弹射出太阳系的粒子的典型直径。

注意：如果你可以推导出解析形式的方程如D=f(a,b,c,d,e...)，然后将所需参数a, b, c, d, e...代入得到数值答案，你可以得到额外的分数。

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第53行：		第53行：
	此时D为微粒密度、与太阳距离、母体彗星轨道半长径的函数D(ρ,R,a).观察可以看出，'''R越大时D越小，对应彗星离太阳越远，微粒越难被弹出太阳系；a越大时D越大，对应母体彗星的轨道能量越大，微粒越容易弹出太阳系'''。		此时D为微粒密度、与太阳距离、母体彗星轨道半长径的函数D(ρ,R,a).观察可以看出，'''R越大时D越小，对应彗星离太阳越远，微粒越难被弹出太阳系；a越大时D越大，对应母体彗星的轨道能量越大，微粒越容易弹出太阳系'''。

−	~~带入彗星的平均密度300kg~~/m<sup>3</sup>，假设彗星与太阳距离1AU，轨道半长径100AU来计算，D=0.0015m。	+	代入彗星的平均密度300kg/m<sup>3</sup>，假设彗星与太阳距离1AU，轨道半长径100AU来计算，D=0.0015m。

@@ 第33行： / 第33行： @@
 当我们判断一个物体是否会脱离引力束缚时，通常观察其机械能（引力势能+动能）。当机械能<0时，物体是椭圆轨道；机械能≥0时，物体会脱离引力束缚。对于这个粒子来说，恰好能脱离太阳系的情形是：
-$$E_p +E_k=-(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})\frac{GMm}{R^2}+\frac{1}{2}mv^2=0$$
+$$E_p +E_k=-(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}mv^2=0$$
-对于刚刚离开彗星的微粒，其速度大小认为与彗星母体相同，可以对微粒的速度应用活力公式$$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$。将其带入：
+对于刚刚离开彗星的微粒，其速度大小认为与彗星母体相同，可以对微粒的速度应用活力公式$$v^2=GM(\frac{2}{R}-\frac{1}{a})$$。将其带入：
 $$E_p +E_k=-(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})\frac{GMm}{R}+GMm(\frac{1}{R}-\frac{1}{2a})=0$$
-$$(\frac{Lr^2}{2cGMm}-1)\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{r}-\frac{GMm}{2a}=0$$
+$$(\frac{Lr^2}{2cGMm}-1)\frac{GMm}{R}+\frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{2a}=0$$
 $$\frac{Lr^2}{2cGMm}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$
@@ 第45行： / 第45行： @@
 将m=4/3πr<sup>3</sup>ρ代入，
-$$\frac{Lr^2}{2cGMm(\frac{4}{3}\pi\rho r^3 )}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$
+$$\frac{Lr^2}{2cGM(\frac{4}{3}\pi\rho r^3 )}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$
 $$\frac{L}{2cGM(\frac{4}{3}\pi\rho r)}\frac{1}{R}-\frac{1}{2a}=0$$

@@ 第11行： / 第11行： @@
 注意：如果你可以推导出解析形式的方程如D=f(a,b,c,d,e...)，然后将所需参数a, b, c, d, e...代入得到数值答案，你可以得到额外的分数。
-== 解答 ==
+==解答==
 （注意：本题目与标答不完全一致）
-彗星一般沿椭圆、抛物线或非常接近双曲线的轨道围绕太阳运行。彗星由于尺寸较大，引力之外的力对其影响不大，但脱落的碎屑由于尺寸较小，光压对其运动轨迹的影响比较大。这是因为万有引力基本正比于尺寸的三次方，但是光压正比于颗粒的受光面积，从而正比于尺寸的二次方。随着尺寸减小，光压与引力的比值会增大。
+彗星一般沿椭圆、抛物线或非常接近双曲线的轨道围绕太阳运行。彗星由于尺寸较大，引力之外的力对其影响不大，但脱落的碎屑由于尺寸较小，光压对其运动轨迹的影响比较大。这是因为万有引力基本正比于尺寸的三次方，但是光压正比于颗粒的受光面积，从而正比于尺寸的二次方。'''随着尺寸减小，光压与引力的比值会增大。'''
-光压来自于光子的动量。单个光子具有动量P= hν/c和能量E=hν，对微粒来说光压正比于单位时间落在微粒上的光子数，所以在太阳系的情况下，光压与万有引力一样都遵循平方反比规律，并且是一个保守力。
+光压来自于光子的动量。单个光子具有动量P= hν/c和能量E=hν，对微粒来说光压正比于单位时间落在微粒上的光子数，所以在太阳系的情况下，'''光压与万有引力一样都遵循平方反比规律，并且是一个保守力。'''
 假设球形微粒可以吸收照射在表面的光子，微粒半径为r，与太阳距离为R，太阳光度为L：
@@ 第29行： / 第29行： @@
 $$F=F_g -F_p =\frac{GMm}{R^2}-\frac{L r^2}{2c R^2}=\frac{GMm}{R^2}-\frac{Lr^2}{2cGMm}\frac{GMm}{R^2}=(1-\frac{Lr^2}{2cGMm})F_g$$
-通过上述整理我们发现光压相当于对引力乘上了一个系数。相应的，其“引力”势能也会产生对应的变化。
+通过上述整理我们发现'''光压相当于对引力乘上了一个系数'''。相应的，其“引力”势能也会产生对应的变化。
 当我们判断一个物体是否会脱离引力束缚时，通常观察其机械能（引力势能+动能）。当机械能<0时，物体是椭圆轨道；机械能≥0时，物体会脱离引力束缚。对于这个粒子来说，恰好能脱离太阳系的情形是：
@@ 第51行： / 第51行： @@
 整理得$$D=2r=\frac{3aL}{2\pi cGM\rho R}$$
-此时D为微粒密度、与太阳距离、母体彗星轨道半长径的函数D(ρ,R,a).观察可以看出，R越大时D越小，对应彗星离太阳越远，微粒越难被弹出太阳系；a越大时D越大，对应母体彗星的轨道能量越大，微粒越容易弹出太阳系。
+此时D为微粒密度、与太阳距离、母体彗星轨道半长径的函数D(ρ,R,a).观察可以看出，'''R越大时D越小，对应彗星离太阳越远，微粒越难被弹出太阳系；a越大时D越大，对应母体彗星的轨道能量越大，微粒越容易弹出太阳系'''。
 带入彗星的平均密度300kg/m<sup>3</sup>，假设彗星与太阳距离1AU，轨道半长径100AU来计算，D=0.0015m。

@@ 第20行： / 第20行： @@
 假设球形微粒可以吸收照射在表面的光子，微粒半径为r，与太阳距离为R，太阳光度为L：
-<nowiki>$$F_p=4\pi r^2 \frac{L}{4\pi R^2} \frac{\frac{h\nu}{c}}{h\nu}=\frac{r^2 L}{2R^2 c}$$</nowiki>
+<nowiki>$$F_p=2\pi r^2 \frac{L}{4\pi R^2} \frac{\frac{h\nu}{c}}{h\nu}=\frac{L r^2}{2c R^2}$$</nowiki>
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第10行：		第10行：

	注意：如果你可以推导出解析形式的方程如D=f(a,b,c,d,e...)，然后将所需参数a, b, c, d, e...代入得到数值答案，你可以得到额外的分数。		注意：如果你可以推导出解析形式的方程如D=f(a,b,c,d,e...)，然后将所需参数a, b, c, d, e...代入得到数值答案，你可以得到额外的分数。
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		+	== 解答 ==
		+	（注意：本题目与标答不完全一致）
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		+	彗星一般沿椭圆、抛物线或非常接近双曲线的轨道围绕太阳运行。彗星由于尺寸较大，引力之外的力对其影响不大，但脱落的碎屑由于尺寸较小，光压对其运动轨迹的影响比较大。这是因为万有引力基本正比于尺寸的三次方，但是光压正比于颗粒的受光面积，从而正比于尺寸的二次方。随着尺寸减小，光压与引力的比值会增大。
		+
		+	光压来自于光子的动量。单个光子具有动量P= hν/c和能量E=hν，对微粒来说光压正比于单位时间落在微粒上的光子数，所以在太阳系的情况下，光压与万有引力一样都遵循平方反比规律，并且是一个保守力。
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		+	假设球形微粒可以吸收照射在表面的光子，微粒半径为r，与太阳距离为R，太阳光度为L：
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		+	<nowiki>$$F_p=4\pi r^2 \frac{L}{4\pi R^2} \frac{\frac{h\nu}{c}}{h\nu}=\frac{r^2 L}{2R^2 c}$$</nowiki>
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