2016年IOAA理论第12题-系外行星 - 版本历史

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探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
系外行星及其寄主星的多重信息。

@@ 第11行： / 第11行： @@
 当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
 心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
-生微弱的多普勒位移。
+生微弱的多普勒位移。见图1
-[[文件:系外行星1.jpg|缩略图|系外行星1]]
+[[文件:系外行星1.jpg|缩略图|系外行星图1]]
 恒星的视向速度 可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V<sub>1</sub>随时间t的周期变化如图所示。
 图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V<sub>0</sub>。
@@ 第25行： / 第25行： @@
 当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒
 星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
-示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。
+示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。见图2
-[[文件:系外行星2.jpg|缩略图|系外行星2]]
+[[文件:系外行星2.jpg|缩略图|系外行星图2]]
 如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
 条弦，弦的中心到圆心的距离为bR<sub>s</sub>。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
@@ 第75行： / 第75行： @@
 .13 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
 宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
-情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。
+情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。见图3
-[[文件:系外行星3.jpg|缩略图|系外行星3]]
+[[文件:系外行星3.jpg|缩略图|系外行星图3]]
 ==解答==

@@ 第1行： / 第1行： @@
 ==题目==
 探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
@@ 第12行： / 第13行： @@
 生微弱的多普勒位移。
-(图片）
+[[文件:系外行星1.jpg|缩略图|系外行星1]]
 恒星的视向速度 可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V<sub>1</sub>随时间t的周期变化如图所示。
 图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V<sub>0</sub>。
@@ 第26行： / 第27行： @@
 示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。
-（图片）
+[[文件:系外行星2.jpg|缩略图|系外行星2]]
 如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
 条弦，弦的中心到圆心的距离为bR<sub>s</sub>。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
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 情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。
 ==解答==

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 '''“摆动法”''':
 当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
 心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
@@ 第20行： / 第21行： @@
 '''凌星法'''：
 当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒
 星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
@@ 第42行： / 第44行： @@
 .6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为
-$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$
+<nowiki>$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$</nowiki>
 .7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/R<sub>s</sub> ，推导过程可以采用适当的近似。
-.8 结合摆动法与凌日法的结论，用t<sub>T</sub> ,t<sub>F</sub> ,Δ 和 P表示恒星平均密度 ，已知
+.8 结合摆动法与凌日法的结论，用t<sub>T</sub> ,t<sub>F</sub><nowiki> ,Δ 和 P表示恒星平均密度 ，已知
-$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。
+$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。</nowiki>
 '''固态还是气态'''：

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 探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
 “摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
 系外行星及其寄主星的多重信息。
-本题中，我们考虑一颗质量为 ，半径为 的行星绕一颗质量为 ( )，半径为 的恒
+'''“摆动法”''':
 当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
 心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
 生微弱的多普勒位移。
-恒星的视向速度 可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度随时间t的周期变化如图所示。
-图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期 和视线速度的最大值 。
+(图片）
-(T12.1) 请用 和 表示，推导出轨道半径 和轨道线速度 。
+恒星的视向速度 可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V<sub>1</sub>随时间t的周期变化如图所示。
-(T12.2) 请用
+图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V<sub>0</sub>。
-, 和 表示，推出行星质量下限 。
-凌星法：
+.1 请用M<sub>S</sub>和P表示，推导出轨道半径a和轨道线速度V<sub>p</sub>。
 当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向(
-)时，观测者会发现行星周期性地从恒
+.2 请用M<sub>s</sub>,v<sub>0</sub> 和v<sub>p</sub>表示，推出行星质量下限M<sub>p,min</sub>。
 星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
 示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。
-如果倾角恰好是 ，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果 取其他值，凌的路径是一
+（图片）
-条弦，弦的中心到圆心的距离为 。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
+如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
-量变化的最大值为 。
+条弦，弦的中心到圆心的距离为bR<sub>s</sub>。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
 图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其
-中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为 ，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为 。这些
+中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为t<sub>F</sub>，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为t<sub>T</sub>。这些
 节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。
-凌星法中可测量的物理量有 , , 和 。
+凌星法中可测量的物理量有P ,t<sub>T</sub> ,t<sub>F</sub> 和 Δ。
-(T12.3) 请用含有 和 的表达式给出 的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的
 现象。
-(T12.4) 用 和 表示 。
-(T12.5) 用
+.4 用R<sub>s</sub>和R<sub>p</sub>表示Δ。
-, , , 和 表示 和 。
-(T12.6) 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为
+.5 用R<sub>s</sub>, R<sub>p</sub>, a, P和 b表示 t<sub>T</sub>和 t<sub>F</sub>。
- [ √
+.6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为
-−
+$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$
-−
+.7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/R<sub>s</sub> ，推导过程可以采用适当的近似。
-−
+.8 结合摆动法与凌日法的结论，用t<sub>T</sub> ,t<sub>F</sub> ,Δ 和 P表示恒星平均密度 ，已知
+$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。
-−
+'''固态还是气态'''：
-−
- ⁄
+考虑一个从地球看过去为侧向(i=90°)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星
-(T12.7) 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量量表示 ，推导过程可以采用适当的近
+的质量为$$1.00M_{\bigodot }$$，凌日法观测到的周期P为50.0天，凌日现象的时长为1.00小时，凌日的流量变
-似。
+化量Δ为0.0064。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为0.400m/s。
-(T12.8) 结合摆动法与凌日法的结论，用 , , 和 表示恒星平均密度 ，已知
+.9  计算行星的轨道半径 a分别以AU和米为单位。
-−
+.10 求系统的 t<sub>F</sub>/t<sub>T</sub>比值。
-−
-。
+.11 用地球质量$$M_{\bigoplus }$$和地球半径$$R_{\bigoplus }$$分别求得行星质量M<sub>p</sub>与行星半径R<sub>p</sub>。行星是固态的还
 是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。
 恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线
-(T12.12) 考虑一个 的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行
+'''恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线'''
-星的尺寸 相等。恒星的自转周期是 。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续
 五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流
 量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子
 与行星相遇了。
-(T12.13) 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
 宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
-情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线
+情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。

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第2行：		第2行：
	“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测		“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
	系外行星及其寄主星的多重信息。		系外行星及其寄主星的多重信息。
		+
		+
		+	本题中，我们考虑一颗质量为，半径为的行星绕一颗质量为 ( )，半径为的恒
		+	星公转，公转轨道半径为。当轨道面的中心轴与视线方向的夹角趋向于时，观测者的
		+	视线与该行星的轨道面平行，此时被定义为“侧向”。假设没有其他行星绕恒星公转，且
		+	。
		+	“摆动法”
		+	当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
		+	心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
		+	生微弱的多普勒位移。
		+	恒星的视向速度可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度随时间t的周期变化如图所示。
		+	图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期和视线速度的最大值。
		+	(T12.1) 请用和表示，推导出轨道半径和轨道线速度。
		+	(T12.2) 请用
		+	, 和表示，推出行星质量下限。
		+	凌星法：
		+	当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向(
		+	)时，观测者会发现行星周期性地从恒
		+	星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
		+	示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。
		+
		+	如果倾角恰好是，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果取其他值，凌的路径是一
		+	条弦，弦的中心到圆心的距离为。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
		+	量变化的最大值为。
		+	图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其
		+	中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为。这些
		+	节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。
		+	凌星法中可测量的物理量有 , , 和。
		+	(T12.3) 请用含有和的表达式给出的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的
		+	现象。
		+	(T12.4) 用和表示。
		+	(T12.5) 用
		+	, , , 和表示和。
		+	(T12.6) 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为
		+	[ √
		+	(
		+
		+
		+	)
		+
		+	(
		+
		+
		+	)
		+
		+	]
		+	⁄
		+	(T12.7) 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量量表示，推导过程可以采用适当的近
		+	似。
		+	(T12.8) 结合摆动法与凌日法的结论，用 , , 和表示恒星平均密度，已知
		+
		+
		+
		+
		+	。
		+	固态还是气态：
		+	考虑一个从地球看过去为侧向(
		+	)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星
		+	的质量为，凌日法观测到的周期为天，凌日现象的时长为小时，凌日的流量变
		+	化量为。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为。
		+	(T12.9) 计算行星的轨道半径分别以AU和米为单位。
		+	(T12.10) 求系统的比值。
		+	(T12.11) 用地球质量和地球半径分别求得行星质量与行星半径。行星是固态的还
		+	是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。
		+	恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线
		+	(T12.12) 考虑一个的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行
		+	星的尺寸相等。恒星的自转周期是。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续
		+	五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流
		+	量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子
		+	与行星相遇了。
		+	(T12.13) 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
		+	宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
		+	情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线