天体视运动 - 版本历史

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==知识点==

一、球面几何基础

1. 大圆、小圆

球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。

2．球面上的距离

大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。

$$D=r×θ$$

D为球面距离，r为半径，θ为角距。θ极小r极大时，这也是两点直线距离的公式

3. 球面三角形

三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形成为球面三角形。三条劣弧称为球面三角形的边。用边的字母表示弧长或弧所对应球心角的大小，用角的字母表示两夹边所对应两大圆面的二面角。

从球心出发，过球面三角形三个顶点作射线，三条射线之间构成三个平面。这样的图形称为三面角。三面角O-ABC中，两个面角之和大于第三个面角。（$$∠AOB+∠COB >∠AOC$$）

性质1：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

性质2：等角对等边，大角对大边。

性质3：球面三角形的周长小于大圆周长。

性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：

$$ S=(E-π)×r^2 $$

E为内角和，r为球半径。
4. 球面三角形的边角关系

（1）球面正余弦定理

cosa=cosb cosc+sinb sinc cosA

cosb=cosa cosc+sina sinc cosB

cosc=cosa cosb+sina sinb cosC

cosA=-cosB cosC+sinB sinC cosa

cosB=-cosA cosC+sinA sinC cosb

cosC=-cosA cosB+sinA sinB cosc

（2）球面四元素公式
cotA sinC=－cosCcosb+sinb cota

cotA sinB=－cosB cosc+sinc cota

（3）球面五元素公式

sinA cosb=cosB sinC+sinB cosC cosa

sinA cosc=cosC sinB+sinC cosB cosa

sina cosB=cosb sinc－sinb cosc cosA

sina cosC=cosc sinb－sinc cosb cosA

二、天球坐标系

1. 天球的概念

天球是一个与地球同球心，并有相同的自转轴，半径无限大的球。其目的是将天体沿观测者视线投影到球面上，以便于研究天体及其相对位置。有时还将天球球心设置在某些特殊点，如地心和日心，相应的天球分别称为地心天球和日心天球。

2. 天球坐标系

意义：确定天体在天球上的位置

三要素：基本轴、基本点、坐标范围和量度方向。

3. 几个基本的球面坐标系

（1）地理经纬度：地理纬度φ、地理经度λ

基本轴：地球自转轴

基本点：格林尼治天文台G。坐标西正东负、北正南负。

海里：沿经度圈，纬度每变化1”的球面距离。

（2）地平坐标系：地平高度h或天顶距z、方位角A

基本轴：铅直线

基本点：北点或南点。方位角自南点起，周日视运动方向为正。

（3）赤道坐标系：赤经(R.A.)α或时角t、赤纬(Dec.)δ

基本轴：地球自转轴

基本点：春分点♈。赤纬北正南负，赤经从春分点始，以与周日视运动相反方向度量。时角由子午圈与天赤道交点始西正东负。

4. 四季星空

全天88星座的族分类：

大熊族：包括大熊座及周围属于北半球的星座，大多与动物有关，共有10个星座。

黄道星座：包括黄道13星座，除常见的12个传统星座，还包含蛇夫座。

英仙族：包括英仙座以及与英仙珀耳修斯的故事有关的星座，共有9个星座。

武仙族：包括武仙座以及与武仙海格力斯的故事有关的星座，共有18个星座。

猎户族：包括猎户座与及猎人俄里翁的两只猎犬及猎物，共有5个星座。

幻之水族：包含一些与海洋有关的星座，大部分都在南半球，共有9个星座。

拜耳族：由天文学家约翰·拜耳命名的星座，大多与动物有关，共有11个星座。

拉卡伊族：由天文学家尼可拉·路易·拉卡伊命名的星座，大多都是科学的用具，共有13个星座。

5. 黄道十二宫：白羊宫（Aries, ♈︎）；金牛宫（Taurus, ♉︎）；双子宫（Gemini, ♊︎）；巨蟹宫（Cancer, ♋︎）；狮子宫（Leo, ♌︎）；处女宫（Virgo, ♍︎）；天秤宫（Libra, ♎︎）；天蝎宫（Scorpio, ♏︎）；人马宫（Sagittarius, ♐︎）；摩羯宫（Capricornus, ♑︎）；宝瓶宫（Aquarius, ♒︎）；双鱼宫（Pisces, ♓︎）。

黄道十二宫黄道带上人为划分（与实际星座位置不一致）的均等区域，以数学方式的划分为十二个30°的扇区。

三、天体的视运动

1. 不同纬度的周日视运动

本质：运动的相对性原理。

范围：所有天体，速度为24h/rev

（1）北极：所有天体沿水平小圆运动

（2）赤道：所有天体东升西落

（3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）

$$ h_Polaris=90⁰-φ $$

2. 天体中天

子午圈：通过天极和天顶的大圆。

天体通过子午圈称为中天。离天顶近的称为上中天，反之则称为下中天。在北半球，上、下中天有如下关系：

$$h_max=90⁰-|δ-φ|$$

$$h_min=〖-90〗^0+|δ+φ| $$

$$h_max+h_min=2×δ$$

在天顶以北上中天时，δ-φ>0。在天顶以南，则δ-φ<0

3. 永不升和永不落天体

由于所有天体绕极轴转动，所以在特定纬度，部分星体永不落或永不升。在北半球，满足如下关系：

永不落： δ>90^0-φ

永不升： δ<-(90^0-φ)

性质：在赤道，没有天体永不升、落

4. 月相

恒星月：月球绕地球公转的周期。

朔望月：月相变化的周期，长于恒星月。

决定因素：日月角距的变化，每天13.2⁰。自朔到望。

5. 日月食

月食：只能在望日发生，只能在月食限内发生，一年两食季。

日食：只能在朔日发生，只能在日食限内发生，一年两食季。

食分：月球视直径被地球本影遮挡住部分与地球视直径之比。日偏食的食分是太阳视圆面直径被遮挡住部分与剩余部分之比。

月亮运动自西向东，速度约1km/s

==题目==
例1：设地球的半径为6400km，在北纬30。的纬线上有A、B两点。若O为北纬30。圈所成小圆的圆心，∠AOB=90。，那么AB两点间球面距离为多少？

例2：地球上两城市A, B的坐标分别为（φ1，λ1）和（φ2，λ2）。若地球半径为R，求出两城市间实际球面距离。

例3：太阳在那个星座待的时间最短？在那个黄道宫待的时间最短？

例4：全天约有6000颗可见恒星，假设他们均匀分布。若某地纬度是北纬30⁰，那么在该地的观测者可以观测到大约多少颗永不落天体？

'''球面几何练习题'''

练习1：设地球赤道上两城市A、B，地理经度分别为东经15。和西经30。。求两地之间的球面距离。（地球半径为6400km）

练习2：（1）证明球面三角形性质3。

（2）利用几何法、向量法证明球面三角余弦定理。

练习3：半径为10的球面上有一个边长为2、4/3、3的球面三角形。求该球面三角形的内角。

==题目来源==

CNAO 预赛决赛题

人教版《高中数学选修3-3 球面上的几何》

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 ==知识点==
-==== '''一、球面几何基础''' ====
+===='''一、球面几何基础'''====
-====== 1. 大圆、小圆 ======
+======1. 大圆、小圆======
 球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆。
-====== 2．球面上的距离 ======
+======2．球面上的距离======
 大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。
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 D为球面距离，r为半径，θ为角距。θ极小r极大时，这也是两点直线距离的公式
-====== 3. 球面三角形 ======
+======3. 球面三角形======
 	三条大圆的劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形成为球面三角形。三条劣弧称为球面三角形的边。用边的字母表示弧长或弧所对应球心角的大小，用角的字母表示两夹边所对应两大圆面的二面角。
 	从球心出发，过球面三角形三个顶点作射线，三条射线之间构成三个平面。这样的图形称为三面角。三面角O-ABC中，两个面角之和大于第三个面角。（∠AOB+∠COB >∠AOC）
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 					====== 4. 球面三角形的边角关系 ======
-（1）球面正弦定理
+					（1）球面正弦定理[[文件:Trig sin.jpg|缩略图]]文字表述：球面三角各边的正弦与其对角的正弦成比例
 （2）球面余弦定理
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-'''二、天球坐标系'''
+====== 1. 天球的概念 ======
 天球是一个与地球同球心，并有相同的自转轴，半径无限大的球。其目的是将天体沿观测者视线投影到球面上，以便于研究天体及其相对位置。有时还将天球球心设置在某些特殊点，如地心和日心，相应的天球分别称为地心天球和日心天球。
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 （4）天球上任意两点之大圆弧大小为其距离
+====== 2. 天球坐标系 ======
 意义：确定天体在天球上的位置
 三要素：基本轴、基本点、坐标范围和量度方向。
+====== 3. 几个基本的球面坐标系 ======
 （1）地理经纬度：地理纬度φ、地理经度λ
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+====== 4. 四季星空 ======
 年，国际天文学联合会将各种星座标准化，订立了88个大多来自古希腊传统和欧洲航海家命名的标准星座。其中最出名者当属黄道12星座。
@@ 第155行： / 第144行： @@
 '''答案：'''天蝎座、人马宫
+====== 5. 黄道十二宫 ======
 白羊宫（Aries, ♈︎）；金牛宫（Taurus, ♉︎）；双子宫（Gemini, ♊︎）；巨蟹宫（Cancer, ♋︎）；
@@ 第165行： / 第152行： @@
-'''三、天体的视运动'''
+====== 1. 周日视运动 ======
 本质是地球的自转，会显示出星轨（周日圈）。一切恒星均绕着北天极（近似为北极星所在位置）匀速旋转。
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 （2）赤道：所有天体东升西落
-（3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）h_Polaris=90⁰-φ
+（3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）
 （4）南半球中纬度处，画图推算即可
 子午圈：通过天极和天顶的大圆。
 天体通过子午圈称为中天。离天顶近的称为上中天，反之则称为下中天。在北半球，上、下中天有如下关系：
@@ 第199行： / 第184行： @@
 在天顶以北上中天时，δ-φ>0。在天顶以南，则δ-φ<0
+====== 3. 永不升和永不落（拱极星）天体 ======
 由于所有天体绕极轴转动，所以在特定纬度，部分星体永不落或永不升。在北半球，满足如下关系：
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 在赤道，没有天体永不升、落
+====== 4. 月相 ======
 恒星月：月球绕地球公转的周期。
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 决定因素：日月角距的变化，每天13.2⁰。自朔到望。
+====== 5. 日月食 ======
 月食：只能在望日发生，只能在月食限内发生，一年两食季。
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 ==题目==
-例1：设地球的半径为6400km，在北纬30。的纬线上有A、B两点。若O为北纬30。圈所成小圆的圆心，∠AOB=90。，那么AB两点间球面距离为多少？
+'''例1：'''设地球的半径为6400km，在北纬30。的纬线上有A、B两点。若O为北纬30。圈所成小圆的圆心，∠AOB=90。，那么AB两点间球面距离为多少？
-例3：全天约有6000颗可见恒星，假设他们均匀分布。若某地纬度是北纬30⁰，那么在该地的观测者可以观测到大约多少颗永不落天体？
+'''例2：'''地球上两城市A, B的坐标分别为（φ1，λ1）和（φ2，λ2）。若地球半径为R，求出两城市间实际球面距离。
-练习1：设地球赤道上两城市A、B，地理经度分别为东经15。和西经30。。求两地之间的球面距离。（地球半径为6400km）
+====== '''球面几何练习题''' ======
-练习2：
+'''练习2：'''
 （1）证明球面三角形性质3。
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-练习3：半径为10的球面上有一个边长为2、4/3、3的球面三角形。求该球面三角形的内角。
+'''练习3：'''半径为10的球面上有一个边长为2、4/3、3的球面三角形。求该球面三角形的内角。

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第14行：		第14行：
	大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。		大圆上两点之间劣弧的长度叫做球面上两点间的距离。

−	$$D=r×θ$$	+	D=r×θ

@@ 第140行： / 第140行： @@
 （3）北半球中纬度处：北极星高度等于当地地理纬度，所有天体绕极轴转动。（可以利用左手螺旋定则判断周日视运动方向）
-                                                  $$h_Polaris=90⁰-φ$$
+                                                  $$h_<sub>Polaris</sub>=90⁰-φ$$
 . 天体中天
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 天体通过子午圈称为中天。离天顶近的称为上中天，反之则称为下中天。在北半球，上、下中天有如下关系：
-$$h_max=90⁰-|δ-φ|$$
+$$h<sub>max</sub>=90⁰-|δ-φ|$$
-$$h_min=〖-90〗^0+|δ+φ|$$
+$$h<sub>min</sub>=〖-90〗^0+|δ+φ|$$
-$$h_max+h_min=2×δ$$
+$$h<sub>max</sub>+h<sub>min</sub>=2×δ$$
-在天顶以北上中天时，δ-φ>0。在天顶以南，则δ-φ<0
+在天顶以北上中天时，$$δ-φ>0$$。在天顶以南，则$$δ-φ<0$$
 . 永不升和永不落天体
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 由于所有天体绕极轴转动，所以在特定纬度，部分星体永不落或永不升。在北半球，满足如下关系：
-永不落：			δ>90^0-φ
+永不落：			$$δ>90^0-φ$$
-永不升：			δ<-(90^0-φ)
+永不升：			$$δ<-(90^0-φ)$$
 性质：在赤道，没有天体永不升、落

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第33行：		第33行：
	性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：		性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：

−	$$S=(E-π)×r^2$$	+	$$S=(E-π)×r^2 $$

@@ 第33行： / 第33行： @@
 	性质4：球面三角形的内角和大于π小于2π。其面积的计算公式是：
-                        $$ S=(E-π)×r^2	$$
+                        $$S=(E-π)×r^2$$
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 月亮运动自西向东，速度约1km/s
 ==题目==

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