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2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-21T09:02:15Z

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==题目==
'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。
视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。
请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：

（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。

（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。 
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]

（3）'''（8分）'''依次计算：主星绕质心的半长轴 $$a_1$$、双星相对轨道半长轴$$ a$$，并估算主星的洛希瓣半径$$ R_{L1}$$。最终通过对比主星实际半径与洛希瓣半径，判断该密近双星系统是否正发生物质交流（物质输运）。

==解答==
=== 第（1）问 ===
利用三角视差法公式：$$d = 1 / p $$($$p$$为视差角，单位$$mas$$)代入视差值$$ p = 10.12 mas$$：

$$d ≈ 98.81$$ 秒差距 ($$pc$$)

基于角直径与距离的几何关系：$$R = (\theta \times d) / 2$$
代入$$ \theta = 0.94 mas $$与$$ d = 98.81 pc：R ≈ 10.0 $$倍太阳半径 ($$R_{\odot}$$)

$$\pi = 10.12 \text{mas}$$
$$d = \frac{1}{\pi} = 98.81 \text{pc} = 3.049 \times 10^{18} \text{m}
\theta = 0.94 \text{mas} = 4.5572 \times 10^{-9} \text{rad}$$
$$R = \frac{\theta \cdot d}{2} = 6.947 \times 10^{8} \text{m}$$
$$R = \frac{R}{R_{\odot}} \cdot R_{\odot} = \frac{6.947 \times 10^{8}}{6.957 \times 10^{8}} \cdot R_{\odot} = 9.99 R_{\odot} \approx 10.0 R_{\odot}$$

$$m_V = 5.7$$

$$M_V = m_V - 5 \log_{10}(d/10) = 5.7 - 5 \times 0.9948 = 0.726$$

$$M_V - M_{V,\odot} = - 2.5 \log_{10}(L/L_{\odot})$$

$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$
=== 第（2）问 ===
==== 近似解法 ====
\[f(M_2) = 1.0361 \times 10^{-7} \cdot K_1^3 \cdot P \cdot (1 - e^2)^{3/2} = 0.01118 M_{\odot}\]

先假设白矮星$$ M_2 $$远小于$$ M_1 $$:\[ M_2 \sin i \approx (f \cdot M_1^2)^{1/3} = 0.331 M_{\odot}\]

\[M_2 \approx \frac{0.331}{\sin i} = \frac{0.331}{0.6807} = 0.486 M_{\odot}\]

能说明白矮星质量范围在$$ 0.1 \sim 1.4 $$太阳质量(依据钱德拉塞卡极限定义)，这个假设存在问题的，满分。

求解一元三次方程，给出精确解的满分。

==== 牛顿迭代法 ====
以下是牛顿迭代法求解，能迭代出解的，同样给满分。
如果希望得到更精确的结果，可以迭代求解。

\[M_2 = 0.486 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.286, (M_1 + M_2)^2 = 5.226\]

\[(M_2 \sin i)^3 = f \cdot 5.226 = 0.01118 \times 5.226 = 0.05844\]

\[M_2 = 0.388 / 0.6807 = 0.570 M_{\odot}\]

进一步迭代：

\[M_2 = 0.570 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.370, (M_1 + M_2)^2 = 5.617\]

\[(M_2 \sin i)^3 = 0.01118 \times 5.617 = 0.06280\]

\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]

=== 第（3）问 ===
\[a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2} = 0.2781 AU\]

\[a_1 = \frac{a_1 \sin i}{\sin i} = \frac{0.2781}{0.6807} = 0.4086 AU\]

\[a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2} = 0.5425 AU\]

按照$$M_2 = 0.486 M_{\odot} $$计算，$$a = 0.5189 AU$$

计算洛希瓣半径：
\[1 AU \approx 215 R_{\odot}\]

\[R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} = 0.2279 AU = 49.0 R_{\odot}\]

按照$$ M_2 = 0.486 M_{\odot} $$计算，$$R_{L1} \approx 0.23144 AU = 49.77 R_{\odot}$$

$$R \ll R_{L1} $$

故未发生物质输运。
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-21T07:15:05Z

RT.x：/* 解答 */ 添加第（3）问解答

{{需要解答}}
==题目==
'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。
视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。
请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：

（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。

（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。 
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]

（3）'''（8分）'''依次计算：主星绕质心的半长轴 $$a_1$$、双星相对轨道半长轴$$ a$$，并估算主星的洛希瓣半径$$ R_{L1}$$。最终通过对比主星实际半径与洛希瓣半径，判断该密近双星系统是否正发生物质交流（物质输运）。

==解答==
=== 第（1）问 ===
利用三角视差法公式：$$d = 1 / p $$($$p$$为视差角，单位$$mas$$)代入视差值$$ p = 10.12 mas$$：

$$d ≈ 98.81$$ 秒差距 ($$pc$$)

基于角直径与距离的几何关系：$$R = (\theta \times d) / 2$$
代入$$ \theta = 0.94 mas $$与$$ d = 98.81 pc：R ≈ 10.0 $$倍太阳半径 ($$R_{\odot}$$)

$$\pi = 10.12 \text{mas}$$
$$d = \frac{1}{\pi} = 98.81 \text{pc} = 3.049 \times 10^{18} \text{m}
\theta = 0.94 \text{mas} = 4.5572 \times 10^{-9} \text{rad}$$
$$R = \frac{\theta \cdot d}{2} = 6.947 \times 10^{8} \text{m}$$
$$R = \frac{R}{R_{\odot}} \cdot R_{\odot} = \frac{6.947 \times 10^{8}}{6.957 \times 10^{8}} \cdot R_{\odot} = 9.99 R_{\odot} \approx 10.0 R_{\odot}$$

$$m_V = 5.7$$

$$M_V = m_V - 5 \log_{10}(d/10) = 5.7 - 5 \times 0.9948 = 0.726$$

$$M_V - M_{V,\odot} = - 2.5 \log_{10}(L/L_{\odot})$$

$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$
=== 第（2）问 ===
==== 近似解法 ====
\[f(M_2) = 1.0361 \times 10^{-7} \cdot K_1^3 \cdot P \cdot (1 - e^2)^{3/2} = 0.01118 M_{\odot}\]

先假设白矮星$$ M_2 $$远小于$$ M_1 $$:\[ M_2 \sin i \approx (f \cdot M_1^2)^{1/3} = 0.331 M_{\odot}\]

\[M_2 \approx \frac{0.331}{\sin i} = \frac{0.331}{0.6807} = 0.486 M_{\odot}\]

能说明白矮星质量范围在$$ 0.1 \sim 1.4 $$太阳质量(依据钱德拉塞卡极限定义)，这个假设存在问题的，满分。

求解一元三次方程，给出精确解的满分。

==== 牛顿迭代法 ====
以下是牛顿迭代法求解，能迭代出解的，同样给满分。
如果希望得到更精确的结果，可以迭代求解。

\[M_2 = 0.486 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.286, (M_1 + M_2)^2 = 5.226\]

\[(M_2 \sin i)^3 = f \cdot 5.226 = 0.01118 \times 5.226 = 0.05844\]

\[M_2 = 0.388 / 0.6807 = 0.570 M_{\odot}\]

进一步迭代：

\[M_2 = 0.570 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.370, (M_1 + M_2)^2 = 5.617\]

\[(M_2 \sin i)^3 = 0.01118 \times 5.617 = 0.06280\]

\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]

=== 第（3）问 ===
\[a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2} = 0.2781 AU\]

\[a_1 = \frac{a_1 \sin i}{\sin i} = \frac{0.2781}{0.6807} = 0.4086 AU\]

\[a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2} = 0.5425 AU\]

按照$$M_2 = 0.486 M_{\odot} $$计算，$$a = 0.5189 AU$$

计算洛希瓣半径：
\[1 AU \approx 215 R_{\odot}\]

\[R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} = 0.2279 AU = 49.0 R_{\odot}\]

按照$$ M_2 = 0.486 M_{\odot} $$计算，$$R_{L1} \approx 0.23144 AU = 49.77 R_{\odot}$$

$$R \ll R_{L1} $$

故未发生物质输运。
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-21T07:11:40Z

RT.x：/* 题目 */ 添加第（3）问

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-21T07:08:01Z

RT.x：/* 近似解法 */ 纠错

{{需要解答}}
==题目==
'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。
视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。
请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：

（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。

（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。 
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]
==解答==
=== 第（1）问 ===
利用三角视差法公式：$$d = 1 / p $$($$p$$为视差角，单位$$mas$$)代入视差值$$ p = 10.12 mas$$：

$$d ≈ 98.81$$ 秒差距 ($$pc$$)

基于角直径与距离的几何关系：$$R = (\theta \times d) / 2$$
代入$$ \theta = 0.94 mas $$与$$ d = 98.81 pc：R ≈ 10.0 $$倍太阳半径 ($$R_{\odot}$$)

$$\pi = 10.12 \text{mas}$$
$$d = \frac{1}{\pi} = 98.81 \text{pc} = 3.049 \times 10^{18} \text{m}
\theta = 0.94 \text{mas} = 4.5572 \times 10^{-9} \text{rad}$$
$$R = \frac{\theta \cdot d}{2} = 6.947 \times 10^{8} \text{m}$$
$$R = \frac{R}{R_{\odot}} \cdot R_{\odot} = \frac{6.947 \times 10^{8}}{6.957 \times 10^{8}} \cdot R_{\odot} = 9.99 R_{\odot} \approx 10.0 R_{\odot}$$

$$m_V = 5.7$$

$$M_V = m_V - 5 \log_{10}(d/10) = 5.7 - 5 \times 0.9948 = 0.726$$

$$M_V - M_{V,\odot} = - 2.5 \log_{10}(L/L_{\odot})$$

$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$
=== 第（2）问 ===
==== 近似解法 ====
\[f(M_2) = 1.0361 \times 10^{-7} \cdot K_1^3 \cdot P \cdot (1 - e^2)^{3/2} = 0.01118 M_{\odot}\]

先假设白矮星$$ M_2 $$远小于$$ M_1 $$:\[ M_2 \sin i \approx (f \cdot M_1^2)^{1/3} = 0.331 M_{\odot}\]

\[M_2 \approx \frac{0.331}{\sin i} = \frac{0.331}{0.6807} = 0.486 M_{\odot}\]

能说明白矮星质量范围在$$ 0.1 \sim 1.4 $$太阳质量(依据钱德拉塞卡极限定义)，这个假设存在问题的，满分。

求解一元三次方程，给出精确解的满分。

==== 牛顿迭代法 ====
以下是牛顿迭代法求解，能迭代出解的，同样给满分。
如果希望得到更精确的结果，可以迭代求解。

\[M_2 = 0.486 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.286, (M_1 + M_2)^2 = 5.226\]

\[(M_2 \sin i)^3 = f \cdot 5.226 = 0.01118 \times 5.226 = 0.05844\]

\[M_2 = 0.388 / 0.6807 = 0.570 M_{\odot}\]

进一步迭代：

\[M_2 = 0.570 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.370, (M_1 + M_2)^2 = 5.617\]

\[(M_2 \sin i)^3 = 0.01118 \times 5.617 = 0.06280\]

\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-21T07:07:36Z

RT.x：/* 近似解法 */ 修改

{{需要解答}}
==题目==
'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。
视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。
请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：

（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。

（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。 
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]
==解答==
=== 第（1）问 ===
利用三角视差法公式：$$d = 1 / p $$($$p$$为视差角，单位$$mas$$)代入视差值$$ p = 10.12 mas$$：

$$d ≈ 98.81$$ 秒差距 ($$pc$$)

基于角直径与距离的几何关系：$$R = (\theta \times d) / 2$$
代入$$ \theta = 0.94 mas $$与$$ d = 98.81 pc：R ≈ 10.0 $$倍太阳半径 ($$R_{\odot}$$)

$$\pi = 10.12 \text{mas}$$
$$d = \frac{1}{\pi} = 98.81 \text{pc} = 3.049 \times 10^{18} \text{m}
\theta = 0.94 \text{mas} = 4.5572 \times 10^{-9} \text{rad}$$
$$R = \frac{\theta \cdot d}{2} = 6.947 \times 10^{8} \text{m}$$
$$R = \frac{R}{R_{\odot}} \cdot R_{\odot} = \frac{6.947 \times 10^{8}}{6.957 \times 10^{8}} \cdot R_{\odot} = 9.99 R_{\odot} \approx 10.0 R_{\odot}$$

$$m_V = 5.7$$

$$M_V = m_V - 5 \log_{10}(d/10) = 5.7 - 5 \times 0.9948 = 0.726$$

$$M_V - M_{V,\odot} = - 2.5 \log_{10}(L/L_{\odot})$$

$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$
=== 第（2）问 ===
==== 近似解法 ====
\[f(M_2) = 1.0361 \times 10^{-7} \cdot K_1^3 \cdot P \cdot (1 - e^2)^{3/2} = 0.01118 M_{\odot}\]

先假设白矮星$$ M_2 $$远小于$$ M_1 $$:\[ M_2 \sin i \approx (f \cdot M_1^2)^{1/3} = 0.331 M_{\odot}\]

\[M_2 \approx \frac{0.331}{\sin i} = \frac{0.331}{0.6807} = 0.486 M_{\odot}\]

能说明白矮星质量范围在$$ 0.1 \sim 1.4 $$太阳质量(依据钱德拉塞卡极限定义)，这个假设存在问题的，满分。

求解一元三次方程的，给出精确解的满分。

==== 牛顿迭代法 ====
以下是牛顿迭代法求解，能迭代出解的，同样给满分。
如果希望得到更精确的结果，可以迭代求解。

\[M_2 = 0.486 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.286, (M_1 + M_2)^2 = 5.226\]

\[(M_2 \sin i)^3 = f \cdot 5.226 = 0.01118 \times 5.226 = 0.05844\]

\[M_2 = 0.388 / 0.6807 = 0.570 M_{\odot}\]

进一步迭代：

\[M_2 = 0.570 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.370, (M_1 + M_2)^2 = 5.617\]

\[(M_2 \sin i)^3 = 0.01118 \times 5.617 = 0.06280\]

\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-21T07:03:26Z

RT.x：/* 解答 */ 添加牛顿迭代法求解

{{需要解答}}
==题目==
'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。
视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。
请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：

（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。

（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。 
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]
==解答==
=== 第（1）问 ===
利用三角视差法公式：$$d = 1 / p $$($$p$$为视差角，单位$$mas$$)代入视差值$$ p = 10.12 mas$$：

$$d ≈ 98.81$$ 秒差距 ($$pc$$)

基于角直径与距离的几何关系：$$R = (\theta \times d) / 2$$
代入$$ \theta = 0.94 mas $$与$$ d = 98.81 pc：R ≈ 10.0 $$倍太阳半径 ($$R_{\odot}$$)

$$\pi = 10.12 \text{mas}$$
$$d = \frac{1}{\pi} = 98.81 \text{pc} = 3.049 \times 10^{18} \text{m}
\theta = 0.94 \text{mas} = 4.5572 \times 10^{-9} \text{rad}$$
$$R = \frac{\theta \cdot d}{2} = 6.947 \times 10^{8} \text{m}$$
$$R = \frac{R}{R_{\odot}} \cdot R_{\odot} = \frac{6.947 \times 10^{8}}{6.957 \times 10^{8}} \cdot R_{\odot} = 9.99 R_{\odot} \approx 10.0 R_{\odot}$$

$$m_V = 5.7$$

$$M_V = m_V - 5 \log_{10}(d/10) = 5.7 - 5 \times 0.9948 = 0.726$$

$$M_V - M_{V,\odot} = - 2.5 \log_{10}(L/L_{\odot})$$

$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$
=== 第（2）问 ===
==== 近似解法 ====
根据双星系统的质量函数公式：
$$f(M_2) = \frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1 + M_2)^2} = \frac{P K_1^3}{2\pi G} (1 - e^2)^{3/2}$$
估算白矮星伴星的质量$$ M_2 $$(可先假设$$ M_2 $$远小于$$ M_1$$) (以太阳质量$$ M_{\odot} $$为单位)。
主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值$$ a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2}$$。双星相对轨道半长轴$$ a = a_1 + a_2 $$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为 $$a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2}$$。洛希瓣半径$$ R_{L1} $$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$ R \ge R_{L1} $$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$以及双星的相对轨道半长轴$$ a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
(Paczynski 近似公式：$$R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} $$)

==== 牛顿迭代法 ====
以下是牛顿迭代法求解，能迭代出解的，同样给满分。
如果希望得到更精确的结果，可以迭代求解。

\[M_2 = 0.486 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.286, (M_1 + M_2)^2 = 5.226\]

\[(M_2 \sin i)^3 = f \cdot 5.226 = 0.01118 \times 5.226 = 0.05844\]

\[M_2 = 0.388 / 0.6807 = 0.570 M_{\odot}\]

进一步迭代：

\[M_2 = 0.570 \Rightarrow M_1 + M_2 = 2.370, (M_1 + M_2)^2 = 5.617\]

\[(M_2 \sin i)^3 = 0.01118 \times 5.617 = 0.06280\]

\[M_2 = 0.397 / 0.6807 = 0.583 M_{\odot} \approx 0.59 M_{\odot}\]
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-20T13:06:47Z

RT.x：/* 解答 */ 添加第二小题解析

{{需要解答}}
==题目==
'''（20分）'''HR 5692 是一个由红巨星主星与白矮星伴星构成的双星系统，被认为是 Ia 型超新星前身星的候选体。为判断该系统当前是否正在发生物质输运（即红巨星是否已填满其洛希瓣），天文学家开展了多波段观测，获得了以下关键数据：依巴谷卫星测定的系统视差为$$p=10.12mas$$；主星在 V 波段的视星等为$$m_V=5.7$$；通过恒星演化模型估算主星质量 $$M_1=1.8M_{\odot}$$；通过光谱长期监测得到主星的视向速度半振幅$$ K_1=6.340km/s$$，轨道周期 $$P=506.45$$天，轨道偏心率$$e=0.3353$$；结合依巴谷天体测量，计算出轨道倾角$$i=42.9°$$。
视向速度半振幅定义：主星绕着共同的质心转动时，其视线方向速度变化幅度的一半。
请根据以上观测数据，通过计算回答下列问题：

（1）若已知长基线干涉测量直接测得主星的均匀圆盘角直径为$$θ=0.94mas$$，计算红巨星主星的半径$$R$$（以太阳半径$$R_{\odot}$$为单位）并结合太阳绝对热星等，计算红巨星主星的光度$$L$$（以太阳光度$$L_{\odot}$$为单位）。主星 V 波段视星等近似为热星等。

（2）根据双星系统的质量函数公式：
\[f(M_2)=\frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1+M_2)^2}=\frac{PK_1^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}\]
估算白矮星伴星的质量$$M_2$$（可先假设$$M_2$$远小于$$M_1$$）（以太阳质量$$M_{\odot}$$为单位）。 
主星绕质心的半长轴$$a_1$$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值
\[a_1 \sin i = \frac{PK_1}{2\pi} \sqrt{1-e^2}\]
双星相对轨道半长轴$$a=a_1+a_2$$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为
$$a=a_1 \cdot \frac{M_1+M_2}{M_2}$$
。洛希瓣半径$$R_{L1}$$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$R \ge R_{L1}$$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$a_1$$以及双星的相对轨道半长轴$$a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
提示：Paczynski 近似公式：
\[R_{L1}\approx a\times 0.462\times \left( \frac{M_1}{M_1+M_2} \right)^{1/3}\]
==解答==
（1）利用三角视差法公式：$$d = 1 / p $$($$p$$为视差角，单位$$mas$$)代入视差值$$ p = 10.12 mas$$：

$$d ≈ 98.81$$ 秒差距 ($$pc$$)

基于角直径与距离的几何关系：$$R = (\theta \times d) / 2$$
代入$$ \theta = 0.94 mas $$与$$ d = 98.81 pc：R ≈ 10.0 $$倍太阳半径 ($$R_{\odot}$$)

$$\pi = 10.12 \text{mas}$$
$$d = \frac{1}{\pi} = 98.81 \text{pc} = 3.049 \times 10^{18} \text{m}
\theta = 0.94 \text{mas} = 4.5572 \times 10^{-9} \text{rad}$$
$$R = \frac{\theta \cdot d}{2} = 6.947 \times 10^{8} \text{m}$$
$$R = \frac{R}{R_{\odot}} \cdot R_{\odot} = \frac{6.947 \times 10^{8}}{6.957 \times 10^{8}} \cdot R_{\odot} = 9.99 R_{\odot} \approx 10.0 R_{\odot}$$

$$m_V = 5.7$$

$$M_V = m_V - 5 \log_{10}(d/10) = 5.7 - 5 \times 0.9948 = 0.726$$

$$M_V - M_{V,\odot} = - 2.5 \log_{10}(L/L_{\odot})$$

$$L = 10^{1.6056} L_{\odot} = 40.3 L_{\odot}$$

（2）根据双星系统的质量函数公式：
$$f(M_2) = \frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1 + M_2)^2} = \frac{P K_1^3}{2\pi G} (1 - e^2)^{3/2}$$
估算白矮星伴星的质量$$ M_2 $$(可先假设$$ M_2 $$远小于$$ M_1$$) (以太阳质量$$ M_{\odot} $$为单位)。
主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$是主星到系统质心的平均距离，可通过径向速度数据得到投影值$$ a_1 \sin i = \frac{P K_1}{2\pi} \sqrt{1 - e^2}$$。双星相对轨道半长轴$$ a = a_1 + a_2 $$表示两星之间的平均距离，它与$$ a_1 $$的关系为 $$a = a_1 \cdot \frac{M_1 + M_2}{M_2}$$。洛希瓣半径$$ R_{L1} $$是主星引力主导区域的边界，当主星半径$$ R \ge R_{L1} $$时，物质会溢出并流向伴星，即发生质量输运洛希瓣的等效球半径。请计算主星绕质心的半长轴$$ a_1 $$以及双星的相对轨道半长轴$$ a$$，进而估算主星的洛希瓣半径 $$R_{L1}$$，判断该双星系统当前是否正在发生物质输运？
(Paczynski 近似公式：$$R_{L1} \approx a \times 0.462 \times \left[ \frac{M_1}{M_1 + M_2} \right]^{1/3} $$)

[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-19T12:51:56Z

RT.x：/* 解答 */ 添加了一些公式，等待排版

2026年CNAO选拔赛第三题-星震学

2026-07-19T06:17:31Z

RT.x：删去了文本中的nowiki标签，防止公式无法渲染

{{需要解答}}
==题目==
'''（20 分）'''在类太阳恒星的星震学研究中，恒星内部的声波振荡（p-模式）呈现出规则的频率分布。我们可以通过两个关键的观测参数来描述这种振动特征：（1）大频率间隔（$$\Delta \nu$$）：相邻阶数径向模之间的频率间隔，与恒星的平均密度平方根成正比；（2）频率最大功率对应的频率（$$\nu_{max}$$）：振荡功率谱包络的峰值频率，与恒星的表面重力和有效温度相关。这两个星震学参数在类太阳恒星中满足经典的标度关系：

\[\frac{\Delta \nu}{\Delta \nu_{\odot}} = \sqrt{\frac{\bar{\rho}}{\bar{\rho}_{\odot}}}\]

\[\frac{\nu_{max}}{\nu_{max,\odot}} = \frac{g}{g_{\odot}} (\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}})^{-0.5}\]

方程中下标$$\odot$$代表太阳的参数，本题中使用的太阳参数包括：$$\Delta \nu_{\odot}=135.1\mu Hz$$，$$\nu_{max,\odot}=3090 \mu Hz$$。

现有一颗类太阳恒星的观测参数如下：$$\Delta \nu=105.0\mu Hz$$，$$\nu_{max}=2200\mu Hz$$，$$T_{eff}=5600 K$$，视热星等$$m_{bol}=7.0 mag$$，请依据上述条件做如下计算：

（1）请推导恒星半径$$ R $$与星震学参数（$$\Delta \nu$$，$$\nu_{max}$$）的关系，并计算恒星半径（以太阳半径$$ R_{\odot} $$为单位）。

（2）计算恒星的绝对热星等。

（3）推测恒星的距离，并讨论实际观测距离与计算距离之间的关系。
==解答==
(1) 平均密度 $$\bar{\rho} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \propto \frac{M}{R^3}$$，由题中标度关系 $$\frac{\Delta\nu}{\Delta\nu_\odot} = \sqrt{\frac{\bar{\rho}}{\bar{\rho}_\odot}}$$，两边平方得：

$$\left(\frac{\Delta\nu}{\Delta\nu_\odot}\right)^2 = \frac{M/M_\odot}{(R/R_\odot)^3}$$
整理得质量的标度表达式：
$$\frac{M}{M_\odot} = \left(\frac{\Delta\nu}{\Delta\nu_\odot}\right)^2 \cdot \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^3 \tag{1}$$

表面重力 $$g = \frac{GM}{R^2} \propto \frac{M}{R^2}$$，即 $$\frac{g}{g_\odot} = \frac{M/M_\odot}{(R/R_\odot)^2}$$。
代入题中 $$\nu_{max}$$ 的标度关系 $$\frac{\nu_{max}}{\nu_{max,\odot}} = \frac{g}{g_\odot} \cdot \left(\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}}\right)^{-0.5}$$，整理得：
$$\frac{M}{M_\odot} = \frac{\nu_{max}}{\nu_{max,\odot}} \cdot \left(\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}}\right)^{0.5} \cdot \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \tag{2}$$
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第三题-星震学

2026-07-19T03:42:41Z

RT.x：/* 解答 */ 修复编辑错误

{{需要解答}}
==题目==
'''（20 分）'''在类太阳恒星的星震学研究中，恒星内部的声波振荡（p-模式）呈现出规则的频率分布。我们可以通过两个关键的观测参数来描述这种振动特征：（1）大频率间隔（$$\Delta \nu$$）：相邻阶数径向模之间的频率间隔，与恒星的平均密度平方根成正比；（2）频率最大功率对应的频率（$$\nu_{max}$$）：振荡功率谱包络的峰值频率，与恒星的表面重力和有效温度相关。这两个星震学参数在类太阳恒星中满足经典的标度关系：

<nowiki>\[\frac{\Delta \nu}{\Delta \nu_{\odot}} = \sqrt{\frac{\bar{\rho}}{\bar{\rho}_{\odot}}}\]</nowiki>

<nowiki>\[\frac{\nu_{max}}{\nu_{max,\odot}} = \frac{g}{g_{\odot}} (\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}})^{-0.5}\]</nowiki>

方程中下标$$\odot$$代表太阳的参数，本题中使用的太阳参数包括：$$\Delta \nu_{\odot}=135.1\mu Hz$$，$$\nu_{max,\odot}=3090 \mu Hz$$。

现有一颗类太阳恒星的观测参数如下：$$\Delta \nu=105.0\mu Hz$$，$$\nu_{max}=2200\mu Hz$$，$$T_{eff}=5600 K$$，视热星等$$m_{bol}=7.0 mag$$，请依据上述条件做如下计算：

（1）请推导恒星半径$$ R $$与星震学参数（$$\Delta \nu$$，$$\nu_{max}$$）的关系，并计算恒星半径（以太阳半径$$ R_{\odot} $$为单位）。

（2）计算恒星的绝对热星等。

（3）推测恒星的距离，并讨论实际观测距离与计算距离之间的关系。
==解答==
<nowiki>(1) 平均密度 $$\bar{\rho} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \propto \frac{M}{R^3}$$，由题中标度关系 $$\frac{\Delta\nu}{\Delta\nu_\odot} = \sqrt{\frac{\bar{\rho}}{\bar{\rho}_\odot}}$$，两边平方得：</nowiki>

$$\left(\frac{\Delta\nu}{\Delta\nu_\odot}\right)^2 = \frac{M/M_\odot}{(R/R_\odot)^3}$$
整理得质量的标度表达式：
$$\frac{M}{M_\odot} = \left(\frac{\Delta\nu}{\Delta\nu_\odot}\right)^2 \cdot \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^3 \tag{1}$$

表面重力 $$g = \frac{GM}{R^2} \propto \frac{M}{R^2}$$，即 $$\frac{g}{g_\odot} = \frac{M/M_\odot}{(R/R_\odot)^2}$$。
<nowiki>代入题中 $$\nu_{max}$$ 的标度关系 $$\frac{\nu_{max}}{\nu_{max,\odot}} = \frac{g}{g_\odot} \cdot \left(\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}}\right)^{-0.5}$$，整理得：</nowiki>
<nowiki>$$\frac{M}{M_\odot} = \frac{\nu_{max}}{\nu_{max,\odot}} \cdot \left(\frac{T_{eff}}{T_{eff,\odot}}\right)^{0.5} \cdot \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \tag{2}$$</nowiki>
[[分类:天体力学]]

2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣

2026-07-18T14:42:27Z

RT.x：录入题目，修改标签

2026年CNAO选拔赛第三题-星震学

2026-07-18T14:14:02Z

RT.x：录入题目，修改标签

2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线

2026-07-18T14:09:57Z

RT.x：/* 题目 */ 优化排版

{{需要解答}}
== 题目 ==
'''(20分)'''天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。

已知相关参数如下： 
恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$ 
恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$ 
恒星有效温度$$ T_s=5778K$$ 
行星轨道周期$$ T=6.19天$$ 

[[文件:2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线图.png|无框]]

(1) 若行星轨道半径为$$a$$，轨道倾角（轨道平面法线与视线方向的夹角）为$$i$$。要在地球上观测到凌星现象，请推导$$i$$需要满足的几何条件（用 $$R_s$$、$$a$$表示）。

(2) 假设该行星轨道平面与恒星赤道平面重合，恒星、行星在视线方向的投影均为几何圆形，行星绕恒星做匀速圆周运动，恒星盘面亮度均匀（不考虑临边昏暗效应）。根据凌星光变曲线中的入食时长$$t_{12}$$和食中时长$$t_{23}$$，推导行星相对于恒星的轨道速度$$ v_p $$表达式、计算行星的轨道速度$$ v_p$$（单位：$$m/s$$）以及行星的轨道半径 $$a$$（单位：$$au$$）。

(3) 基于 (2)，根据凌星深度的定义$$ \Delta F / F_0$$（行星遮挡的恒星通量与恒星总通量之比），推导行星半径$$R_p$$与恒星半径$$R_s$$的关系式，并利用给定数据计算行星的半径（以米和地球半径 $$R_{\oplus} $$为单位）。

== 解答 ==

2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线

2026-07-18T14:06:45Z

RT.x：/* 题目 */ 添加题目图片

{{需要解答}}
== 题目 ==
'''(20分)'''天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。
已知相关参数如下：
恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$
恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$
恒星有效温度$$ T_s=5778K$$
行星轨道周期$$ T=6.19天$$

[[文件:2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线图.png|无框]]

(1) 若行星轨道半径为$$a$$，轨道倾角（轨道平面法线与视线方向的夹角）为$$i$$。要在地球上观测到凌星现象，请推导$$i$$需要满足的几何条件（用 $$R_s$$、$$a$$表示）。

(2) 假设该行星轨道平面与恒星赤道平面重合，恒星、行星在视线方向的投影均为几何圆形，行星绕恒星做匀速圆周运动，恒星盘面亮度均匀（不考虑临边昏暗效应）。根据凌星光变曲线中的入食时长$$t_{12}$$和食中时长$$t_{23}$$，推导行星相对于恒星的轨道速度$$ v_p $$表达式、计算行星的轨道速度$$ v_p$$（单位：$$m/s$$）以及行星的轨道半径 $$a$$（单位：$$au$$）。

(3) 基于 (2)，根据凌星深度的定义$$ \Delta F / F_0$$（行星遮挡的恒星通量与恒星总通量之比），推导行星半径$$R_p$$与恒星半径$$R_s$$的关系式，并利用给定数据计算行星的半径（以米和地球半径 $$R_{\oplus} $$为单位）。

== 解答 ==

文件:2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线图.png

2026-07-18T14:01:15Z

RT.x：2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线图

== 文件说明 ==
2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线图

2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线

2026-07-18T13:57:28Z

RT.x：录入题目，修改标签

{{需要解答}}
== 题目 ==
'''(20分)'''天文学家利用凌星法观测到一颗类太阳恒星B周围存在一颗系外行星b。图1为系外行星b系统在一次凌星周期内的光变观测数据（相对流量$$\Delta F / F_0 $$随时间的变化）。
已知相关参数如下：
恒星质量$$ M_s=1.00M_{\odot}$$
恒星半径$$ R_s=1.00R_{\odot}$$
恒星有效温度$$ T_s=5778K$$
行星轨道周期$$ T=6.19天$$

(1) 若行星轨道半径为$$a$$，轨道倾角（轨道平面法线与视线方向的夹角）为$$i$$。要在地球上观测到凌星现象，请推导$$i$$需要满足的几何条件（用 $$R_s$$、$$a$$表示）。

(2) 假设该行星轨道平面与恒星赤道平面重合，恒星、行星在视线方向的投影均为几何圆形，行星绕恒星做匀速圆周运动，恒星盘面亮度均匀（不考虑临边昏暗效应）。根据凌星光变曲线中的入食时长$$t_{12}$$和食中时长$$t_{23}$$，推导行星相对于恒星的轨道速度$$ v_p $$表达式、计算行星的轨道速度$$ v_p$$（单位：$$m/s$$）以及行星的轨道半径 $$a$$（单位：$$au$$）。

(3) 基于 (2)，根据凌星深度的定义$$ \Delta F / F_0$$（行星遮挡的恒星通量与恒星总通量之比），推导行星半径$$R_p$$与恒星半径$$R_s$$的关系式，并利用给定数据计算行星的半径（以米和地球半径 $$R_{\oplus} $$为单位）。

== 解答 ==

2026年CNAO选拔赛第一题-星等

2026-07-18T13:24:50Z

RT.x：修改题目

{{需要解答}}

==题目==

星等是天文学观测中基本的参数。其中视星等对应从地球观测到的亮度（受距离影响），绝对星等对应着把天体放在$$32.6$$光年（$$10$$秒差距）标准距离处的亮度，反映真实光度。（提示：$$1\text{Å}=10^{-8}\text{cm}$$）

（1）距离太阳最近的恒星是比邻星，其周年视差是$$0.7687$$角秒；根据比邻星的视星等$$11.13$$，请问其绝对星等是多少？

（2）在AB星等系统下，“单色”视星等$$m$$可以用流量密度$$f_{\nu}$$来表示，流量密度$$f_{\nu}$$为特定频率$$\nu$$处单位频率间隔内的辐射流量（即单位面积的辐射功率），表示为$$m=-2.5\log_{10}\frac{f_{\nu}}{3631 \text{ Jy}}$$，其中$$1\text{ Jy}=10^{-26}\text{ W Hz}^{-1}\text{m}^{-2}=10^{-23}\text{ erg s}^{-1}\text{Hz}^{-1}\text{cm}^{-2}$$（cgs单位下），$$3631$$央斯基（$$Jy$$）为零点。

请用波长$$\lambda$$和流量密度$$f_{\lambda}$$（特定波长$$\lambda$$处单位波长间隔内的辐射流量）表示流量密度$$f_{\nu}$$，注意推导过程要引入单位，最终表达式中，$$f_{\nu}$$以$$Jy$$为单位，流量密度$$f_{\lambda}以\text{erg s}^{-1}\text{Å}^{-1}\text{cm}^{-2}$$为单位，波长$$\lambda$$以埃米$$Å$$为单位。（提示：$$\nu f_{\nu}=\lambda f_{\lambda}$$）

（3）宇宙中的发光天体，除了像恒星这样的点光源，还有星系等具有一定形状的扩展源天体。衡量这种扩展源的亮度，除了使用总星等$$m$$，还通常引用表面亮度$$\mu$$，即扩展的物体表面一块标准尺寸的亮度，其单位通常是每平方角秒的星等（$$\text{mag arcsec}^{-2}$$）。如果某一频率范围的辐射流量F（流量密度之和）对应星等$$m=-2.5\log_{10}F+ZP$$（单位为$$mag$$），其中$$ZP$$是受到多种因素（仪器系统、地球大气等）影响的常数，那么表面亮度为$$\mu=m+2.5\log_{10}S$$（单位为$$\text{mag arcsec}^{-2}$$），其中S为视（角）面积（单位是$$\text{arcsec}^2$$）。假如扩展源沿着视线方向移动，请问其表面亮度随着径向距离的变化如何变化？请结合公式推导说明。

==解答==

[[分类:星等]]

2026年CNAO选拔赛第五题-行星辐射平衡与冰雪正反馈

2026-07-18T12:50:47Z

RT.x：收录试题，修改标签

{{需要解答}}
== 题目 ==
天文测光观测表明，近二十年月球暗面的“地照”（即地球反射的太阳短波辐射）辐射通量有所下降，相当于视星等增加了$$ \Delta m = +0.018 $$等。假设该视亮度变化仅由地球的反照率变化引起，已知地球初始反照率$$ A_0 = 0.30$$。

假设地球气候系统已达到新的热平衡。由于大气温室效应，地球表面实际平均温度$$ T_{surf} $$高于无大气状态下的有效温度$$ T_{eff}$$。在真实气候系统中，由于水汽等正反馈机制的作用，对于平衡态附近的微小扰动，地表实际升温$$ \Delta T_{surf} $$可近似为有效温度变化量$$ \Delta T_{eff} $$的$$ 1.6 $$倍。

（1）'''（6分）'''若不考虑其他气候反馈机制，仅基于辐射平衡，请根据上述地照亮度的变化，计算地球表面平均气温上升的理论值。（结果保留两位小数）

在真实气候系统中，温度升高会导致极地冰盖融化，使得地球表面反照率进一步下降，这被称为“冰雪反照率正反馈”。引入该机制后，地球总反照率的变化 $$\Delta A $$由外部初始扰动$$ \Delta A_{ext} $$和温度反馈共同决定，在一阶线性近似下，满足关系式$$ \Delta A = \Delta A_{ext} + k \Delta T_{surf} $$（其中反馈系数$$ k < 0 $$）。

（2）'''（6分）'''设未考虑冰雪反馈时，地表实际温度对反照率的初始敏感度为$$ \lambda_0 = \frac{dT_{surf}}{dA}$$，请推导$$ \lambda_0$$ 的解析表达式；并以此为基础，推导在冰雪反馈机制下，最终实际升温$$ \Delta T_{surf} $$与初始反照率扰动$$ \Delta A_{ext} $$和反馈系数$$ k $$之间的函数关系式。

（3）'''（3分）'''为避免地球发生失控温室效应（即温度发散为无穷大），反馈系数的绝对值$$ |k| $$必须满足什么条件？

（4）'''（5分）'''根据现代气候模型估算，当前地球的反馈系数约为$$ k = -1.0 \times 10^{-3} \text{ K}^{-1}$$，请判断当前地球气候是否处于安全状态；结合第（1）问的观测扰动数据，计算在该冰雪正反馈机制下，地球气候系统达到新的热平衡后，地球表面平均气温最终上升的理论值（结果保留两位小数）

== 解答 ==

CNAO2026

2026-07-18T02:09:20Z

RT.x：/* 获奖名单 */ 添加AI提示

{{需要编辑}}
2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛预赛于2026年3月28日举行，决赛于2026年5月13日至17日在河南洛阳举行。

决赛笔试、观测笔试和选拔赛均在洛阳市第一高级中学进行。由于天气原因，本届赛事的决赛观测考试在室内进行。

本届赛事首次在预赛设置奖项。本届赛事共有177名同学进入决赛。<ref name=":0">[https://www.bjp.org.cn/qgzxstwzsjs/asdt/4028c1369e3cb5f6019e3eded9bb000f.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛圆满结束]</ref>

==预赛==
[[2026年CNAO预赛选择题]]

*[[2026年CNAO预赛选择题解析]]

==决赛==
[[2026年CNAO决赛常数表]]

[[2026年CNAO决赛选择题]]

[[2026年CNAO决赛第12题-（仅低年组）白矮星]]

[[2026年CNAO决赛第13题-天下之中]]

[[2026年CNAO决赛第14题-双星系统中的致密伴星]]

[[2026年CNAO决赛第15题-光谱]]

[[2026年CNAO决赛第16题-（仅高年组）星际彗星]]

==选拔赛==

[[2026年CNAO选拔赛第一题-星等]]

[[2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线]]

[[2026年CNAO选拔赛第三题-星震学]]

[[2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣]]

[[2026年CNAO选拔赛第五题-行星辐射平衡与冰雪正反馈]]

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! 国家集训队名单
|-
! 姓名 !! 组别 !! 地区 !! 学校/单位
|-
| 袁思远 || 低年组 || 湖北省 || 武汉外国语学校
|-
| 丁宇锐 || 低年组 || 浙江省 || 杭州市十三中教育集团（总校）
|-
| 许嘉航 || 低年组 || 天津市 || 天津市滨海新区塘沽未来学校
|-
| 姜俊宇 || 低年组 || 广东省 || 深圳中学
|-
| 杭明睿 || 低年组 || 北京市 || 北京汇文中学
|-
| 孙于鉴 || 低年组 || 浙江省 || 宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|-
| 陈致轩 || 低年组 || 浙江省 || 宁波市镇海蛟川书院
|-
| 张宏剑 || 低年组 || 福建省 || 厦门外国语学校瑞景分校
|-
| 吴重骧 || 低年组 || 浙江省 || 宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|-
| 陈煜文 || 低年组 || 广东省 || 广东实验中学
|-
| 韩熙源 || 低年组 || 北京市 || 北京市第八中学
|-
| 余瑾辉 || 低年组 || 湖南省 || 雅礼中学（光达校区）
|-
| 蔡绎玄文 || 低年组 || 湖南省 || 长沙市中雅培粹学校
|-
| 罗俊宇 || 低年组 || 湖南省 || 长沙市雅礼中学
|-
| 孙浩轩 || 低年组 || 广东省 || 深圳亚迪学校
|-
| 刘自豪 || 低年组 || 湖南省 || 长沙市中雅培粹学校
|-
| 周梓锐 || 高年组 || 广东省 || 华南师范大学附属中学
|-
| 季昀颉 || 高年组 || 浙江省 || 浙江省镇海中学
|-
| 黄浩岳 || 高年组 || 浙江省 || 杭州市余杭高级中学（临平中学）
|-
| 杨子易 || 高年组 || 广东省 || 广东广雅中学
|-
| 刘师存 || 高年组 || 江苏省 || 苏州市田家炳实验高级中学
|-
| 简文昊 || 高年组 || 北京市 || 中国人民大学附属中学朝阳学校
|-
| 张孜麒 || 高年组 || 上海市 || 上海市朱家角中学
|-
| 陈中凯 || 高年组 || 广东省 || 东莞市东莞中学松山湖学校
|-
| 陈致知 || 高年组 || 浙江省 || 杭州第二中学滨江校区
|-
| 张颢译 || 高年组 || 上海市 || 上海市金山中学
|-
| 李煜宸 || 高年组 || 浙江省 || 浙江省镇海中学
|-
| 朱星宇 || 高年组 || 浙江省 || 浙江省台州中学
|-
| 赵欣来 || 高年组 || 广东省 || 深圳中学
|-
| 丁乐天 || 高年组 || 广东省 || 广州市铁一中学
|-
| 陈东旭 || 高年组 || 浙江省 || 宁波效实中学
|-
| 刘博乐 || 高年组 || 江苏省 || 江苏省苏州中学校
|-
| 马悦之 || 高年组 || 北京市 || 北京汇文中学
|-
| 沈昊林 || 高年组 || 上海市 || 上海交通大学附属中学
|-
| 赵骏 || 高年组 || 江苏省 || 常州市第一中学
|-
| 袁张航 || 高年组 || 江苏省 || 江苏省扬州中学
|-
| 李宸睿 || 高年组 || 广东省 || 华南师范大学附属中学
|}

==获奖名单==
决赛最终评选出一等奖25名、二等奖43名、三等奖83名、鼓励奖18名。<ref name=":0" />

注意：使用了AI来进行数据的提取、转换。请各位注意检查一下AI是否出错！！！ ——[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月18日 (六) 10:08 (CST)
===一等奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|袁思远
|武汉外国语学校
|刘师存
|苏州市田家炳实验高级中学
|-
|杭明睿
|北京汇文中学
|黄浩岳
|杭州市余杭高级中学（临平中学）
|-
|丁宇锐
|杭州市十三中教育集团（总校）
|袁张航
|江苏省扬州中学
|-
|许嘉航
|天津市滨海新区塘沽未来学校
|张颢译
|上海市金山中学
|-
|韩熙源
|北京市第八中学
|马可廷
|广州市第二中学
|-
|陈致轩
|宁波市镇海蛟川书院
|周梓锐
|华南师范大学附属中学
|-
|姚星辰
|杭州市文海中学
|李煜宸
|浙江省镇海中学
|-
|吴重骧
|宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|杨子易
|广东广雅中学
|-
|张宏剑
|厦门外国语学校瑞景分校
|邓楚越
|绍兴市第一中学
|-
|陈煜文
|广东实验中学
|简文昊
|中国人民大学附属中学朝阳学校
|-
|
|
|雷源昊
|深圳中学
|-
|
|
|陈东旭
|宁波效实中学
|-
|
|
|沈昊林
|上海交通大学附属中学
|-
|
|
|顾铭家
|浙江省象山中学
|-
|
|
|丁浩栋
|慈溪中学
|}

===二等奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|孙浩轩
|深圳亚迪学校
|吴致萌
|汕头市金山中学
|-
|龙锦润
|西安交通大学苏州附属初级中学
|刘博乐
|江苏省苏州中学校
|-
|欧阳江
|东莞市石碣中学
|马悦之
|北京汇文中学
|-
|姜俊宇
|深圳中学
|朱星宇
|浙江省台州中学
|-
|郑景铭
|杭州市文海中学
|朱宇轩
|北京市第一六一中学
|-
|苏予祈
|北京市昌平区阳坊学校
|周子健
|西北师范大学附属中学
|-
|蔡绎玄文
|长沙市中雅培粹学校
|赵欣来
|深圳中学
|-
|沈子沫
|北京市第八中学
|陈中凯
|东莞市东莞中学松山湖学校
|-
|王优然
|北京市第八中学
|邹一
|珠海市第一中学
|-
|罗俊宇
|长沙市雅礼中学
|莫宇谦
|东莞市东莞中学
|-
|孙于鉴
|宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|夏方隅
|北京市第二中学分校
|-
|何昀佳
|长沙市中雅培粹学校
|孔凡卓
|中国人民大学附属中学
|-
|孙梓烨
|汕头市粤东明德学校
|王哲宇
|浙江省杭州第十四中学
|-
|林端皓
|杭州江南实验学校
|李宸睿
|华南师范大学附属中学
|-
|宋倬云
|中国人民大学附属中学
|孙瑞成
|杭州市源清中学
|-
|李明泽
|菏泽市牡丹区第二十二初级中学
|季昀颉
|浙江省镇海中学
|-
|
|
|洪一杭
|浙江省瑞安中学
|-
|
|
|丁乐天
|广州市铁一中学
|-
|
|
|赵骏
|常州市第一中学
|-
|
|
|谭迦天
|华南师范大学附属中学
|-
|
|
|王景尧
|永泰县第一中学
|-
|
|
|陈致知
|杭州第二中学滨江校区
|-
|
|
|陈子健
|浙江省镇海中学
|-
|
|
|叶自在
|浙江省杭州学军中学
|-
|
|
|冯宇铭
|江苏省常熟中学
|-
|
|
|赵胥皓
|绍兴市第一中学
|-
|
|
|余芷瑶
|汕头市金山中学
|}

===三等奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|孟梓昊
|江苏省天一中学
|侍子杰
|江苏省扬州中学
|-
|刘益铭
|浙江省杭州市采荷中学
|杨今天
|天津市天津中学
|-
|张智恒
|苏州高新区实验初级中学（锦峰路校区）
|陈昕豪
|杭州师范大学附属中学
|-
|陈至简
|宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|史文睿
|江苏省扬州中学
|-
|余瑾辉
|雅礼中学（光达校区）
|陶世闻
|上海外国语大学附属外国语学校
|-
|李辰跃
|广州天省实验学校
|徐荣谦
|云南师范大学附属中学
|-
|刘自豪
|长沙市中雅培粹学校
|代家铭
|清华附中大兴学校
|-
|舒允卓
|北京师范大学附属中学
|杨天溢
|四川省绵阳中学
|-
|吴雪雁
|华南师范大学附属中学
|周鹰雄
|武汉市第三中学
|-
|高健逸
|苏州市振华中学校
|杨博文
|青岛第十九中学
|-
|程锦暄
|北京汇文中学
|闫凌霄
|天津市第一中学
|-
|陈俊熙
|武汉外国语学校
|赖彦恩
|汕头金中海湾学校
|-
|宋浚哲
|深圳南山外国语科学学校
|钟懿
|华南师范大学附属中学
|-
|倪海庭
|深圳市龙岗区香港中文大学（深圳）附属知新学校
|顾昊宇
|江苏省盐城中学
|-
|张茗涵
|上海市松江区九亭第二中学
|卢皓恺
|广州中学
|-
|郑阳
|华东师范大学第二附属中学
|田润周
|北京师范大学第二附属中学
|-
|刘灿
|天津市翔宇弘德学校
|孟子肖
|浙江省杭州学军中学
|-
|周泊远
|天津市景海道中学
|李齐平
|上海外国语大学附属浦东外国语学校
|-
|王梓同
|北京市京源学校
|陈宁冉
|洛阳市第一高级中学
|-
|刘昕苡
|华南师范大学附属中学
|张孜麒
|上海市朱家角中学
|-
|于瀚文
|辽宁省沈阳市第一三四中学
|姜凯文
|江苏省盐城中学
|-
|赵思远
|长沙市雅礼中学
|蔡博琰
|江西师范大学附属中学
|-
|闵思源
|江西科技学院附属中学
|韦静怡
|伊犁州第一中学
|-
|黄子瑜
|杭州江南实验学校
|钟朝译
|宁夏银川一中
|-
|张航睿
|长沙市中雅培粹学校
|李肇淇
|佛山市第一中学
|-
|黄楚宸
|汕头市第一中学
|李润平
|喀什市特区实验学校
|-
|信咏志
|东营市实验中学
|潘于然
|福州第十九中学
|-
|吴校泽
|上海市控江初级中学
|郑皓文
|北京市第八十中学
|-
|王誉皓
|柳州市雷西实验中学
|张艺驰
|湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学
|-
|张凌润
|天津市河西区卓群中学
|刘浩洋
|洛阳市第一高级中学
|-
|杨煜钦
|昆明市第三中学
|焦煜宸
|浙江省镇海中学
|-
|
|
|孔祥屹
|江苏省天一中学
|-
|
|
|王墨涵
|山东省青岛第58中学
|-
|
|
|王鸿瑞
|合肥市第八中学匡河校区
|-
|
|
|吕思成
|北京市京源学校
|-
|
|
|钟海岳
|华南师范大学附属中学
|-
|
|
|康姗
|北京大学附属中学
|-
|
|
|韦一
|天津市南开中学滨海生态城学校
|-
|
|
|万桐言
|长沙市雅礼中学
|-
|
|
|张昱辰
|北京汇文中学
|-
|
|
|[[用户:RT.x|涂睿航]]
|长春市十一高中
|-
|
|
|史昊澎
|北京市第五十中学
|-
|
|
|李先瀚
|长沙市长郡双语实验中学
|-
|
|
|柏清眩
|哈密市第二中学
|-
|
|
|陈逸朗
|圣公会（澳门）蔡高中学
|-
|
|
|魏敏行
|北京市通州区潞河中学
|-
|
|
|刘颖蓁
|广州市第二中学
|-
|
|
|张子正
|天津市第二十中学
|-
|
|
|苏圣轲
|哈尔滨师范大学附属中学校
|-
|
|
|彭鸿锐
|广州外国语学校
|-
|
|
|林于童
|华南师范大学附属中学
|}

===鼓励奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|刘释
|北京汇文中学朝阳学校
|蔡家俊
|澳门培道中学
|-
|钟稀濛
|澳门大学附属应用学校
|余同计
|东华三院辛亥总理中学
|-
|谢悉辰
|武汉外国语学校
|林雨辰
|伊犁州第一中学
|-
|邱益帆
|福建省福州第十九中学
|宋金泽
|石家庄西山学校
|-
|常文睿
|北京市昌平区第二中学
|许佳蕾
|洛阳市第一高级中学
|-
|于吉腾
|青岛市崂山区麦岛中学
|贺秋硕
|重庆两江新区西南大学附属中学校
|-
|蒋瑾铄
|福建省厦门双十中学
|林金增
|佛教黄凤翎中学
|-
|孔翔宇
|合肥市五十中学新校
|黄子轩
|乐善堂梁植伟纪念中学
|-
|蒙白洋
|荔波县第一中学
|钟松育
|三亚市实验中学
|}
===特殊奖===
{| class="wikitable"
|最佳成绩奖（低年组）
|袁思远
|武汉外国语学校
|-
|最佳成绩奖（高年组）
|刘师存
|苏州市田家炳实验高级中学
|-
|最佳观测奖
|袁思远
|武汉外国语学校
|-
|最佳书写奖
|杨煜钦
|昆明市第三中学
|}

==相关链接==
[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369b6d12b5019b6d35ac92001e.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛1号通知（预赛考点征集）]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369cab05ed019cad4e3223003b.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛2号通知（预赛报名通知）]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369cab05ed019cad6373720040.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛常见问题解答]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369d029210019d04bf4ee40011.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛预赛天津考点地点变更通知]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369d4aab13019d4c1b6cc20007.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛3号通知（预赛成绩查询）]

[https://www.bjp.org.cn/qgzxstwzsjs/asdt/4028c1369d92c41c019d94d8796f0004.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛决赛香港特别行政区和澳门特别行政区代表队学生名单]

[https://www.bjp.org.cn/qgzxstwzsjs/asdt/4028c1369e3cb5f6019e3eded9bb000f.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛圆满结束]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369e6b0f2d019e6d2a707e0002.shtml 2026年国际天文奥林匹克竞赛国家集训队名单]

[http://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369f00679a019f02e86fef0015.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛优秀指导教师名单公布]

[[分类:按赛事索引]]
[[分类:内容需要完善]]

2026年CNAO决赛第16题-（仅高年组）星际彗星

2026-07-18T02:00:46Z

RT.x：标注用户答案可以用“用户答案”模板，备注加框可以在备注前打一个空格，建议备注用“～～～～”署名

{{需要编辑}}
==题目==
2025年7月1日，小行星撞地预警系统（ATLAS）上报了对一新天体的观测结果。2025年7月2日，国际天文学联合会（IAU）确认它是一颗彗星，并授予其编号 C/2025 N1。同时，它也是继2017年的1I/'Oumuamua和2019年的2I/Borisov之后，人类确认的第3个穿越太阳系的星际天体（Interstellar Object），因此又被授予编号3I/Atlas。

已知该星际彗星在无穷远处的速度大小为$$58.0 km/s$$，近日距为$$1.36au$$，轨道倾角为$$175°$$，因此可认为它沿着一条逆行轨道在黄道面内运行。太阳系内的各大行星均可认为沿圆轨道运行。试根据以上信息，回答以下四个小问，答案均保留三位有效数字。

（1）利用地球的轨道参数计算牛顿万有引力常量与太阳质量的乘积（单位：$$km^{3}/s^{2}$$）。

（2）2025年10月30日，该星际彗星经过近日点，计算此时该天体相对太阳的速度大小（单位：$$km/s$$）。

（3）计算该星际彗星离开太阳系后的速度方向与进入太阳系前的速度方向之间的夹角，以及该星际彗星的轨道偏心率。

（4）2025年10月3日，该星际彗星近距离掠过火星，我国的天问一号火星探测器抓住这个时机，成功拍摄到它的清晰图像。已知火星的轨道半径为$$1.52au$$，若不考虑火星的轨道倾角以及引力作用，试估算此时该星际彗星相对火星的速度大小（单位：$$km/s$$）。

==解答==
{{用户答案|[[用户:GEJ_CaCO3III | BJG10 GEJ_CaCO3III]]}}

(1)运用开普勒第三定律，有$$GM_\odot = \frac{4\pi^2a^3}{T^2}$$

代入$$a=1.496\times10^8\text{km}$$与$$T=3.16\times 10^7 \text{s}$$

得$$GM_\odot=1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}$$

(2)由于轨道能量守恒，有$$E_{k,peri}+E_{p,peri}=E_{k\infty}$$

即$$\frac12mv_p^2-\frac{GM_\odot m}{r_p}=\frac12mv_\infty^2$$

化简，得$$v_p=\sqrt{\frac{2GM_\odot}{r_p}+v^2_\infty}$$

代入$$GM_\odot = 1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$

得：$$v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$

(3)轨道的总单位质量角动量：$$h=v_pr_p=\sqrt{GM_\odot a(1-e^2)}$$注意此处实轴长为负数

由活力方程反解轨道实轴长：$$v_\infty^2 = GM_\odot(\frac2{r_\infty}-\frac1a)=-\frac{GM_\odot}{a}$$，解得$$a=-\frac{GM_\odot}{v_\infty^2}$$

将上述解代入角动量表达式：$$v_pr_p=\sqrt{\frac{(GM_\odot)^2}{v_\infty^2}(e^2-1)}$$，解得$$e^2=1+\frac{v^2_p v^2_\infty r_p^2}{(GM_\odot)^2}$$

即$$e=\sqrt{1+\frac{v^2_p v^2_\infty r_p^2}{(GM_\odot)^2}}$$

代入$$GM_\odot = 1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}$$

得：$$e=6.16$$

(4)

[[文件:彗星及火星轨道模式图.png|无框|右|彗星轨道模式图]]

如图，设彗星在火星轨道处速度为$$v_o$$,火星轨道半径$$r_m$$,火星轨道速度$$v_m$$

由圆轨道速度公式，$$v_m = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}$$

由于角动量守恒有$$v_pr_p=v_o r_m \sin \theta_0$$

解得$$v_o \sin \theta_0 = \frac{v_pr_p}{r_m}$$

由平行四边形性质有$$\theta + \theta_0 = \pi$$即$$\sin \theta = \sin \theta_0$$

由活力公式，$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}-\frac1a)$$

代入(3)中$$a$$的结果,得$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot})$$

由余弦定理，$$v_{rel}^2=v_o^2 + v_m^2 - 2 v_o v_m \cos (\theta + \frac{\pi}{2})=v_o^2 + v_m^2 + 2 v_o v_m \sin \theta_0$$

代入$$v_o^2 = GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot}),v_m = \sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}},v_o \sin \theta_0 = \frac{v_pr_p}{r_m}$$

得：$$v_{rel} = \sqrt{GM_\odot(\frac{2}{r_m}+\frac{v_\infty^2}{GM_\odot})+\frac{GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$

化简，得：$$v_{rel} = \sqrt{v^2_\infty+\frac{3GM_\odot}{r_m}+\frac{2v_pr_p}{r_m}\cdot\sqrt{\frac{GM_\odot}{r_m}}}$$

代入$$GM_\odot = 1.32\times 10^{11} \text{km}^3\cdot \text{s}^{-2}, r_p=1.36 \text{a.u.}=2.03\times 10^8 \text{km}, v_\infty = 58 \text{km}\cdot\text{s}^{-1}, v_p=68.3\text{km}\cdot\text{s}^{-1}, r_m = 1.52 \text{a.u.}=2.27\times 10^8 \text{km}$$

得：$$v_{rel} = 89.8\text{km} \cdot \text{s} ^{-1}$$

本题解答由BJG10 GEJ_CaCO3III给出，如有错误处欢迎指出！
[[分类:天体力学]]

2019年IOAA天文馆观测第2题

2026-07-18T01:52:24Z

RT.x：修改了袁神的编辑：添加“用户答案”标签

==英文题目==

PROBLEM 2

We are standing somewhere on the Earth. The projected sky does not show any Solar
System objects.

QUESTIONS / TASKS:

2.1. Determine the geographical latitude of this observing site:

In which hemisphere is the site situated? N / S (Circle the right one.)

2.2. Determine the azimuth of the 3 brightest stars on the projected sky. Azimuth is measured
from North towards the East. Write the name of these stars in English or using their Bayer
designation and their azimuths in the list below.

Bright star / name: Az:

Bright star / name: Az:

Bright star / name: Az:

2.3. Yellow × signs show the position of 3 comets. Which comet is closest to the ecliptic?
(Circle the number below.)
1 / 2 / 3

2.4. List nine constellations that contain circumpolar stars seen from the given observing site.
(Use the official IAU abbreviations or IAU designation.)

2.5. Mintaka (δ Orionis) is setting at this moment. How many hours earlier did it rise? (To an
accuracy of 15 minutes.)

==中文题目==

问题2

我们站在地球上的某个地方。投影的天空不显示任何太阳系天体。

问题/任务：

2.1. 确定该观测站点的地理纬度：

该位置位于哪个半球？ N / S（圈出正确的。）

2.2. 确定投影天空上3颗最亮恒星的方位角。方位角是从北向东测量的。在下面的列表中用英语写下这些星星的名称或者它们的拜耳名称及其方位角。

亮星/名字：Az：

亮星/名字：Az：

亮星/名字：Az：

2.3. 黄色×标志显示3颗彗星的位置。哪颗彗星最接近黄道？（圈出下面的数字。）
1/2/3

2.4. 列出从给定观测站点看到的位于拱极圈的九个星座。（使用IAU官方缩写或IAU指定名称。）

2.5. Mintaka（δOrionis）正在落下。它在几个小时之前升起？（精确到15分钟。）

[[文件:2019ioaa PL2-1.png]]

 
==解答==
{{用户答案|[[用户:Astro_Yuan|Astro_Yuan]]}}

2.1 25°S

S

2.2 Sirius (α CMa) Az=260°

Canopus (α Car) Az=220°

Rigil Kentaurus (α Cen) Az=150°

2.3 2

2.4 Oct

Pav

Hyi

Tuc

Men

Vol

Aps

Cha

Mus

Car

Cen

Cir

Ara

TrA

Ret

Hor

2.5 12h

2018年IAO理论高年组第3题-科伦坡的日落

2026-07-17T15:51:53Z

RT.x：添加“需要翻译”标签

{{内容需要完善}}
{{需要翻译}}
{{需要解答}}

===原文题目===

'''Sunset at Colombo.''' The sunset picture was taken on September 30, 2018, from the seafront in the center of Colombo. The height of the camera above sea level was approximately 6.5m, Calculat4e with the highest possible reasonable acceracy:

'''3.1.''' at what tome (use Sri Lanka time) the picture was taken.

'''3.2.''' after what time after moment of this picture will civil twilight end?

'''3.3.''' Draw the position of the Sun seen at this moment from Adams Pk. (see the map) locates to the East of Colombo (if clouds do not bostruct the observation).

模板:需要翻译

2026-07-17T15:47:27Z

RT.x：新建模板，主要用来标记未翻译的外文试题或解答

{{页首标记|#4f87ff|
[[文件:icon_translate.png|无框]]
|需要翻译|本页的文本需要翻译，或者译文需要校对。请帮助完善这个页面，如果熟练的话通常不需要太多时间。}}

文件:Icon translate.png

2026-07-17T15:38:07Z

RT.x：来自字节的iconpark.oceanengine.com 200 × 200, 6 KB

== 文件说明 ==
来自字节的iconpark.oceanengine.com
200 × 200, 6 KB

模板讨论:首页彩蛋

2026-07-17T15:13:09Z

RT.x：/* 新热梗 */ 新章节

== 首页彩蛋接受投稿！ ==

任何天文段子、脑筋急转弯、漫画~

点击右上角＋号新建段落，贴出你的稿件吧~

== 脑筋急转弯 ==

哪一个星座的一半比它本身还大？

== 天文段子（元素周期表） ==

在天体物理学里，宇宙中只有三类元素：第一类是氢，第二类是氦，剩下的都是第三类——金属元素。

== 新热梗 ==

春风得力马门溪！

2019年CNAO决赛第18题-垂直发射的炮弹

2026-07-17T14:50:53Z

RT.x：群友反馈，把不正确的用户答案更改为官方答案，优化了一下编辑

==题目==
18、（高年组）垂直发射的炮弹

垂直发射的炮弹是否会落回炮口，这是很久以前曾出现过的争论。

考虑在赤道处从地面垂直向上发射一颗炮弹，忽略空气影响，则：

（1）当弹丸落回地面时，落点会正好位于炮口、位于其东侧、还是位于其西侧，列出判断依据。

（2）设弹丸发射的初速为$$V_0$$，弹丸飞行高度远小于地球半径。推导落点到炮口的距离与$$V_0$$的关系，请列出过程。
[[文件:CNAO2019-18.jpg|缩略图|图1]]
【提示】

在推导中你可能用到以下参数：

*地球自转角速度$$ω_0$$
*地球半径$$R$$
*重力加速度$$g$$

还可能用到以下公式：

*开普勒定律
*$$\frac{1}{1+x} \simeq 1-x$$
*<nowiki>$$\frac{1}{(1+x)^2} \simeq 1-2x$$</nowiki>

==解答==

{{官方答案}}
根据开普勒定律，该炮弹的轨迹为以地心为焦点的椭圆。
设在地面高度$$y$$时弹丸相对地心的角速度为$$\omega(y)$$，则在短时间$$dt$$内，弹丸轨迹扫过的面积为$$\frac{1}{2}\omega(y)dt(R+y)(R+y)$$，其中$$R$$为地球半径。

根据开普勒定律，单位时间内扫过的面积为常数，故有\[\omega(y)(R+y)^2 \equiv \omega_0 R^2\]$$\omega_0$$为地球自转角速度。
因$$y \ll R$$，故\[\omega(y) = \omega_0 \frac{R^2}{(R+y)^2} \cong \omega_0 \left(1 - 2\frac{y}{R}\right)\]
因此，炮弹自飞离地面开始，其地心角速度一直小于地球自转角速度$$\omega_0$$，故炮弹的落点位于炮口西侧。

【注】在本次决赛中，很多同学根据“弹丸水平方向速度保持恒定，因此地心角速度随着高度增加而减小”来推定炮弹落于西侧。
但这一论断是错误的。如果在地面坐标系中观察，由于科里奥利力效应的存在，水平方向会产生速度；如果在地心坐标系中观察，无论是水平速度（这里指对应发射时刻的水平方向）还是相对地心的切向速度都是变化的。
在从地面飞行至最高点的过程中，弹丸高度$$y$$与时间$$t$$有如下关系：\[y = V_0 t - \frac{1}{2} g t^2\]
因$$(\omega - \omega_0)$$为弹丸地心角速度与地球自转角速度之差，故弹丸在地面投影位置的偏离速度（向东为正）：
\[dV = (\omega - \omega_0)R = -2\omega_0 y = -2\omega_0 \left(V_0 t - \frac{1}{2} g t^2\right)\]
弹丸飞至最高点所需时间为：$$T = \frac{V_0}{g}$$。

以下可以采用多种方法估算弹丸从发射到飞至最高点期间偏离距离。

例如：取简单平均、或使用$$\frac{T}{2}$$时的$$dV$$作为平均值、或分段计算$$0 \sim \frac{T}{2}，\frac{T}{2} \sim T$$的距离等，结果为某常数 $$\times \omega_0 \frac{V_0^3}{g^2}$$。
若使用积分计算，可得出准确结果$$ \frac{4}{3} \omega_0 \frac{V_0^3}{g^2}$$。

（使用平均值方法计算，推导和计算过程正确，此步骤给满分；若使用积分计算，须得出准确结果，此步骤给满分）

官方答案来自《天文爱好者》

[[分类:天体力学]]

2026年CNAO决赛第13题-天下之中

2026-07-17T12:29:48Z

RT.x：把图片修改为“无框”模式，删去我的备注，补全题干

{{需要解答}}
==题目==
在河南登封“天地之中”历史建筑群（北纬$$34^{\circ} 27^{\prime}$$，东经$$113^{\circ} 03^{\prime}$$）中，有着我国现存最古老的天文台之一。3000多年前的西周初期，周公在这里观测日影，确定“天下之中”，营建都城洛邑；1300多年前的唐代，天文学家南宫悦在其旧址仿旧制建成周公测景台；700多年前的元代，天文学家郭守敬又在这里主持建造观星台，建立了如今我们看到的圭表。圭表由“表”（立杆）和“圭”（刻度石板）组成，用来通过影长测定正午时刻和节气。请参考均时差曲线（即“$$真太阳时 - 平太阳时$$”在一年中随日期变化的曲线，见图1），完成以下问题：

（1）假设这个圭表的“表”高为$$9.5$$米，且“表”的影子完全落在位于平地的“圭”上，那么“圭”的长度至少为多少米，才能满足一年的测量需求？答案精确到小数点后一位。

（2）某天，一位学生在登封观星台进行观测。他发现，当他的手表显示北京时间12:00时，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置。这种情况可能发生在____。

A.一年中的任意一天

B.一年中特定的一天

C.一年中特定的两天

D.不可能发生，他的手表一定是显示错误了

（3）计算5月16日这天，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置的时刻。答案用北京时间表示，精确到分钟。

（4）《周礼·大司徒》记载：“日至之景，尺有五寸，谓之地中。”意思是，在一个地方建立高为$$8$$尺的“表”，如果夏至日正午测得的影长为$$1.5$$尺，那么这个地方就是“天下之中”。试判断黄赤交角是在增大还是减小，并估算其变化率。答案用每百年变化的角秒数表示，精确到整数。
[[文件:均时差曲线.jpg|替代=|无框]]

==解答==

[[分类:视运动]]

2026年CNAO决赛第13题-天下之中

2026-07-17T12:26:29Z

RT.x：删去“需要编辑”标签

{{需要解答}}
==题目==
在河南登封“天地之中”历史建筑群（北纬$$34^{\circ} 27^{\prime}$$，东经$$113^{\circ} 03^{\prime}$$）中，有着我国现存最古老的天文台之一。3000多年前的西周初期，周公在这里观测日影，确定“天下之中”，营建都城洛邑；1300多年前的唐代，天文学家南宫悦在其旧址仿旧制建成周公测景台；700多年前的元代，天文学家郭守敬又在这里主持建造观星台，建立了如今我们看到的圭表。圭表由“表”（立杆）和“圭”（刻度石板）组成，用来通过影长测定正午时刻和节气。请参考均时差曲线（即“$$真太阳时 - 平太阳时$$”在一年中随日期变化的曲线），完成以下问题：

（1）假设这个圭表的“表”高为$$9.5$$米，且“表”的影子完全落在位于平地的“圭”上，那么“圭”的长度至少为多少米，才能满足一年的测量需求？答案精确到小数点后一位。

（2）某天，一位学生在登封观星台进行观测。他发现，当他的手表显示北京时间12:00时，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置。这种情况可能发生在____。

A.一年中的任意一天

B.一年中特定的一天

C.一年中特定的两天

D.不可能发生，他的手表一定是显示错误了

（3）计算5月16日这天，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置的时刻。答案用北京时间表示，精确到分钟。

（4）《周礼·大司徒》记载：“日至之景，尺有五寸，谓之地中。”意思是，在一个地方建立高为$$8$$尺的“表”，如果夏至日正午测得的影长为$$1.5$$尺，那么这个地方就是“天下之中”。试判断黄赤交角是在增大还是减小，并估算其变化率。答案用每百年变化的角秒数表示，精确到整数。
[[文件:均时差曲线.jpg|替代=|缩略图]]

“均时差曲线”所对应的图目前缺失，请各位补充。 ——[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 15:20 (CST)

==解答==

[[分类:视运动]]

2026年CNAO决赛第14题-双星系统中的致密伴星

2026-07-17T12:25:12Z

RT.x：/* 题目 */ 补充完整试题，修复了很多编辑错误

{{需要编辑}}
==题目==

天文学家发现了一个单线分光双星系统(Single-lined Spectroscopic Binary):一颗光谱型为G2V的恒星 (质量$$M_1 \approx 1M_{\odot}$$）正围绕一个不可见的致密伴星在近似圆轨道上运动。由于没有明显的X射线辐射，伴星的质量只能通过轨道动力学测定。图2为该恒星在6个轨道相位($$Φ=t/P$$，其中$$t$$是观测时间，$$P$$是轨道周期)下的高分辨率光谱图像，波段覆盖Ha氢巴尔末吸收线(实验室静止波长$$λ_0=6562.80Å$$)。图像中同时存在若干较窄的金属背景吸收线，Ha线是其中最宽、最深的特征线。由于多普勒效应，所有谱线随相位整体偏移。

(1)从6张光谱图像中，读出各相位下Ha谱线的中心观测波长$$λ_{obs}$$，利用非相对论多普勒公式计算各相位的视向速度$$v_r$$(km/s)，并找出所有相位中最大视向速度$$v_{r,max}$$的值。

(2)通过高精度的空间干涉天体测量，天文学家直接测得了该可见恒星轨道的半长轴$$a_1=0.435au$$，并且确认该系统的轨道近似正圆且轨道倾角$$i≈90°$$(即我们的视线方向与轨道平面平行)。请计算出该双星系统的真实轨道周期$$P$$(单位“天”或“年”)。

(3)两个天体围绕共同质心做圆周运动，请利用单线分光双星的系统参数($$a_1,P$$)建立方程，列出可见恒星质量M，和不可见伴星质量M2之间的关系式。

(4)已知该G2V型可见恒星的质量$$M \approx 1M_{\odot}$$，伴星M2是什么天体?(注:钱德拉塞卡极限约为$$1.44 M_{\odot}$$，奥本海默-沃尔科夫极限约为$$2.5 M_{\odot}$$）

==解答==

[[分类:天体力学]]

2026年CNAO决赛第16题-（仅高年组）星际彗星

2026-07-17T12:18:45Z

RT.x：/* 题目 */ 录入决赛试题，手动输入。试题来自《天文爱好者》2026.07，全国中学生天文知识竞赛组委会供稿。

2026年CNAO决赛第15题-光谱

2026-07-17T11:55:21Z

RT.x：/* 题目 */ 录入小题题干，手动输入。试题来自《天文爱好者》2026.07，全国中学生天文知识竞赛组委会供稿。（图目前缺失）

{{需要编辑}}
==题目==
氢原子的电子处于一系列不连续的能级（$$n = 1,2,3...$$）上。电子在不同能级间跃迁时，会辐射或吸收特定波长的电磁波，于是便产生了谱线。谱线的波长$$\lambda$$满足以下公式：$$ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) , n_2 > n_1$$。其中$$R_H$$为常数。当$$n_1 = 2$$时，对应的系列谱线称为巴耳末系。其中，当$$n_2$$分别取$$3、4、5$$时，对应的谱线依次称为$$H_{\alpha}$$，$$H_{\beta}$$，$$H_{\gamma}$$；当$$n_2$$趋近于正无穷时，对应氢原子的电离极限。

图3为某河内恒星的光谱图，其中巴耳末系吸收线非常显著。图3中的横坐标为波长，纵坐标为辐射通量密度。

（1）根据以上公式，在图3中找到并在试卷中标注$$H_{\alpha}$$，$$H_{\beta}$$，$$H_{\gamma}$$三条谱线，然后求出$$R_H$$的值（保留四位有效数字）。

提示：可先根据公式确定三条谱线波长的理论比例，再测量并记录图中主要谱线的波长，最终找到与波长比例相符的三条谱线。

（2）计算当$$n_2$$趋近于正无穷时得到的波长值，在图3中标记该波长。

（3）假设该恒星的本征色指数$$(B - V)_0 =0.100$$。本征色指数$$(B - V)_0$$与恒星有效温度$$T_{eff}$$大致符合以下经验公式：
\[ T_{eff} = 4600 \times \left( \frac{1}{0.92 \left(B -V\right)_0 + 1.70} + \frac{1}{0.92 \left(B -V\right)_0 + 0.62} \right)\]

请使用该式粗略估算该恒星的有效温度（该结果未必准确，但你不妨在后续小问中继续使用该结果）。计算该温度对应的黑体辐射谱的峰值波长，并在图3中标记该波长。

（4）已知在地球大气外测得该恒星的色指数$$B - V = 0.210$$。请问该恒星表现出“红化”还是“蓝化”现象（答出“红化”或“蓝化”）？导致这种现象最可能的主要物理机制是（答出选项即可）：____。

A.该恒星正在向地球方向移动，多普勒效应导致能量在频谱上的分布发生变化。

B.星际气体原子对短波产生瑞利散射。

C.光子在脱离恒星的强引力场时，能量在频谱上的分布发生变化。

D.星际尘埃对不同波长的电磁波消光程度不同。

相关效应也会对星等产生影响，若不进行修正，直接使用距离模数公式计算该恒星距离，计算结果会比真实距离偏远还是偏近？请简要说明原因。

（5）图4展示了恒星光谱中某条吸收线的轮廓细节。已知该谱线的展宽程度可以用半高全宽（FWHM）表征（即当谱线轮廓达到其最大峰值/最大吸收宽度的一半时，曲线两点之间的距离）。恒星大气中氢原子的热运动会通过多普勒效应导致谱线展宽。

假设该恒星大气中氢原子的平均动能$$E_k \approx \frac{3}{2} k_B T$$，结合前面求得的有效温度估算该谱线由于氢原子热运动导致的理论展宽宽度量级。

测量该谱线半高全宽的值。根据你的计算结果，氢原子热运动足以解释该谱线展宽吗？

==解答==

[[分类:光谱]]

文件:均时差曲线.jpg

2026-07-17T07:55:44Z

RT.x：RT.x上传文件:均时差曲线.jpg的新版本

来自天文爱好者2026年7月刊

2015IOAA理论短问题第5题-卫星轨道

2026-07-17T04:53:37Z

RT.x：/* 解答 */ 添加“用户答案”标签

{{需要编辑}}
==英文题目==
An observer is trying to determine an approximate value of the orbital eccentricity of a man-made satellite. When the satellite was at apogee, it was observed to have moved by $$∆𝜃_{1}$$ = 2′44" in a short time. When the radius vector connecting Earth and the satellite is perpendicular to the major axis (true anomaly is equal to 90o), within the same duration of time, it was observed to have moved by $$∆𝜃_{2}$$ = 21′17". Assume that the observer is located at the center of the Earth. Find an approximate value of the eccentricity of the satellite’s orbit.

 
==中文翻译==
一个观察者正在尝试确定一颗人造卫星轨道的偏心率。当卫星位于远地点时，观察到它在短时间内移动了 $$∆𝜃_{1}$$ = 2′44"。当连接地球和卫星的半径向量与长轴垂直（真近点角为90°）时，在相同时间内，观察到它移动了 $$∆𝜃_{2}$$ = 21′17"。假设观察者位于地球中心。求卫星轨道离心率的近似值。

==解答==
{{用户答案|[[用户:RT.x|RT.x]]}}

这是我自己的解法，不知道是否正确，存在许多不专业和不严谨之处，还望各位大佬多多指正。各位如果觉得解答没什么问题，请删去<nowiki>{{需要编辑}}</nowiki>——[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月10日 (五) 18:49 (CST)

设卫星的远地点为A点,对应物理量角标为$$A$$，卫星真近点角为90°时B点，对应物理量角标为$$B$$。椭圆轨道的半长轴为$$a$$，半短轴为$$b$$，半焦距为$$c$$，离心率为$$e$$。

卫星位于A点时，与地球（中心天体，视作质点）的距离:

$$r_A = a + c$$

卫星位于B点时，与地球的距离:

$$r_B = \frac{b^2}{a}$$（椭圆通径$$d = \frac{2b^2}{a}$$的一半）

由卫星的角动量守恒可得：

$$L_A = L_B$$

根据角动量的表达式：

$$L = m\omega r^2$$

可得:

$$m\omega_A r_A = m\omega_B r_B$$

约去质量$$m$$，将上式变形，得：

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B^2}{r_A^2}$$

则有：

$$\frac{r_B}{r_A} = \sqrt{\frac{\omega_A}{\omega_B}}$$

在观测的短时间t内，有如下关系：

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{∆𝜃_{1}}{∆𝜃_{2}} = \frac{2′44"}{21′17"}$$

所以

$$\frac{r_B}{r_A} = \sqrt{\frac{2′44"}{21′17"}} \approx 0.358$$

接下来，我们运用椭圆的相关知识，用含$$a+c$$和$$\frac{b^2}{a}$$的式子表示$$e$$（椭圆离心率，$$e = \frac{c}{a}$$）

$$r_B = \frac{b^2}{a} = \frac{a^2-c^2}{a} = \frac{(a+c)(a-c)}{a} = (a+c)(1-\frac{c}{a})$$

移相，得：

$$e = \frac{c}{a} = 1-\frac{\frac{b^2}{a}}{a+c}$$

把$$r_A$$和$$r_B$$代入，得：

$$e = 1-\frac{r_A}{r_B} = 0.642$$

故卫星轨道离心率的近似值为$$0.642$$

2026年CNAO决赛第15题-光谱

2026-07-15T07:42:58Z

RT.x：/* 题目 */ 录入试题题干，手动输入。试题来自《天文爱好者》2026.07，全国中学生天文知识竞赛组委会供稿。

2026年CNAO决赛第15题-光谱

2026-07-15T07:30:59Z

RT.x：/* 题目 */ 添加了题目里的公式

{{需要编辑}}
==题目==
\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) , n_2 > n_1\]

\[ T_{eff} = 4600 \times \left( \frac{1}{0.92 \left(B -V\right)_0 + 1.70} + \frac{1}{0.92 \left(B -V\right)_0 + 0.62} \right)\]

$$E_k \approx \frac{3}{2} k_B T$$

==解答==

[[分类:光谱]]

分类:RT.x的专栏-快速参考手册

2026-07-15T05:50:38Z

RT.x：修改表述

快速参考手册（Quick Reference Handbook，QRH）旨在提供能让网站用户在遇到问题或困难时快速参考的文档。

这并不是教程，但是我会让其较易于新手理解（但愿）。

目前主要涵盖：

LaTeX语法

内容可能存在错误和不完善之处，需要各位共同完善。

CNAO2026

2026-07-15T05:43:04Z

RT.x：/* 选拔赛 */ 添加集训队名单

{{需要编辑}}
2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛预赛于2026年3月28日举行，决赛于2026年5月13日至17日在河南洛阳举行。

决赛笔试、观测笔试和选拔赛均在洛阳市第一高级中学进行。由于天气原因，本届赛事的决赛观测考试在室内进行。

本届赛事首次在预赛设置奖项。本届赛事共有177名同学进入决赛。<ref name=":0">[https://www.bjp.org.cn/qgzxstwzsjs/asdt/4028c1369e3cb5f6019e3eded9bb000f.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛圆满结束]</ref>

==预赛==
[[2026年CNAO预赛选择题]]

*[[2026年CNAO预赛选择题解析]]

==决赛==
[[2026年CNAO决赛常数表]]

[[2026年CNAO决赛选择题]]

[[2026年CNAO决赛第12题-（仅低年组）白矮星]]

[[2026年CNAO决赛第13题-天下之中]]

[[2026年CNAO决赛第14题-双星系统中的致密伴星]]

[[2026年CNAO决赛第15题-光谱]]

[[2026年CNAO决赛第16题-（仅高年组）星际彗星]]

==选拔赛==

[[2026年CNAO选拔赛第一题-星等]]

[[2026年CNAO选拔赛第二题-行星光变曲线]]

[[2026年CNAO选拔赛第三题-星震学]]

[[2026年CNAO选拔赛第四题-洛希瓣]]

[[2026年CNAO选拔赛第五题-行星辐射平衡与冰雪正反馈]]

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! 国家集训队名单
|-
! 姓名 !! 组别 !! 地区 !! 学校/单位
|-
| 袁思远 || 低年组 || 湖北省 || 武汉外国语学校
|-
| 丁宇锐 || 低年组 || 浙江省 || 杭州市十三中教育集团（总校）
|-
| 许嘉航 || 低年组 || 天津市 || 天津市滨海新区塘沽未来学校
|-
| 姜俊宇 || 低年组 || 广东省 || 深圳中学
|-
| 杭明睿 || 低年组 || 北京市 || 北京汇文中学
|-
| 孙于鉴 || 低年组 || 浙江省 || 宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|-
| 陈致轩 || 低年组 || 浙江省 || 宁波市镇海蛟川书院
|-
| 张宏剑 || 低年组 || 福建省 || 厦门外国语学校瑞景分校
|-
| 吴重骧 || 低年组 || 浙江省 || 宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|-
| 陈煜文 || 低年组 || 广东省 || 广东实验中学
|-
| 韩熙源 || 低年组 || 北京市 || 北京市第八中学
|-
| 余瑾辉 || 低年组 || 湖南省 || 雅礼中学（光达校区）
|-
| 蔡绎玄文 || 低年组 || 湖南省 || 长沙市中雅培粹学校
|-
| 罗俊宇 || 低年组 || 湖南省 || 长沙市雅礼中学
|-
| 孙浩轩 || 低年组 || 广东省 || 深圳亚迪学校
|-
| 刘自豪 || 低年组 || 湖南省 || 长沙市中雅培粹学校
|-
| 周梓锐 || 高年组 || 广东省 || 华南师范大学附属中学
|-
| 季昀颉 || 高年组 || 浙江省 || 浙江省镇海中学
|-
| 黄浩岳 || 高年组 || 浙江省 || 杭州市余杭高级中学（临平中学）
|-
| 杨子易 || 高年组 || 广东省 || 广东广雅中学
|-
| 刘师存 || 高年组 || 江苏省 || 苏州市田家炳实验高级中学
|-
| 简文昊 || 高年组 || 北京市 || 中国人民大学附属中学朝阳学校
|-
| 张孜麒 || 高年组 || 上海市 || 上海市朱家角中学
|-
| 陈中凯 || 高年组 || 广东省 || 东莞市东莞中学松山湖学校
|-
| 陈致知 || 高年组 || 浙江省 || 杭州第二中学滨江校区
|-
| 张颢译 || 高年组 || 上海市 || 上海市金山中学
|-
| 李煜宸 || 高年组 || 浙江省 || 浙江省镇海中学
|-
| 朱星宇 || 高年组 || 浙江省 || 浙江省台州中学
|-
| 赵欣来 || 高年组 || 广东省 || 深圳中学
|-
| 丁乐天 || 高年组 || 广东省 || 广州市铁一中学
|-
| 陈东旭 || 高年组 || 浙江省 || 宁波效实中学
|-
| 刘博乐 || 高年组 || 江苏省 || 江苏省苏州中学校
|-
| 马悦之 || 高年组 || 北京市 || 北京汇文中学
|-
| 沈昊林 || 高年组 || 上海市 || 上海交通大学附属中学
|-
| 赵骏 || 高年组 || 江苏省 || 常州市第一中学
|-
| 袁张航 || 高年组 || 江苏省 || 江苏省扬州中学
|-
| 李宸睿 || 高年组 || 广东省 || 华南师范大学附属中学
|}

==获奖名单==
决赛最终评选出一等奖25名、二等奖43名、三等奖83名、鼓励奖18名。<ref name=":0" />
===一等奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|袁思远
|武汉外国语学校
|刘师存
|苏州市田家炳实验高级中学
|-
|杭明睿
|北京汇文中学
|黄浩岳
|杭州市余杭高级中学（临平中学）
|-
|丁宇锐
|杭州市十三中教育集团（总校）
|袁张航
|江苏省扬州中学
|-
|许嘉航
|天津市滨海新区塘沽未来学校
|张颢译
|上海市金山中学
|-
|韩熙源
|北京市第八中学
|马可廷
|广州市第二中学
|-
|陈致轩
|宁波市镇海蛟川书院
|周梓锐
|华南师范大学附属中学
|-
|姚星辰
|杭州市文海中学
|李煜宸
|浙江省镇海中学
|-
|吴重骥
|宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|杨子易
|广东广雅中学
|-
|张宏剑
|厦门外国语学校瑞景分校
|邓楚越
|绍兴市第一中学
|-
|陈煜文
|广东实验中学
|简文昊
|中国人民大学附属中学朝阳学校
|-
|
|
|雷源昊
|深圳中学
|-
|
|
|陈东旭
|宁波效实中学
|-
|
|
|沈昊林
|上海交通大学附属中学
|-
|
|
|顾铭家
|浙江省象山中学
|-
|
|
|丁浩栋
|慈溪中学
|}

===二等奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|孙浩轩
|深圳亚迪学校
|吴致萌
|汕头市金山中学
|-
|龙锦润
|西安交通大学苏州附属初级中学
|刘博乐
|江苏省苏州中学校
|-
|欧阳江
|东莞市石碣中学
|马悦之
|北京汇文中学
|-
|姜俊宇
|深圳中学
|朱星宇
|浙江省台州中学
|-
|郑景铭
|杭州市文海中学
|朱宇轩
|北京市第一六一中学
|-
|苏予祈
|北京市昌平区阳坊学校
|周子健
|西北师范大学附属中学
|-
|蔡绎玄文
|长沙市中雅培粹学校
|赵欣来
|深圳中学
|-
|沈子沫
|北京市第八中学
|陈中凯
|东莞市东莞中学松山湖学校
|-
|王优然
|北京市第八中学
|邹一
|珠海市第一中学
|-
|罗俊宇
|长沙市雅礼中学
|莫宇谦
|东莞市东莞中学
|-
|孙于鉴
|宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|夏方隅
|北京市第二中学分校
|-
|何昀佳
|长沙市中雅培粹学校
|孔凡卓
|中国人民大学附属中学
|-
|孙梓烨
|汕头市粤东明德学校
|王哲宇
|浙江省杭州第十四中学
|-
|林端皓
|杭州江南实验学校
|李宸睿
|华南师范大学附属中学
|-
|宋倬云
|中国人民大学附属中学
|孙瑞成
|杭州市源清中学
|-
|李明泽
|菏泽市牡丹区第二十二初级中学
|季昀颉
|浙江省镇海中学
|-
|
|
|洪一杭
|浙江省瑞安中学
|-
|
|
|丁乐天
|广州市铁一中学
|-
|
|
|赵骏
|常州市第一中学
|-
|
|
|谭迦天
|华南师范大学附属中学
|-
|
|
|王景尧
|永泰县第一中学
|-
|
|
|陈致知
|杭州第二中学滨江校区
|-
|
|
|陈子健
|浙江省镇海中学
|-
|
|
|叶自在
|浙江省杭州学军中学
|-
|
|
|冯宇铭
|江苏省常熟中学
|-
|
|
|赵胥皓
|绍兴市第一中学
|-
|
|
|余芷瑶
|汕头市金山中学
|}

===三等奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|孟梓昊
|江苏省天一中学
|侍子杰
|江苏省扬州中学
|-
|刘益铭
|浙江省杭州市采荷中学
|杨今天
|天津市天津中学
|-
|张智恒
|苏州高新区实验初级中学（锦峰路校区）
|陈昕豪
|杭州师范大学附属中学
|-
|陈至简
|宁波外国语学校（浙江省八一学校）
|史文睿
|江苏省扬州中学
|-
|余瑾辉
|雅礼中学（光达校区）
|陶世闻
|上海外国语大学附属外国语学校
|-
|李辰跃
|广州天省实验学校
|徐荣谦
|云南师范大学附属中学
|-
|刘自豪
|长沙市中雅培粹学校
|代家铭
|清华附中大兴学校
|-
|舒允卓
|北京师范大学附属中学
|杨天溢
|四川省绵阳中学
|-
|吴雪雁
|华南师范大学附属中学
|周鹰雄
|武汉市第三中学
|-
|高健逸
|苏州市振华中学校
|杨博文
|青岛第十九中学
|-
|程锦暄
|北京汇文中学
|闫凌霄
|天津市第一中学
|-
|陈俊熙
|武汉外国语学校
|赖彦恩
|汕头金中海湾学校
|-
|宋浚哲
|深圳南山外国语科学学校
|钟懿
|华南师范大学附属中学
|-
|倪海庭
|深圳市龙岗区香港中文大学（深圳）附属知新学校
|顾昊宇
|江苏省盐城中学
|-
|张茗涵
|上海市松江区九亭第二中学
|卢皓恺
|广州中学
|-
|郑阳
|华东师范大学第二附属中学
|田润周
|北京师范大学第二附属中学
|-
|刘灿
|天津市翔宇弘德学校
|孟子肖
|浙江省杭州学军中学
|-
|周泊远
|天津市景海道中学
|李齐平
|上海外国语大学附属浦东外国语学校
|-
|王梓同
|北京市京源学校
|陈宁冉
|洛阳市第一高级中学
|-
|刘昕苡
|华南师范大学附属中学
|张孜麒
|上海市朱家角中学
|-
|于瀚文
|辽宁省沈阳市第一三四中学
|姜凯文
|江苏省盐城中学
|-
|赵思远
|长沙市雅礼中学
|蔡博琰
|江西师范大学附属中学
|-
|闵思源
|江西科技学院附属中学
|韦静怡
|伊犁州第一中学
|-
|黄子瑜
|杭州江南实验学校
|钟朝译
|宁夏银川一中
|-
|张航睿
|长沙市中雅培粹学校
|李肇淇
|佛山市第一中学
|-
|黄楚宸
|汕头市第一中学
|李润平
|喀什市特区实验学校
|-
|信咏志
|东营市实验中学
|潘于然
|福州第十九中学
|-
|吴校泽
|上海市控江初级中学
|郑皓文
|北京市第八十中学
|-
|王誉皓
|柳州市雷西实验中学
|张艺驰
|湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学
|-
|张凌润
|天津市河西区卓群中学
|刘浩洋
|洛阳市第一高级中学
|-
|杨煜钦
|昆明市第三中学
|焦煜宸
|浙江省镇海中学
|-
|
|
|孔祥屹
|江苏省天一中学
|-
|
|
|王墨涵
|山东省青岛第58中学
|-
|
|
|王鸿瑞
|合肥市第八中学匡河校区
|-
|
|
|吕思成
|北京市京源学校
|-
|
|
|钟海岳
|华南师范大学附属中学
|-
|
|
|康姗
|北京大学附属中学
|-
|
|
|韦一
|天津市南开中学滨海生态城学校
|-
|
|
|万桐言
|长沙市雅礼中学
|-
|
|
|张昱辰
|北京汇文中学
|-
|
|
|[[用户:RT.x|涂睿航]]
|长春市十一高中
|-
|
|
|史昊澎
|北京市第五十中学
|-
|
|
|李先瀚
|长沙市长郡双语实验中学
|-
|
|
|柏清眩
|哈密市第二中学
|-
|
|
|陈逸朗
|圣公会（澳门）蔡高中学
|-
|
|
|魏敏行
|北京市通州区潞河中学
|-
|
|
|刘颖蓁
|广州市第二中学
|-
|
|
|张子正
|天津市第二十中学
|-
|
|
|苏圣轲
|哈尔滨师范大学附属中学校
|-
|
|
|彭鸿锐
|广州外国语学校
|-
|
|
|林于童
|华南师范大学附属中学
|}

===鼓励奖===
{| class="wikitable"
! colspan="2" |低年组
! colspan="2" |高年组
|-
|刘释
|北京汇文中学朝阳学校
|蔡家俊
|澳门培道中学
|-
|钟稀濛
|澳门大学附属应用学校
|余同计
|东华三院辛亥总理中学
|-
|谢悉辰
|武汉外国语学校
|林雨辰
|伊犁州第一中学
|-
|邱益帆
|福建省福州第十九中学
|宋金泽
|石家庄西山学校
|-
|常文睿
|北京市昌平区第二中学
|许佳蕾
|洛阳市第一高级中学
|-
|于吉腾
|青岛市崂山区麦岛中学
|贺秋硕
|重庆两江新区西南大学附属中学校
|-
|蒋瑾铄
|福建省厦门双十中学
|林金增
|佛教黄凤翎中学
|-
|孔翔宇
|合肥市五十中学新校
|黄子轩
|乐善堂梁植伟纪念中学
|-
|蒙白洋
|荔波县第一中学
|钟松育
|三亚市实验中学
|}
===特殊奖===
{| class="wikitable"
|最佳成绩奖（低年组）
|袁思远
|武汉外国语学校
|-
|最佳成绩奖（高年组）
|刘师存
|苏州市田家炳实验高级中学
|-
|最佳观测奖
|袁思远
|武汉外国语学校
|-
|最佳书写奖
|杨煜钦
|昆明市第三中学
|}

==相关链接==
[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369b6d12b5019b6d35ac92001e.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛1号通知（预赛考点征集）]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369cab05ed019cad4e3223003b.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛2号通知（预赛报名通知）]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369cab05ed019cad6373720040.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛常见问题解答]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369d029210019d04bf4ee40011.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛预赛天津考点地点变更通知]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369d4aab13019d4c1b6cc20007.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛3号通知（预赛成绩查询）]

[https://www.bjp.org.cn/qgzxstwzsjs/asdt/4028c1369d92c41c019d94d8796f0004.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛决赛香港特别行政区和澳门特别行政区代表队学生名单]

[https://www.bjp.org.cn/qgzxstwzsjs/asdt/4028c1369e3cb5f6019e3eded9bb000f.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛圆满结束]

[https://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369e6b0f2d019e6d2a707e0002.shtml 2026年国际天文奥林匹克竞赛国家集训队名单]

[http://www.bjp.org.cn/xwzx/gndt/4028c1369f00679a019f02e86fef0015.shtml 2025-2026学年全国中学生天文知识竞赛优秀指导教师名单公布]

[[分类:按赛事索引]]
[[分类:内容需要完善]]

快速参考手册:LaTeX语法

2026-07-14T09:49:03Z

RT.x：标签打错了。。。

{{文章|RT.x|快速参考手册}}
{{需要编辑}}
==序==
'''重要：请确保你已经阅读了[[编辑指南]]'''

本篇中出现的所有LaTeX语法仅在astro-init网站环境下测试，部分语法可能有所改变，如果需要在网站之外的环境使用，请自行查询相关语法。

[[文件:LaTeX_icon.png|缩略图|替代=|右]]

在astro-init中，LaTeX语法主要用于公式的编写，学会使用LaTeX语法对你得编辑很有帮助。而目前网站的[[编辑指南]]中对LaTeX语法只是一笔带过，对于不会或忘记LaTeX语法的人十分不友好。

“源代码编辑”中的“显示预览”能帮助你查看公式是否正确显示，而“可视化编辑”则不能预览公式。

'''使用目录来快速跳转'''

==基本==
=== 进入环境 ===
只有进入环境后，才可以让公式正常显示。

'''注意：示例中的省略号<code>...</code>应在实际使用中被替换为LaTeX语法对应的公式。'''
==== 行内公式 ====
行内公式将会与其他文字一起显示，可能会为了适应行高而压缩公式，不大美观。

行内公式使用双美元号包裹，如：
<nowiki>$$m - M = 5 \lg d - 5$$</nowiki>

将显示为：$$m - M = 5 \lg d - 5$$
==== 独立公式 ====
独立公式会单独成行并居中，这在显示一些比较复杂的公式时能避免公式被压缩（不会适应行高）

独立公式应以如下形式输入：
<nowiki>\[ ... \]</nowiki>
像这样包裹公式，这将会使公式单独成行并居中，如：
<nowiki>\[m - M = 5 \lg d - 5\]</nowiki>

将显示为：\[m - M = 5 \lg d - 5\]

独立公式还有另一种形式：
<nowiki>\begin{equation} ... \end{equation}</nowiki>

\begin{equation} m - M = 5 \lg d - 5 \end{equation}

这样子公式后将会自动加上编号，在重复运用某一公式时非常方便。

比如，你可以直接说：公式（1）是距离模数公式。

=== 一些规则 ===
如果一项中有多个独立的字符，应用花括号<code>{}</code>包裹。

如$$a_{1,2}$$应被写作
<code>a_{1,2}</code>
，如果不使用花括号，将会出现：$$a_1,2$$

=== 运算符 ===
==== 四则运算 ====
'''加法'''：加号应在公式中被写作：<code>+</code>

直接按键盘上对应的按键即可。
将显示为：$$+$$

'''减法'''：减号应在公式中被写作：<code>-</code>

直接按键盘上对应的按键即可。
将显示为$$-$$

'''乘法'''：乘号应在公式中被写作：<code>\times</code>

将显示为$$\times$$

点乘应在公式中被写作：<code>\cdot</code>

将显示为$$\cdot$$

'''除法'''：应使用分式的形式（“不专业”的除号<code>÷</code>似乎在网站中不能通过\div调用）
\frac{分子}{分母}

将显示为$$\frac{分子}{分母}$$

==== 正负 ====

'''正号'''：一般不用强调“正”，如果真的需要，用加号，在公式中被写作<code>+</code>

'''负号'''：使用减号，在公式中被写作<code>-</code>

'''正负号'''：在公式中被写作<code>\pm</code>

显示为$$\pm$$

'''负正号'''：在公式中被写作<code>\mp</code>

显示为$$\mp$$

正负号和负正号容易记错怎么办？可以通过Plus（加）和Minus（减）来记忆（正负号和负正号代表的是加减运算）

==== 关系运算 ====
作者注：这一部分的表格采用了AI生成。手打太累了xD。[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 17:47 (CST)
===== 比较运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 比较运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$=$$ || = || 等于
|-
| $$\ne$$ || \neq 或 \ne || 不等于
|-
| $$\approx$$ || \approx || 近似等于
|-
| $$\equiv$$ || \equiv || 恒等于
|-
| $$\cong$$ || \cong || 同构/全等
|-
| $$\sim$$ || \sim || 相似于
|-
| $$\propto$$ || \propto || 正比于
|-
| $$<$$ || < || 小于
|-
| $$>$$ || > || 大于
|-
| $$\leq$$ || \leq || 小于等于
|-
| $$\geq$$ || \geq || 大于等于
|-
| $$\ll$$ || \ll || 远小于
|-
| $$\gg$$ || \gg || 远大于
|}
===== 集合运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 集合运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\in$$ || \in || 属于
|-
| $$\notin$$ || \notin || 不属于
|-
| $$\subset$$ || \subset || 子集
|-
| $$\supset$$ || \supset || 超集
|-
| $$\subseteq$$ || \subseteq || 子集或等于
|-
| $$\supseteq$$ || \supseteq || 超集或等于
|-
| $$\subsetneq$$ || \subsetneq || 真子集
|-
| $$\supsetneq$$ || \supsetneq || 真超集
|-
| $$\cup$$ || \cup || 并集
|-
| $$\cap$$ || \cap || 交集
|-
| $$\emptyset$$ || \emptyset 或 \varnothing || 空集
|}
===== 逻辑运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 逻辑运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\land$$ || \land 或 \wedge || 逻辑与
|-
| $$\lor$$ || \lor 或 \vee || 逻辑或
|-
| $$\neg$$ || \neg 或 \lnot || 逻辑非
|-
| $$\Rightarrow$$ || \Rightarrow || 蕴含
|-
| $$\Leftrightarrow$$ || \Leftrightarrow || 等价
|-
| $$\forall$$ || \forall || 全称量词
|-
| $$\exists$$ || \exists || 存在量词
|-
| $$\nexists$$ || \nexists || 不存在
|}
===== 微积分/高等运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 微积分/高等运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\sum$$ || \sum || 求和
|-
| $$\prod$$ || \prod || 连乘
|-
| $$\int$$ || \int || 积分
|-
| $$\iint$$ || \iint || 二重积分
|-
| $$\partial$$ || \partial || 偏微分
|-
| $$\nabla$$ || \nabla || 梯度/散度/旋度
|-
| $$\lim$$ || \lim || 极限
|-
| $$\infty$$ || \infty || 无穷
|}

一些补充：

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!极限与积分的界（上下限）
|-
! 用途 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 极限（默认） || \lim_{x \to \infty} || $$ \lim_{x \to \infty} $$
|-
| 极限（强制下方） || \lim\limits_{x \to \infty} || $$ \lim\limits_{x \to \infty} $$
|-
| 极限（带条件） || \lim_{n \to \infty, \, n > 0} || $$ \lim_{n \to \infty, \, n > 0} $$
|-
| 积分上下限 || \int_{a}^{b} || $$ \int_{a}^{b} $$
|-
| 积分（强制上下方） || \int\limits_{a}^{b} || $$ \int\limits_{a}^{b} $$
|-
| 二重积分 || \iint_{D} || $$ \iint_{D} $$
|-
| 带微分的完整写法 || \int_{0}^{1} x^2 \, dx || $$ \int_{0}^{1} x^2 \, dx $$
|-
| 无穷限积分 || \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx || $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx $$
|-
| 二重积分完整写法 || \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy || $$ \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy $$
|-
| 多重上下限嵌套 || \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dx \, dy || $$ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dx \, dy $$
|}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! \limits 与 \nolimits 对比
|-
! 命令 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 默认（行内） || \int_{a}^{b} || $$ \int_{a}^{b} $$
|-
| \limits（上下方） || \int\limits_{a}^{b} || $$ \int\limits_{a}^{b} $$
|-
| \nolimits（右下右上） || \int\nolimits_{a}^{b} || $$ \int\nolimits_{a}^{b} $$
|-
| 默认（极限，行内） || \lim_{x \to 0} || $$ \lim_{x \to 0} $$
|-
| \limits（极限下方） || \lim\limits_{x \to 0} || $$ \lim\limits_{x \to 0} $$
|-
| \nolimits（极限右下） || \lim\nolimits_{x \to 0} || $$ \lim\nolimits_{x \to 0} $$
|}

=== 希腊字母 ===
作者注：这里的表格采用了AI生成。[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 17:47 (CST)
{| class="wikitable"
|+ 希腊字母
|-
! 名称 !! 代码 !! 显示效果
|-
| Alpha（小写） || \alpha || $$\alpha$$
|-
| Beta（小写） || \beta || $$\beta$$
|-
| Gamma（大写） || \Gamma || $$\Gamma$$
|-
| Gamma（小写） || \gamma || $$\gamma$$
|-
| Delta（大写） || \Delta || $$\Delta$$
|-
| Delta（小写） || \delta || $$\delta$$
|-
| Epsilon（小写） || \epsilon || $$\epsilon$$
|-
| Epsilon（变体） || \varepsilon || $$\varepsilon$$
|-
| Zeta（小写） || \zeta || $$\zeta$$
|-
| Eta（小写） || \eta || $$\eta$$
|-
| Theta（大写） || \Theta || $$\Theta$$
|-
| Theta（小写） || \theta || $$\theta$$
|-
| Theta（变体） || \vartheta || $$\vartheta$$
|-
| Iota（小写） || \iota || $$\iota$$
|-
| Kappa（小写） || \kappa || $$\kappa$$
|-
| Lambda（大写） || \Lambda || $$\Lambda$$
|-
| Lambda（小写） || \lambda || $$\lambda$$
|-
| Mu（小写） || \mu || $$\mu$$
|-
| Nu（小写） || \nu || $$\nu$$
|-
| Xi（大写） || \Xi || $$\Xi$$
|-
| Xi（小写） || \xi || $$\xi$$
|-
| Omicron（小写） || o（直接用拉丁 o） || $$o$$
|-
| Pi（大写） || \Pi || $$\Pi$$
|-
| Pi（小写） || \pi || $$\pi$$
|-
| Pi（变体） || \varpi || $$\varpi$$
|-
| Rho（小写） || \rho || $$\rho$$
|-
| Rho（变体） || \varrho || $$\varrho$$
|-
| Sigma（大写） || \Sigma || $$\Sigma$$
|-
| Sigma（小写） || \sigma || $$\sigma$$
|-
| Sigma（词尾） || \varsigma || $$\varsigma$$
|-
| Tau（小写） || \tau || $$\tau$$
|-
| Upsilon（大写） || \Upsilon || $$\Upsilon$$
|-
| Upsilon（小写） || \upsilon || $$\upsilon$$
|-
| Phi（大写） || \Phi || $$\Phi$$
|-
| Phi（小写） || \phi || $$\phi$$
|-
| Phi（变体） || \varphi || $$\varphi$$
|-
| Chi（小写） || \chi || $$\chi$$
|-
| Psi（大写） || \Psi || $$\Psi$$
|-
| Psi（小写） || \psi || $$\psi$$
|-
| Omega（大写） || \Omega || $$\Omega$$
|-
| Omega（小写） || \omega || $$\omega$$
|}

=== 箭头符号 ===
{| class="wikitable"
|+ 箭头符号
|-
! 名称 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 左箭头 || \leftarrow || $$\leftarrow$$
|-
| 右箭头 || \rightarrow || $$\rightarrow$$
|-
| 左右箭头 || \leftrightarrow || $$\leftrightarrow$$
|-
| 左长箭头 || \longleftarrow || $$\longleftarrow$$
|-
| 右长箭头 || \longrightarrow || $$\longrightarrow$$
|-
| 左右长箭头 || \longleftrightarrow || $$\longleftrightarrow$$
|-
| 双线左箭头 || \Leftarrow || $$\Leftarrow$$
|-
| 双线右箭头 || \Rightarrow || $$\Rightarrow$$
|-
| 双线左右箭头 || \Leftrightarrow || $$\Leftrightarrow$$
|-
| 双线左长箭头 || \Longleftarrow || $$\Longleftarrow$$
|-
| 双线右长箭头 || \Longrightarrow || $$\Longrightarrow$$
|-
| 双线左右长箭头 || \Longleftrightarrow || $$\Longleftrightarrow$$
|-
| 上箭头 || \uparrow || $$\uparrow$$
|-
| 下箭头 || \downarrow || $$\downarrow$$
|-
| 上下箭头 || \updownarrow || $$\updownarrow$$
|-
| 双线上箭头 || \Uparrow || $$\Uparrow$$
|-
| 双线下箭头 || \Downarrow || $$\Downarrow$$
|-
| 双线上下箭头 || \Updownarrow || $$\Updownarrow$$
|-
| 左上箭头（西北） || \nwarrow || $$\nwarrow$$
|-
| 右上箭头（东北） || \nearrow || $$\nearrow$$
|-
| 左下箭头（西南） || \swarrow || $$\swarrow$$
|-
| 右下箭头（东南） || \searrow || $$\searrow$$
|-
| 推出（蕴含） || \implies || $$\implies$$
|-
| 被推出 || \impliedby || $$\impliedby$$
|-
| 等价 || \iff || $$\iff$$
|-
| 映射到 || \mapsto || $$\mapsto$$
|-
| 长映射到 || \longmapsto || $$\longmapsto$$
|-
| 钩子右箭头（嵌入） || \hookrightarrow || $$\hookrightarrow$$
|-
| 钩子左箭头 || \hookleftarrow || $$\hookleftarrow$$
|-
| 右箭头带尖（函数） || \rightarrowtail || $$\rightarrowtail$$
|-
| 左箭头带尖 || \leftarrowtail || $$\leftarrowtail$$
|-
| 两箭头并行 || \rightrightarrows || $$\rightrightarrows$$
|-
| 两箭头并行（左） || \leftleftarrows || $$\leftleftarrows$$
|-
| 上下钩子右箭头 || \twoheadrightarrow || $$\twoheadrightarrow$$
|-
| 上下钩子左箭头 || \twoheadleftarrow || $$\twoheadleftarrow$$
|-
| 左箭头叠加（不可约） || \nleftarrow || $$\nleftarrow$$
|-
| 右箭头叠加（不可达） || \nrightarrow || $$\nrightarrow$$
|-
| 双线左箭头叠加 || \nLeftarrow || $$\nLeftarrow$$
|-
| 双线右箭头叠加 || \nRightarrow || $$\nRightarrow$$
|-
| 双线左右箭头叠加 || \nLeftrightarrow || $$\nLeftrightarrow$$
|}

快速参考手册:LaTeX语法

2026-07-14T09:48:45Z

RT.x：把“箭头符号”标题改高一级，添加“需要编辑”标签

{{文章|RT.x|快速参考手册}}
{需要编辑}
==序==
'''重要：请确保你已经阅读了[[编辑指南]]'''

本篇中出现的所有LaTeX语法仅在astro-init网站环境下测试，部分语法可能有所改变，如果需要在网站之外的环境使用，请自行查询相关语法。

[[文件:LaTeX_icon.png|缩略图|替代=|右]]

在astro-init中，LaTeX语法主要用于公式的编写，学会使用LaTeX语法对你得编辑很有帮助。而目前网站的[[编辑指南]]中对LaTeX语法只是一笔带过，对于不会或忘记LaTeX语法的人十分不友好。

“源代码编辑”中的“显示预览”能帮助你查看公式是否正确显示，而“可视化编辑”则不能预览公式。

'''使用目录来快速跳转'''

==基本==
=== 进入环境 ===
只有进入环境后，才可以让公式正常显示。

'''注意：示例中的省略号<code>...</code>应在实际使用中被替换为LaTeX语法对应的公式。'''
==== 行内公式 ====
行内公式将会与其他文字一起显示，可能会为了适应行高而压缩公式，不大美观。

行内公式使用双美元号包裹，如：
<nowiki>$$m - M = 5 \lg d - 5$$</nowiki>

将显示为：$$m - M = 5 \lg d - 5$$
==== 独立公式 ====
独立公式会单独成行并居中，这在显示一些比较复杂的公式时能避免公式被压缩（不会适应行高）

独立公式应以如下形式输入：
<nowiki>\[ ... \]</nowiki>
像这样包裹公式，这将会使公式单独成行并居中，如：
<nowiki>\[m - M = 5 \lg d - 5\]</nowiki>

将显示为：\[m - M = 5 \lg d - 5\]

独立公式还有另一种形式：
<nowiki>\begin{equation} ... \end{equation}</nowiki>

\begin{equation} m - M = 5 \lg d - 5 \end{equation}

这样子公式后将会自动加上编号，在重复运用某一公式时非常方便。

比如，你可以直接说：公式（1）是距离模数公式。

=== 一些规则 ===
如果一项中有多个独立的字符，应用花括号<code>{}</code>包裹。

如$$a_{1,2}$$应被写作
<code>a_{1,2}</code>
，如果不使用花括号，将会出现：$$a_1,2$$

=== 运算符 ===
==== 四则运算 ====
'''加法'''：加号应在公式中被写作：<code>+</code>

直接按键盘上对应的按键即可。
将显示为：$$+$$

'''减法'''：减号应在公式中被写作：<code>-</code>

直接按键盘上对应的按键即可。
将显示为$$-$$

'''乘法'''：乘号应在公式中被写作：<code>\times</code>

将显示为$$\times$$

点乘应在公式中被写作：<code>\cdot</code>

将显示为$$\cdot$$

'''除法'''：应使用分式的形式（“不专业”的除号<code>÷</code>似乎在网站中不能通过\div调用）
\frac{分子}{分母}

将显示为$$\frac{分子}{分母}$$

==== 正负 ====

'''正号'''：一般不用强调“正”，如果真的需要，用加号，在公式中被写作<code>+</code>

'''负号'''：使用减号，在公式中被写作<code>-</code>

'''正负号'''：在公式中被写作<code>\pm</code>

显示为$$\pm$$

'''负正号'''：在公式中被写作<code>\mp</code>

显示为$$\mp$$

正负号和负正号容易记错怎么办？可以通过Plus（加）和Minus（减）来记忆（正负号和负正号代表的是加减运算）

==== 关系运算 ====
作者注：这一部分的表格采用了AI生成。手打太累了xD。[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 17:47 (CST)
===== 比较运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 比较运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$=$$ || = || 等于
|-
| $$\ne$$ || \neq 或 \ne || 不等于
|-
| $$\approx$$ || \approx || 近似等于
|-
| $$\equiv$$ || \equiv || 恒等于
|-
| $$\cong$$ || \cong || 同构/全等
|-
| $$\sim$$ || \sim || 相似于
|-
| $$\propto$$ || \propto || 正比于
|-
| $$<$$ || < || 小于
|-
| $$>$$ || > || 大于
|-
| $$\leq$$ || \leq || 小于等于
|-
| $$\geq$$ || \geq || 大于等于
|-
| $$\ll$$ || \ll || 远小于
|-
| $$\gg$$ || \gg || 远大于
|}
===== 集合运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 集合运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\in$$ || \in || 属于
|-
| $$\notin$$ || \notin || 不属于
|-
| $$\subset$$ || \subset || 子集
|-
| $$\supset$$ || \supset || 超集
|-
| $$\subseteq$$ || \subseteq || 子集或等于
|-
| $$\supseteq$$ || \supseteq || 超集或等于
|-
| $$\subsetneq$$ || \subsetneq || 真子集
|-
| $$\supsetneq$$ || \supsetneq || 真超集
|-
| $$\cup$$ || \cup || 并集
|-
| $$\cap$$ || \cap || 交集
|-
| $$\emptyset$$ || \emptyset 或 \varnothing || 空集
|}
===== 逻辑运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 逻辑运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\land$$ || \land 或 \wedge || 逻辑与
|-
| $$\lor$$ || \lor 或 \vee || 逻辑或
|-
| $$\neg$$ || \neg 或 \lnot || 逻辑非
|-
| $$\Rightarrow$$ || \Rightarrow || 蕴含
|-
| $$\Leftrightarrow$$ || \Leftrightarrow || 等价
|-
| $$\forall$$ || \forall || 全称量词
|-
| $$\exists$$ || \exists || 存在量词
|-
| $$\nexists$$ || \nexists || 不存在
|}
===== 微积分/高等运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 微积分/高等运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\sum$$ || \sum || 求和
|-
| $$\prod$$ || \prod || 连乘
|-
| $$\int$$ || \int || 积分
|-
| $$\iint$$ || \iint || 二重积分
|-
| $$\partial$$ || \partial || 偏微分
|-
| $$\nabla$$ || \nabla || 梯度/散度/旋度
|-
| $$\lim$$ || \lim || 极限
|-
| $$\infty$$ || \infty || 无穷
|}

一些补充：

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!极限与积分的界（上下限）
|-
! 用途 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 极限（默认） || \lim_{x \to \infty} || $$ \lim_{x \to \infty} $$
|-
| 极限（强制下方） || \lim\limits_{x \to \infty} || $$ \lim\limits_{x \to \infty} $$
|-
| 极限（带条件） || \lim_{n \to \infty, \, n > 0} || $$ \lim_{n \to \infty, \, n > 0} $$
|-
| 积分上下限 || \int_{a}^{b} || $$ \int_{a}^{b} $$
|-
| 积分（强制上下方） || \int\limits_{a}^{b} || $$ \int\limits_{a}^{b} $$
|-
| 二重积分 || \iint_{D} || $$ \iint_{D} $$
|-
| 带微分的完整写法 || \int_{0}^{1} x^2 \, dx || $$ \int_{0}^{1} x^2 \, dx $$
|-
| 无穷限积分 || \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx || $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx $$
|-
| 二重积分完整写法 || \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy || $$ \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy $$
|-
| 多重上下限嵌套 || \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dx \, dy || $$ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dx \, dy $$
|}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! \limits 与 \nolimits 对比
|-
! 命令 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 默认（行内） || \int_{a}^{b} || $$ \int_{a}^{b} $$
|-
| \limits（上下方） || \int\limits_{a}^{b} || $$ \int\limits_{a}^{b} $$
|-
| \nolimits（右下右上） || \int\nolimits_{a}^{b} || $$ \int\nolimits_{a}^{b} $$
|-
| 默认（极限，行内） || \lim_{x \to 0} || $$ \lim_{x \to 0} $$
|-
| \limits（极限下方） || \lim\limits_{x \to 0} || $$ \lim\limits_{x \to 0} $$
|-
| \nolimits（极限右下） || \lim\nolimits_{x \to 0} || $$ \lim\nolimits_{x \to 0} $$
|}

=== 希腊字母 ===
作者注：这里的表格采用了AI生成。[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 17:47 (CST)
{| class="wikitable"
|+ 希腊字母
|-
! 名称 !! 代码 !! 显示效果
|-
| Alpha（小写） || \alpha || $$\alpha$$
|-
| Beta（小写） || \beta || $$\beta$$
|-
| Gamma（大写） || \Gamma || $$\Gamma$$
|-
| Gamma（小写） || \gamma || $$\gamma$$
|-
| Delta（大写） || \Delta || $$\Delta$$
|-
| Delta（小写） || \delta || $$\delta$$
|-
| Epsilon（小写） || \epsilon || $$\epsilon$$
|-
| Epsilon（变体） || \varepsilon || $$\varepsilon$$
|-
| Zeta（小写） || \zeta || $$\zeta$$
|-
| Eta（小写） || \eta || $$\eta$$
|-
| Theta（大写） || \Theta || $$\Theta$$
|-
| Theta（小写） || \theta || $$\theta$$
|-
| Theta（变体） || \vartheta || $$\vartheta$$
|-
| Iota（小写） || \iota || $$\iota$$
|-
| Kappa（小写） || \kappa || $$\kappa$$
|-
| Lambda（大写） || \Lambda || $$\Lambda$$
|-
| Lambda（小写） || \lambda || $$\lambda$$
|-
| Mu（小写） || \mu || $$\mu$$
|-
| Nu（小写） || \nu || $$\nu$$
|-
| Xi（大写） || \Xi || $$\Xi$$
|-
| Xi（小写） || \xi || $$\xi$$
|-
| Omicron（小写） || o（直接用拉丁 o） || $$o$$
|-
| Pi（大写） || \Pi || $$\Pi$$
|-
| Pi（小写） || \pi || $$\pi$$
|-
| Pi（变体） || \varpi || $$\varpi$$
|-
| Rho（小写） || \rho || $$\rho$$
|-
| Rho（变体） || \varrho || $$\varrho$$
|-
| Sigma（大写） || \Sigma || $$\Sigma$$
|-
| Sigma（小写） || \sigma || $$\sigma$$
|-
| Sigma（词尾） || \varsigma || $$\varsigma$$
|-
| Tau（小写） || \tau || $$\tau$$
|-
| Upsilon（大写） || \Upsilon || $$\Upsilon$$
|-
| Upsilon（小写） || \upsilon || $$\upsilon$$
|-
| Phi（大写） || \Phi || $$\Phi$$
|-
| Phi（小写） || \phi || $$\phi$$
|-
| Phi（变体） || \varphi || $$\varphi$$
|-
| Chi（小写） || \chi || $$\chi$$
|-
| Psi（大写） || \Psi || $$\Psi$$
|-
| Psi（小写） || \psi || $$\psi$$
|-
| Omega（大写） || \Omega || $$\Omega$$
|-
| Omega（小写） || \omega || $$\omega$$
|}

=== 箭头符号 ===
{| class="wikitable"
|+ 箭头符号
|-
! 名称 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 左箭头 || \leftarrow || $$\leftarrow$$
|-
| 右箭头 || \rightarrow || $$\rightarrow$$
|-
| 左右箭头 || \leftrightarrow || $$\leftrightarrow$$
|-
| 左长箭头 || \longleftarrow || $$\longleftarrow$$
|-
| 右长箭头 || \longrightarrow || $$\longrightarrow$$
|-
| 左右长箭头 || \longleftrightarrow || $$\longleftrightarrow$$
|-
| 双线左箭头 || \Leftarrow || $$\Leftarrow$$
|-
| 双线右箭头 || \Rightarrow || $$\Rightarrow$$
|-
| 双线左右箭头 || \Leftrightarrow || $$\Leftrightarrow$$
|-
| 双线左长箭头 || \Longleftarrow || $$\Longleftarrow$$
|-
| 双线右长箭头 || \Longrightarrow || $$\Longrightarrow$$
|-
| 双线左右长箭头 || \Longleftrightarrow || $$\Longleftrightarrow$$
|-
| 上箭头 || \uparrow || $$\uparrow$$
|-
| 下箭头 || \downarrow || $$\downarrow$$
|-
| 上下箭头 || \updownarrow || $$\updownarrow$$
|-
| 双线上箭头 || \Uparrow || $$\Uparrow$$
|-
| 双线下箭头 || \Downarrow || $$\Downarrow$$
|-
| 双线上下箭头 || \Updownarrow || $$\Updownarrow$$
|-
| 左上箭头（西北） || \nwarrow || $$\nwarrow$$
|-
| 右上箭头（东北） || \nearrow || $$\nearrow$$
|-
| 左下箭头（西南） || \swarrow || $$\swarrow$$
|-
| 右下箭头（东南） || \searrow || $$\searrow$$
|-
| 推出（蕴含） || \implies || $$\implies$$
|-
| 被推出 || \impliedby || $$\impliedby$$
|-
| 等价 || \iff || $$\iff$$
|-
| 映射到 || \mapsto || $$\mapsto$$
|-
| 长映射到 || \longmapsto || $$\longmapsto$$
|-
| 钩子右箭头（嵌入） || \hookrightarrow || $$\hookrightarrow$$
|-
| 钩子左箭头 || \hookleftarrow || $$\hookleftarrow$$
|-
| 右箭头带尖（函数） || \rightarrowtail || $$\rightarrowtail$$
|-
| 左箭头带尖 || \leftarrowtail || $$\leftarrowtail$$
|-
| 两箭头并行 || \rightrightarrows || $$\rightrightarrows$$
|-
| 两箭头并行（左） || \leftleftarrows || $$\leftleftarrows$$
|-
| 上下钩子右箭头 || \twoheadrightarrow || $$\twoheadrightarrow$$
|-
| 上下钩子左箭头 || \twoheadleftarrow || $$\twoheadleftarrow$$
|-
| 左箭头叠加（不可约） || \nleftarrow || $$\nleftarrow$$
|-
| 右箭头叠加（不可达） || \nrightarrow || $$\nrightarrow$$
|-
| 双线左箭头叠加 || \nLeftarrow || $$\nLeftarrow$$
|-
| 双线右箭头叠加 || \nRightarrow || $$\nRightarrow$$
|-
| 双线左右箭头叠加 || \nLeftrightarrow || $$\nLeftrightarrow$$
|}

快速参考手册:LaTeX语法

2026-07-14T09:47:36Z

RT.x：新建页面，编写QRH

{{文章|RT.x|快速参考手册}}
==序==
'''重要：请确保你已经阅读了[[编辑指南]]'''

本篇中出现的所有LaTeX语法仅在astro-init网站环境下测试，部分语法可能有所改变，如果需要在网站之外的环境使用，请自行查询相关语法。

[[文件:LaTeX_icon.png|缩略图|替代=|右]]

在astro-init中，LaTeX语法主要用于公式的编写，学会使用LaTeX语法对你得编辑很有帮助。而目前网站的[[编辑指南]]中对LaTeX语法只是一笔带过，对于不会或忘记LaTeX语法的人十分不友好。

“源代码编辑”中的“显示预览”能帮助你查看公式是否正确显示，而“可视化编辑”则不能预览公式。

'''使用目录来快速跳转'''

==基本==
=== 进入环境 ===
只有进入环境后，才可以让公式正常显示。

'''注意：示例中的省略号<code>...</code>应在实际使用中被替换为LaTeX语法对应的公式。'''
==== 行内公式 ====
行内公式将会与其他文字一起显示，可能会为了适应行高而压缩公式，不大美观。

行内公式使用双美元号包裹，如：
<nowiki>$$m - M = 5 \lg d - 5$$</nowiki>

将显示为：$$m - M = 5 \lg d - 5$$
==== 独立公式 ====
独立公式会单独成行并居中，这在显示一些比较复杂的公式时能避免公式被压缩（不会适应行高）

独立公式应以如下形式输入：
<nowiki>\[ ... \]</nowiki>
像这样包裹公式，这将会使公式单独成行并居中，如：
<nowiki>\[m - M = 5 \lg d - 5\]</nowiki>

将显示为：\[m - M = 5 \lg d - 5\]

独立公式还有另一种形式：
<nowiki>\begin{equation} ... \end{equation}</nowiki>

\begin{equation} m - M = 5 \lg d - 5 \end{equation}

这样子公式后将会自动加上编号，在重复运用某一公式时非常方便。

比如，你可以直接说：公式（1）是距离模数公式。

=== 一些规则 ===
如果一项中有多个独立的字符，应用花括号<code>{}</code>包裹。

如$$a_{1,2}$$应被写作
<code>a_{1,2}</code>
，如果不使用花括号，将会出现：$$a_1,2$$

=== 运算符 ===
==== 四则运算 ====
'''加法'''：加号应在公式中被写作：<code>+</code>

直接按键盘上对应的按键即可。
将显示为：$$+$$

'''减法'''：减号应在公式中被写作：<code>-</code>

直接按键盘上对应的按键即可。
将显示为$$-$$

'''乘法'''：乘号应在公式中被写作：<code>\times</code>

将显示为$$\times$$

点乘应在公式中被写作：<code>\cdot</code>

将显示为$$\cdot$$

'''除法'''：应使用分式的形式（“不专业”的除号<code>÷</code>似乎在网站中不能通过\div调用）
\frac{分子}{分母}

将显示为$$\frac{分子}{分母}$$

==== 正负 ====

'''正号'''：一般不用强调“正”，如果真的需要，用加号，在公式中被写作<code>+</code>

'''负号'''：使用减号，在公式中被写作<code>-</code>

'''正负号'''：在公式中被写作<code>\pm</code>

显示为$$\pm$$

'''负正号'''：在公式中被写作<code>\mp</code>

显示为$$\mp$$

正负号和负正号容易记错怎么办？可以通过Plus（加）和Minus（减）来记忆（正负号和负正号代表的是加减运算）

==== 关系运算 ====
作者注：这一部分的表格采用了AI生成。手打太累了xD。[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 17:47 (CST)
===== 比较运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 比较运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$=$$ || = || 等于
|-
| $$\ne$$ || \neq 或 \ne || 不等于
|-
| $$\approx$$ || \approx || 近似等于
|-
| $$\equiv$$ || \equiv || 恒等于
|-
| $$\cong$$ || \cong || 同构/全等
|-
| $$\sim$$ || \sim || 相似于
|-
| $$\propto$$ || \propto || 正比于
|-
| $$<$$ || < || 小于
|-
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|-
| $$\leq$$ || \leq || 小于等于
|-
| $$\geq$$ || \geq || 大于等于
|-
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|-
| $$\gg$$ || \gg || 远大于
|}
===== 集合运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 集合运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\in$$ || \in || 属于
|-
| $$\notin$$ || \notin || 不属于
|-
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|-
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|-
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|-
| $$\supsetneq$$ || \supsetneq || 真超集
|-
| $$\cup$$ || \cup || 并集
|-
| $$\cap$$ || \cap || 交集
|-
| $$\emptyset$$ || \emptyset 或 \varnothing || 空集
|}
===== 逻辑运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 逻辑运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\land$$ || \land 或 \wedge || 逻辑与
|-
| $$\lor$$ || \lor 或 \vee || 逻辑或
|-
| $$\neg$$ || \neg 或 \lnot || 逻辑非
|-
| $$\Rightarrow$$ || \Rightarrow || 蕴含
|-
| $$\Leftrightarrow$$ || \Leftrightarrow || 等价
|-
| $$\forall$$ || \forall || 全称量词
|-
| $$\exists$$ || \exists || 存在量词
|-
| $$\nexists$$ || \nexists || 不存在
|}
===== 微积分/高等运算符 =====
{| class="wikitable"
|+ 微积分/高等运算符
|-
! 符号 !! 代码 !! 说明
|-
| $$\sum$$ || \sum || 求和
|-
| $$\prod$$ || \prod || 连乘
|-
| $$\int$$ || \int || 积分
|-
| $$\iint$$ || \iint || 二重积分
|-
| $$\partial$$ || \partial || 偏微分
|-
| $$\nabla$$ || \nabla || 梯度/散度/旋度
|-
| $$\lim$$ || \lim || 极限
|-
| $$\infty$$ || \infty || 无穷
|}

一些补充：

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!极限与积分的界（上下限）
|-
! 用途 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 极限（默认） || \lim_{x \to \infty} || $$ \lim_{x \to \infty} $$
|-
| 极限（强制下方） || \lim\limits_{x \to \infty} || $$ \lim\limits_{x \to \infty} $$
|-
| 极限（带条件） || \lim_{n \to \infty, \, n > 0} || $$ \lim_{n \to \infty, \, n > 0} $$
|-
| 积分上下限 || \int_{a}^{b} || $$ \int_{a}^{b} $$
|-
| 积分（强制上下方） || \int\limits_{a}^{b} || $$ \int\limits_{a}^{b} $$
|-
| 二重积分 || \iint_{D} || $$ \iint_{D} $$
|-
| 带微分的完整写法 || \int_{0}^{1} x^2 \, dx || $$ \int_{0}^{1} x^2 \, dx $$
|-
| 无穷限积分 || \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx || $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx $$
|-
| 二重积分完整写法 || \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy || $$ \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy $$
|-
| 多重上下限嵌套 || \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dx \, dy || $$ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \, dx \, dy $$
|}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
! \limits 与 \nolimits 对比
|-
! 命令 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 默认（行内） || \int_{a}^{b} || $$ \int_{a}^{b} $$
|-
| \limits（上下方） || \int\limits_{a}^{b} || $$ \int\limits_{a}^{b} $$
|-
| \nolimits（右下右上） || \int\nolimits_{a}^{b} || $$ \int\nolimits_{a}^{b} $$
|-
| 默认（极限，行内） || \lim_{x \to 0} || $$ \lim_{x \to 0} $$
|-
| \limits（极限下方） || \lim\limits_{x \to 0} || $$ \lim\limits_{x \to 0} $$
|-
| \nolimits（极限右下） || \lim\nolimits_{x \to 0} || $$ \lim\nolimits_{x \to 0} $$
|}

=== 希腊字母 ===
作者注：这里的表格采用了AI生成。[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 17:47 (CST)
{| class="wikitable"
|+ 希腊字母
|-
! 名称 !! 代码 !! 显示效果
|-
| Alpha（小写） || \alpha || $$\alpha$$
|-
| Beta（小写） || \beta || $$\beta$$
|-
| Gamma（大写） || \Gamma || $$\Gamma$$
|-
| Gamma（小写） || \gamma || $$\gamma$$
|-
| Delta（大写） || \Delta || $$\Delta$$
|-
| Delta（小写） || \delta || $$\delta$$
|-
| Epsilon（小写） || \epsilon || $$\epsilon$$
|-
| Epsilon（变体） || \varepsilon || $$\varepsilon$$
|-
| Zeta（小写） || \zeta || $$\zeta$$
|-
| Eta（小写） || \eta || $$\eta$$
|-
| Theta（大写） || \Theta || $$\Theta$$
|-
| Theta（小写） || \theta || $$\theta$$
|-
| Theta（变体） || \vartheta || $$\vartheta$$
|-
| Iota（小写） || \iota || $$\iota$$
|-
| Kappa（小写） || \kappa || $$\kappa$$
|-
| Lambda（大写） || \Lambda || $$\Lambda$$
|-
| Lambda（小写） || \lambda || $$\lambda$$
|-
| Mu（小写） || \mu || $$\mu$$
|-
| Nu（小写） || \nu || $$\nu$$
|-
| Xi（大写） || \Xi || $$\Xi$$
|-
| Xi（小写） || \xi || $$\xi$$
|-
| Omicron（小写） || o（直接用拉丁 o） || $$o$$
|-
| Pi（大写） || \Pi || $$\Pi$$
|-
| Pi（小写） || \pi || $$\pi$$
|-
| Pi（变体） || \varpi || $$\varpi$$
|-
| Rho（小写） || \rho || $$\rho$$
|-
| Rho（变体） || \varrho || $$\varrho$$
|-
| Sigma（大写） || \Sigma || $$\Sigma$$
|-
| Sigma（小写） || \sigma || $$\sigma$$
|-
| Sigma（词尾） || \varsigma || $$\varsigma$$
|-
| Tau（小写） || \tau || $$\tau$$
|-
| Upsilon（大写） || \Upsilon || $$\Upsilon$$
|-
| Upsilon（小写） || \upsilon || $$\upsilon$$
|-
| Phi（大写） || \Phi || $$\Phi$$
|-
| Phi（小写） || \phi || $$\phi$$
|-
| Phi（变体） || \varphi || $$\varphi$$
|-
| Chi（小写） || \chi || $$\chi$$
|-
| Psi（大写） || \Psi || $$\Psi$$
|-
| Psi（小写） || \psi || $$\psi$$
|-
| Omega（大写） || \Omega || $$\Omega$$
|-
| Omega（小写） || \omega || $$\omega$$
|}

==== 箭头符号 ====
{| class="wikitable"
|+ 箭头符号
|-
! 名称 !! 代码 !! 显示效果
|-
| 左箭头 || \leftarrow || $$\leftarrow$$
|-
| 右箭头 || \rightarrow || $$\rightarrow$$
|-
| 左右箭头 || \leftrightarrow || $$\leftrightarrow$$
|-
| 左长箭头 || \longleftarrow || $$\longleftarrow$$
|-
| 右长箭头 || \longrightarrow || $$\longrightarrow$$
|-
| 左右长箭头 || \longleftrightarrow || $$\longleftrightarrow$$
|-
| 双线左箭头 || \Leftarrow || $$\Leftarrow$$
|-
| 双线右箭头 || \Rightarrow || $$\Rightarrow$$
|-
| 双线左右箭头 || \Leftrightarrow || $$\Leftrightarrow$$
|-
| 双线左长箭头 || \Longleftarrow || $$\Longleftarrow$$
|-
| 双线右长箭头 || \Longrightarrow || $$\Longrightarrow$$
|-
| 双线左右长箭头 || \Longleftrightarrow || $$\Longleftrightarrow$$
|-
| 上箭头 || \uparrow || $$\uparrow$$
|-
| 下箭头 || \downarrow || $$\downarrow$$
|-
| 上下箭头 || \updownarrow || $$\updownarrow$$
|-
| 双线上箭头 || \Uparrow || $$\Uparrow$$
|-
| 双线下箭头 || \Downarrow || $$\Downarrow$$
|-
| 双线上下箭头 || \Updownarrow || $$\Updownarrow$$
|-
| 左上箭头（西北） || \nwarrow || $$\nwarrow$$
|-
| 右上箭头（东北） || \nearrow || $$\nearrow$$
|-
| 左下箭头（西南） || \swarrow || $$\swarrow$$
|-
| 右下箭头（东南） || \searrow || $$\searrow$$
|-
| 推出（蕴含） || \implies || $$\implies$$
|-
| 被推出 || \impliedby || $$\impliedby$$
|-
| 等价 || \iff || $$\iff$$
|-
| 映射到 || \mapsto || $$\mapsto$$
|-
| 长映射到 || \longmapsto || $$\longmapsto$$
|-
| 钩子右箭头（嵌入） || \hookrightarrow || $$\hookrightarrow$$
|-
| 钩子左箭头 || \hookleftarrow || $$\hookleftarrow$$
|-
| 右箭头带尖（函数） || \rightarrowtail || $$\rightarrowtail$$
|-
| 左箭头带尖 || \leftarrowtail || $$\leftarrowtail$$
|-
| 两箭头并行 || \rightrightarrows || $$\rightrightarrows$$
|-
| 两箭头并行（左） || \leftleftarrows || $$\leftleftarrows$$
|-
| 上下钩子右箭头 || \twoheadrightarrow || $$\twoheadrightarrow$$
|-
| 上下钩子左箭头 || \twoheadleftarrow || $$\twoheadleftarrow$$
|-
| 左箭头叠加（不可约） || \nleftarrow || $$\nleftarrow$$
|-
| 右箭头叠加（不可达） || \nrightarrow || $$\nrightarrow$$
|-
| 双线左箭头叠加 || \nLeftarrow || $$\nLeftarrow$$
|-
| 双线右箭头叠加 || \nRightarrow || $$\nRightarrow$$
|-
| 双线左右箭头叠加 || \nLeftrightarrow || $$\nLeftrightarrow$$
|}

让你的编辑更多彩

2026-07-14T08:03:32Z

RT.x：/* 图片 */ Example成真了

在阅读本页面之前，请确保已经阅读过[[编辑指南]]，尤其是其中关于源代码编辑的部分，源代码编辑是本文一切的基础。
==代码框==
代码框其实很容易搞，主要就是打个空格
===基础的框===
在源代码编辑的情况下，在行首打一个空格便可以实现这个效果。虽然不是对所有的代码都生效。
比如这样……复制本框你会发现里面有一个空格，没错，因为我打了俩
而且你可以通过连续行来实现连续的代码框

但也可以这样断开代码框
===但我有一些特殊的代码===
这个时候就要用到 nowiki了。比如我有一行彩色文字我想要展示代码，在直接进框时会变成这样：
这是一个示例
我希望他显示。
<nowiki>这是一个示例</nowiki>
我要键入的是：
<nowiki><nowiki>这是一个示例</nowiki></nowiki>
如果还有问题，直接看源代码嘛——
==标题与自动目录==
所有的wiki页面都会自动根据设置的标题级数创造目录。比如前一部分的小标题：
[[文件:让你的编辑更多彩_示例1.png|右|缩略图]]
==代码框==
===基础的框===
===但我有一些特殊的代码===
他们会在页首自动生成一个目录，就像右边这样。
==文字的样式==
因为以下都是基于font实现的，所以放一起说了。
===彩色文字===
那么如何实现彩色的文字呢，这里就需要用上font指令了。通过这个指令就可以轻松实现。
<nowiki>这里填文字内容</nowiki>
通常情况下，填写用6位16进制数表示的RGB颜色，就可以做到花里胡哨的颜色：
<nowiki>这是一个示例</nowiki>
这是一个示例
但是同样的，直接输入颜色也是可以的，但只有一部分可以，而一些输入则会带来奇怪的结果。
<nowiki>这是一个示例</nowiki>
这是一个示例
<nowiki>奇怪的结果</nowiki>
奇怪的结果
<nowiki>奇怪的结果</nowiki>
奇怪的结果
===文字的字号===
~都读到这了，先起立走一圈然后喝口水吧~
上面的小字其实是通过以下代码实现的：
<nowiki>~都读到这了，先起立走一圈然后喝口水吧~</nowiki>
用来调整字体大小的代码是:
<nowiki>这里填文字内容</nowiki>
默认的字体大小是4。
===换行===
换行这种事，不难，源代码模式下一行空一行就能解决
这是一行

这是另一行
但是当代码渐长时，一行空一行有时候太难阅读，可以使用下面一行代码实现。顺便一提，这行代码不能正常的装框。
<nowiki>这是一行这是另一行</nowiki>
==表格==
熟悉LaTex的大概都会，但总有人不太熟练，所以还是得写出来的嘛

{| class="wikitable"
!列1
!列2
!列3
!列4
|-
!行1
|内容
|内容
|内容
|-
|行2
|1
|2
|3
|突出一下
|-
! colspan="2" |这个占两列
!这个占1列
!俺也一样
|-
| colspan="2" |我也两列
|1
|2
|}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
|-
! 太长了，需要的请自行展开
|-
| <div style="float:right">
<nowiki>{| class="wikitable"
!列1
!列2
!列3
!列4
|-
!行1
|内容
|内容
|内容
|-
|行2
|1
|2
|3
|突出一下
|-
! colspan="2" |这个占两列
!这个占1列
!俺也一样
|-
| colspan="2" |我也两列
|1
|2
|}</nowiki>
|}
</div>

===隐藏内容===

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
|-
! 点击展开
|-
| 这里是隐藏的内容
|}

<nowiki> {| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
|-
! 点击展开
|-
| 这里是隐藏的内容
|} </nowiki>

==图片==
[[文件:Example.jpeg|缩略图|标题文本]]
典型的插入文件代码是
<nowiki>[[文件:Example.png|缩略图|标题文本]]</nowiki>
但我们依然可以进行其他骚操作。

==文字对齐==
<div style="float:right">我要假装这里真的有张图片</div>
右边这个假装有图的文字是使用下面这段代码实现的：
<nowiki><div style="float:right">我要假装这里真的有张图片</div></nowiki>

==画饼==
字体颜色和6位码对照表
对齐
图片
好吧其实可以用html和css实在不行latex语言实现，不懂得可以查。

文件:Example.jpeg

2026-07-14T08:02:39Z

RT.x：Example成真了

== 文件说明 ==
Example成真了

文件:LaTeX icon.png

2026-07-14T07:57:27Z

RT.x：LaTeX的图标。344 × 164, 12 KB

== 文件说明 ==
LaTeX的图标。344 × 164, 12 KB

分类:RT.x的专栏-快速参考手册

2026-07-14T07:41:36Z

RT.x：创建专栏“快速参考手册”

快速参考手册（Quick Reference Handbook，QRH）旨在提供能让网站用户在遇到问题或困难时快速参考的文档。

虽然说是QRH，但是我会让其变得更易于新手理解。

目前主要涵盖：

LaTeX语法

内容可能存在错误和不完善之处，需要各位共同完善。

2026年CNAO决赛第13题-天下之中

2026-07-14T07:25:31Z

RT.x：添加“需要解答”标签。同时存在两个标签应该没什么问题吧（但愿）

{{需要编辑}}
{{需要解答}}
==题目==
在河南登封“天地之中”历史建筑群（北纬$$34^{\circ} 27^{\prime}$$，东经$$113^{\circ} 03^{\prime}$$）中，有着我国现存最古老的天文台之一。3000多年前的西周初期，周公在这里观测日影，确定“天下之中”，营建都城洛邑；1300多年前的唐代，天文学家南宫悦在其旧址仿旧制建成周公测景台；700多年前的元代，天文学家郭守敬又在这里主持建造观星台，建立了如今我们看到的圭表。圭表由“表”（立杆）和“圭”（刻度石板）组成，用来通过影长测定正午时刻和节气。请参考均时差曲线（即“$$真太阳时 - 平太阳时$$”在一年中随日期变化的曲线），完成以下问题：

（1）假设这个圭表的“表”高为$$9.5$$米，且“表”的影子完全落在位于平地的“圭”上，那么“圭”的长度至少为多少米，才能满足一年的测量需求？答案精确到小数点后一位。

（2）某天，一位学生在登封观星台进行观测。他发现，当他的手表显示北京时间12:00时，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置。这种情况可能发生在____。

A.一年中的任意一天

B.一年中特定的一天

C.一年中特定的两天

D.不可能发生，他的手表一定是显示错误了

（3）计算5月16日这天，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置的时刻。答案用北京时间表示，精确到分钟。

（4）《周礼·大司徒》记载：“日至之景，尺有五寸，谓之地中。”意思是，在一个地方建立高为$$8$$尺的“表”，如果夏至日正午测得的影长为$$1.5$$尺，那么这个地方就是“天下之中”。试判断黄赤交角是在增大还是减小，并估算其变化率。答案用每百年变化的角秒数表示，精确到整数。

“均时差曲线”所对应的图目前缺失，请各位补充。 ——[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 15:20 (CST)

==解答==

[[分类:视运动]]

2015IOAA理论短问题第5题-卫星轨道

2026-07-14T07:23:04Z

RT.x：/* 解答 */ 把自己的备注加框

{{需要编辑}}
==英文题目==
An observer is trying to determine an approximate value of the orbital eccentricity of a man-made satellite. When the satellite was at apogee, it was observed to have moved by $$∆𝜃_{1}$$ = 2′44" in a short time. When the radius vector connecting Earth and the satellite is perpendicular to the major axis (true anomaly is equal to 90o), within the same duration of time, it was observed to have moved by $$∆𝜃_{2}$$ = 21′17". Assume that the observer is located at the center of the Earth. Find an approximate value of the eccentricity of the satellite’s orbit.

 
==中文翻译==
一个观察者正在尝试确定一颗人造卫星轨道的偏心率。当卫星位于远地点时，观察到它在短时间内移动了 $$∆𝜃_{1}$$ = 2′44"。当连接地球和卫星的半径向量与长轴垂直（真近点角为90°）时，在相同时间内，观察到它移动了 $$∆𝜃_{2}$$ = 21′17"。假设观察者位于地球中心。求卫星轨道离心率的近似值。

==解答==

这是我自己的解法，不知道是否正确，存在许多不专业和不严谨之处，还望各位大佬多多指正。各位如果觉得解答没什么问题，请删去<nowiki>{{需要编辑}}</nowiki>——[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月10日 (五) 18:49 (CST)

设卫星的远地点为A点,对应物理量角标为$$A$$，卫星真近点角为90°时B点，对应物理量角标为$$B$$。椭圆轨道的半长轴为$$a$$，半短轴为$$b$$，半焦距为$$c$$，离心率为$$e$$。

卫星位于A点时，与地球（中心天体，视作质点）的距离:

$$r_A = a + c$$

卫星位于B点时，与地球的距离:

$$r_B = \frac{b^2}{a}$$（椭圆通径$$d = \frac{2b^2}{a}$$的一半）

由卫星的角动量守恒可得：

$$L_A = L_B$$

根据角动量的表达式：

$$L = m\omega r^2$$

可得:

$$m\omega_A r_A = m\omega_B r_B$$

约去质量$$m$$，将上式变形，得：

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B^2}{r_A^2}$$

则有：

$$\frac{r_B}{r_A} = \sqrt{\frac{\omega_A}{\omega_B}}$$

在观测的短时间t内，有如下关系：

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{∆𝜃_{1}}{∆𝜃_{2}} = \frac{2′44"}{21′17"}$$

所以

$$\frac{r_B}{r_A} = \sqrt{\frac{2′44"}{21′17"}} \approx 0.358$$

接下来，我们运用椭圆的相关知识，用含$$a+c$$和$$\frac{b^2}{a}$$的式子表示$$e$$（椭圆离心率，$$e = \frac{c}{a}$$）

$$r_B = \frac{b^2}{a} = \frac{a^2-c^2}{a} = \frac{(a+c)(a-c)}{a} = (a+c)(1-\frac{c}{a})$$

移相，得：

$$e = \frac{c}{a} = 1-\frac{\frac{b^2}{a}}{a+c}$$

把$$r_A$$和$$r_B$$代入，得：

$$e = 1-\frac{r_A}{r_B} = 0.642$$

故卫星轨道离心率的近似值为$$0.642$$

2026年CNAO决赛第13题-天下之中

2026-07-14T07:21:13Z

RT.x：/* 题目 */ 录入决赛试题，手动输入。试题来自《天文爱好者》2026.07，全国中学生天文知识竞赛组委会供稿。“均时差曲线”所对应的图目前缺失

{{需要编辑}}
==题目==
在河南登封“天地之中”历史建筑群（北纬$$34^{\circ} 27^{\prime}$$，东经$$113^{\circ} 03^{\prime}$$）中，有着我国现存最古老的天文台之一。3000多年前的西周初期，周公在这里观测日影，确定“天下之中”，营建都城洛邑；1300多年前的唐代，天文学家南宫悦在其旧址仿旧制建成周公测景台；700多年前的元代，天文学家郭守敬又在这里主持建造观星台，建立了如今我们看到的圭表。圭表由“表”（立杆）和“圭”（刻度石板）组成，用来通过影长测定正午时刻和节气。请参考均时差曲线（即“$$真太阳时 - 平太阳时$$”在一年中随日期变化的曲线），完成以下问题：

（1）假设这个圭表的“表”高为$$9.5$$米，且“表”的影子完全落在位于平地的“圭”上，那么“圭”的长度至少为多少米，才能满足一年的测量需求？答案精确到小数点后一位。

（2）某天，一位学生在登封观星台进行观测。他发现，当他的手表显示北京时间12:00时，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置。这种情况可能发生在____。

A.一年中的任意一天

B.一年中特定的一天

C.一年中特定的两天

D.不可能发生，他的手表一定是显示错误了

（3）计算5月16日这天，“表”的影子正好落在“圭”的正中位置的时刻。答案用北京时间表示，精确到分钟。

（4）《周礼·大司徒》记载：“日至之景，尺有五寸，谓之地中。”意思是，在一个地方建立高为$$8$$尺的“表”，如果夏至日正午测得的影长为$$1.5$$尺，那么这个地方就是“天下之中”。试判断黄赤交角是在增大还是减小，并估算其变化率。答案用每百年变化的角秒数表示，精确到整数。

“均时差曲线”所对应的图目前缺失，请各位补充。 ——[[用户:RT.x|RT.x]]（[[用户讨论:RT.x|讨论]]） 2026年7月14日 (二) 15:20 (CST)

==解答==

[[分类:视运动]]

用户:RT.x

2026-07-14T07:17:37Z

RT.x：修改，优化

'''''2026CNAO Cu'''''

''希望能让更多人爱上天文。''

2026年3月份开始较系统地自学天文

2026希望队高年组队员

<s>自认为</s>代表2026CNAO铜牌垫底水平

参加了1次全国预赛，参加了1次全国决赛。不知道高三的时候能不能抽出时间参加。

网站的能工智人，虽然不知道“智”在哪里。主要用班级的一体机进行网站的编辑。曾经尝试过在Nokia 220上编辑网站，但因为不支持js而失败。

目前主要编辑：

0.本页面。

1.[[CNAO2026|CNAO2026及其相关页面]]

2026年CNAO决赛第12题-（仅低年组）白矮星

2026-07-14T06:52:57Z

RT.x：修改“需要编辑”标签为“需要解答”标签

{{需要解答}}
==题目==
由于白矮星表面引力极强，其发出的光子在逃逸到无穷远处的过程中会发生引力红移。假设有一颗白矮星质量$$M = 1.0 M_{\odot}$$、半径$$R = 0.008 R_{\odot}$$。如果我们观测该白矮星光谱中的$$H_\alpha$$线的光子，请计算这束光子逃逸到无穷远处所产生的引力红移量$$z$$，以及该红移量等效的视向退行速度$$v$$（单位：$$km/s$$）。（对于$$1.0 M_{\odot}$$的白矮星，其史瓦西半径约为$$R_s \approx 3.0 km$$）

==解答==

[[分类:天体力学]]

2026年CNAO决赛第12题-（仅低年组）白矮星

2026-07-14T06:51:59Z

RT.x：/* 题目 */ 录入决赛试题，手动输入。试题来自《天文爱好者》2026.07，全国中学生天文知识竞赛组委会供稿。

{{需要编辑}}
==题目==
由于白矮星表面引力极强，其发出的光子在逃逸到无穷远处的过程中会发生引力红移。假设有一颗白矮星质量$$M = 1.0 M_{\odot}$$、半径$$R = 0.008 R_{\odot}$$。如果我们观测该白矮星光谱中的$$H_\alpha$$线的光子，请计算这束光子逃逸到无穷远处所产生的引力红移量$$z$$，以及该红移量等效的视向退行速度$$v$$（单位：$$km/s$$）。（对于$$1.0 M_{\odot}$$的白矮星，其史瓦西半径约为$$R_s \approx 3.0 km$$）

==解答==

[[分类:天体力学]]