2019年CNAO决赛第18题-垂直发射的炮弹 - 版本历史

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2026-07-17T14:50:53Z

群友反馈，把不正确的用户答案更改为官方答案，优化了一下编辑

2026年2月2日 (一) 13:39 Felix Shen

2026-02-02T13:39:05Z

Caroldong：/* 解答 */

2019-12-03T20:54:47Z

‎解答

Caroldong：/* 解答 */

2019-12-03T20:43:23Z

‎解答

2019年11月15日 (五) 02:41 Caroldong

2019-11-15T02:41:42Z

2019年7月27日 (六) 14:22 Richardjcx

2019-07-27T14:22:22Z

Quan787：配图

2019-07-20T09:38:48Z

配图

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2019-07-20T09:26:45Z

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{{需要解答}}
==题目==
18、（高年组）垂直发射的炮弹

垂直发射的炮弹是否会落回炮口，这是很久以前曾出现过的争论。

考虑在赤道处从地面垂直向上发射一颗炮弹，忽略空气影响，则：

（1）当弹丸落回地面时，落点会正好位于炮口、位于其东侧、还是位于其西侧，列出判断依据。

（2）设弹丸发射的初速为V0，弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与V0的关系，请列出过程。

【提示】

在推导中你可能用到以下参数：

*地球自转角速度ω0
*地球半径R
*重力加速度g

还可能用到以下公式：

*开普勒定律
*<nowiki>$$\frac{1}{1+x}\simeq 1-x$$</nowiki>
*<nowiki>$$\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x$$</nowiki>

[[分类:暂未分类]]

@@ 第8行： / 第8行： @@
 （1）当弹丸落回地面时，落点会正好位于炮口、位于其东侧、还是位于其西侧，列出判断依据。
-（2）设弹丸发射的初速为V<sub>0</sub>，弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与V<sub>0</sub>的关系，请列出过程。
+（2）设弹丸发射的初速为$$V_0$$，弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与$$V_0$$的关系，请列出过程。
 [[文件:CNAO2019-18.jpg|缩略图|图1]]
 【提示】
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 在推导中你可能用到以下参数：
-*地球自转角速度ω<sub>0</sub>
+*地球自转角速度$$ω_0$$
-*地球半径R
+*地球半径$$R$$
-*重力加速度g
+*重力加速度$$g$$
 还可能用到以下公式：
 *开普勒定律
-*<nowiki>$$\frac{1}{1+x}\simeq 1-x$$</nowiki>
+*$$\frac{1}{1+x} \simeq 1-x$$
-*<nowiki>$$\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x$$</nowiki>
+*<nowiki>$$\frac{1}{(1+x)^2} \simeq 1-2x$$</nowiki>
 ==解答==
-(1) 西侧。地球的自转方向是自西向东，当炮弹离开炮口时，炮弹拥有$$\omega_0R$$的水平方向的线速度，而在高度为h的时候，炮弹相对于地心的角速度为$$\omega_0\frac{R}{R+h}\lt\omega_0$$，也就是说相对于观测者而言，炮弹实际上是在向西运动。
+{{官方答案}}
-(2) 炮弹可认为在一个椭圆形轨道上运动，地球位于其中一个焦点上，如图。由于炮弹高度远小于地球半径，远地点处炮弹的高度$$h=\frac{v_0^2}{2g}$$
+根据开普勒定律，单位时间内扫过的面积为常数，故有\[\omega(y)(R+y)^2 \equiv \omega_0 R^2\]$$\omega_0$$为地球自转角速度。
-[[文件:2019cnao t18.png|缩略图|左]]
+【注】在本次决赛中，很多同学根据“弹丸水平方向速度保持恒定，因此地心角速度随着高度增加而减小”来推定炮弹落于西侧。
-由椭圆的极坐标方程
+以下可以采用多种方法估算弹丸从发射到飞至最高点期间偏离距离。
-$$r=\frac{a(1-\epsilon^2)}{1-\epsilon cos\theta}$$
+例如：取简单平均、或使用$$\frac{T}{2}$$时的$$dV$$作为平均值、或分段计算$$0 \sim \frac{T}{2}，\frac{T}{2} \sim T$$的距离等，结果为某常数 $$\times \omega_0 \frac{V_0^3}{g^2}$$。
-以及活力公式,注意，炮弹的质量远小于地球质量，故
+（使用平均值方法计算，推导和计算过程正确，此步骤给满分；若使用积分计算，须得出准确结果，此步骤给满分）
-$$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$
+ 官方答案来自《天文爱好者》
 [[分类:天体力学]]

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−	~~{{需要解答}}~~
	==题目==		==题目==
	18、（高年组）垂直发射的炮弹		18、（高年组）垂直发射的炮弹

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 (1) 西侧。地球的自转方向是自西向东，当炮弹离开炮口时，炮弹拥有$$\omega_0R$$的水平方向的线速度，而在高度为h的时候，炮弹相对于地心的角速度为$$\omega_0\frac{R}{R+h}\lt\omega_0$$，也就是说相对于观测者而言，炮弹实际上是在向西运动。
-(2) 炮弹可认为在一个椭圆形轨道上运动，地球位于其中一个焦点上，如图。由于炮弹高度远小于地球半径，远地点处炮弹的高度$$h=\frac{v_0^2}{2g}$$，从发射到落下的时间为$$t=\frac{2v_0}{g}$$
+(2) 炮弹可认为在一个椭圆形轨道上运动，地球位于其中一个焦点上，如图。由于炮弹高度远小于地球半径，远地点处炮弹的高度$$h=\frac{v_0^2}{2g}$$
 [[文件:2019cnao t18.png|缩略图|左]]

@@ 第37行： / 第37行： @@
 $$r=\frac{a(1-\epsilon^2)}{1-\epsilon cos\theta}$$
-以及活力公式
+以及活力公式,注意，炮弹的质量远小于地球质量，故
 $$v^2=GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$$

←上一版本		2019年7月27日 (六) 14:22的版本
第25行：		第25行：
	*<nowiki>$$\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x$$</nowiki>		*<nowiki>$$\frac{1}{(1+x)^2}\simeq1-2x$$</nowiki>

−	[[分类:~~暂未分类~~]]	+	[[分类:天体力学]]

2019年CNAO决赛第18题-垂直发射的炮弹 - 版本历史

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2026年2月2日 (一) 13:39 Felix Shen

Caroldong：/* 解答 */

Caroldong：/* 解答 */

2019年11月15日 (五) 02:41 Caroldong

2019年7月27日 (六) 14:22 Richardjcx

Quan787：配图

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