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基本常数及单位

2020-06-20T18:44:48Z

Heavens above：

'''参考自Fundamental Astronomy 6th edition, An Introduction to Modern Astrophysics 2nd edition'''

{| class="wikitable"
|+
!中文
!英文
!符号
!数值及单位
|-
|光速
|Velocity of light
|$$c$$
|$$=299\ 792\ 458\ m\ s^{-1}$$
|-
|万有引力常数
|Gravitational constant
|$$G$$
|$$=6.673\ ×10^{−11}\ m^3\ kg^{−1}\ s^{−2}$$

$$= 4π^2\ AU^3\ M_{sun}^{-1}\ a^{−2}$$

$$= 3\ 986\ 005×10^8\ m^3\ M^{−1}_{⊕}\ s^{−2}$$
|-
|普朗克常数
|Planck constant
|$$h$$
|$$= 6.6261\ ×\ 10^{−34}\ J\ s$$
|-
|约化普朗克常数
|Reduced planck constant
|$$ħ$$
|$$=\ \dfrac{h}{2π}\ =\ 1.0546\ ×\ 10^{−34}\ J\ s$$
|-
|玻尔兹曼常数
|Boltzmann constant
|$$k$$
|$$=\ 1.3807\ ×\ 10^{−23}\ J\ K^{−1}$$
|-
|辐射密度常数
|Radiation density constant
|$$a$$
|$$=\ 7.5659\ ×\ 10^{−16}\ J\ m^{−3}\ K^{−4}$$
|-
|斯特藩-玻尔兹曼常数
|Stefan-Boltzmann constant
|$$\sigma$$
|$$=\ \dfrac{ac}{4}\ =\ 5.6705\ ×\ 10^{-8}\ W\ m^{−2}\ K^{−4}$$
|-
|相对原子质量
|Atomic mass unit
|$$amu$$
|$$=\ 1.6605\ ×\ 10^{−27}\ kg$$
|-
|电子伏特
|Electron volt
|$$eV$$
|$$=\ 1.6022\ ×\ 10^{−19}\ J$$
|-
|阿伏伽德罗常数
|Avogadro's number
|$$N_A$$
|$$=\ 6.02214199(47)\ \times\ 10^{23}\ mol^{-1}$$
|-
|电子质量
|Mass of electron
|$$M_e$$
|$$=\ 9.1094\ ×\ 10^{−31}\ kg$$
$$=\ 0.511\ MeV$$
|-
|质子质量
|Mass of proton
|$$M_p$$
|$$= 1.6726 ×10−27 kg$$
$$= 938.3 MeV$$
|-
|中子质量
|Mass of neutron
|$$M_n$$
|$$=\ 1.6749\ ×10^{−27}\ kg$$
$$=\ 939.6\ MeV$$
|-
|对氢原子的里德伯常数
|Rydberg constant for $${}^{1} H$$
|$$R_H$$
|$$=\ 1.0968\ ×\ 10^7\ m^{−1}$$
|-
|对无限质量的里德伯常数
|Rydberg constant for ∞ mass
|$$R_∞$$
|$$=\ 1.0974\ ×\ 10^7\ m^{−1}$$
|-
|理想气体常数
|Gas constant
|$$R$$
|$$=\ 8.3145\ J\ K^{−1}\ mol^{−1}$$
|-
|标准大气压
|Normal atmospheric pressure
|$$atm$$
|$$=\ 101\ 325\ Pa\ =\ 1013\ mbar =\ 760\ mmHg$$
|-
|天文单位
|Astronomical unit
|$$au$$
|$$=\ 1.49597870\ ×\ 10^{11}\ m$$
|-
|秒差距
|Parsec
|$$pc$$
|$$=\ 3.0857\ ×\ 10^{16}\ m$$

$$=\ 206\ 265\ au$$

$$=\ 3.26\ ly$$

|-
|光年
|Light-year
|$$ly$$
|$$=\ 9.461\ ×\ 10^{16}\ m$$

$$=\ 0.3066\ pc$$
|}

编辑指南

2020-06-20T18:35:19Z

Heavens above：/* 关于公式 */

本文是关于Astro-init网站上内容的基本格式，以及用户提交这些内容的步骤。
==题目页面==
题目页面的标题应严格按照格式，年份+赛事+类型+（年级组）+题号+题目标题：

2017年IAO理论低年组第4题-美国日食

每道题根据考察的知识点，需要在页面末尾添加相应的分类标记。每道题可以添加一到两个最相关的标记。
当一个题目暂时没有解答时，应该在页面的最开头添加“需要解答”模板。

（创建新页面：如果你在搜索框中输入关键字时无对应页面，则你可以创建以此关键字为题的页面。）

===选择题===
每次赛事的选择题合并为一个页面，包含题目原文、中文翻译、答案、计算题的解答等大标题。
选择题中有必要提供步骤的计算选择题单独一个页面，并将这个题目页面的链接放在相应页面的“计算题解答”部分。

===简答题===
每个简答题单独一个页面。题目页面应包含“原文题目”“中文翻译”和“解答”等几个大标题。
对于高低年组有不同版本的题目，页面开头应该链接另一个年龄组对应的题目。
题目的原文应尽可能与来源的格式保持一致。原文题目的题号、分值和标题应该加粗。其他的题目文本按照原文中的格式即可。
解答部分应该注明解答是来自于官方答案的翻译还是自己独立完成的。如果解答步骤过长，可以添加小一级的标题。
在添加解答之后，如果有必要对一些相关问题进行讨论，可以增加“评论”部分，在这一部分写下你对这个题目的看法。

==赛事页面==
赛事页面的标题格式为赛事缩写+年份。页面开头是这届比赛的届数、举办的时间、地点、logo（如果有）。如果赛事的页面除题目列表之外的信息不完整，应该在页面的最开头添加“内容需要完善”模板。、

赛事页面的最末尾应该加入分类“按赛事索引”。

===国际赛事===
国际赛事页面应包含题目列表、中国队参赛名单、参与国家、相关链接等部分。理论、实测、观测等比赛的题目分为三个大标题。
===CNAO===
CNAO页面应包含题目列表、获奖名单、相关链接等部分。
===外国赛事===
外国的赛事需要有完整的题目列表和相关链接，其他内容不做硬性要求。

==源代码编辑==
对于熟练的用户，直接使用源代码编辑页面可能效率更高。网站使用的样式并不复杂，只需要掌握如下几个标记就足够了。

源代码中的换行需要用一个完整的空行分隔。

大标题：使用两个等号包围，如下：
==英文题目==
中标题：使用三个等号包围，如下：
===试题讨论和翻译===
加粗：使用三个单引号将文本包围，如下：
<nowiki>'''α-4. Eclipse in USA'''</nowiki>
斜体：使用两个单引号将文本包围，如下：
<nowiki>''斜体文本''</nowiki>
引用本站页面：使用双中括号将文本包围，如下：
<nowiki>[[IOAA]]</nowiki>
题目分类：与引用页面类似，如下：
<nowiki>[[分类:会合周期]]</nowiki>
模板：使用双大括号添加模板（主要用于页首标记），如下:
<nowiki>{{需要解答}}</nowiki>
下标与上标：
<nowiki>下标文字上标文字</nowiki>

==关于公式==
公式使用LaTeX语法。在编辑器中，如果需要插入公式，需要将公式的文本用双美元号包围，如下：
<nowiki>$$h=\frac{H_0}{100kms^{-1}Mpc^{-1}}$$</nowiki>
可视化编辑器不能实时渲染公式，只能在保存之后才能看到公式的效果。源代码编辑器可以点击“显示预览”进行预览。

使用标记语言描述公式可能较为复杂，但我们还是推荐大家学习这些语法，因为迟早都会学到。

不过，目前也有许多关于公式的软件工具可以帮助你创建公式，比如[https://mathpix.com/ mathpix snip]，它可以识别公式图片，并且转换成代码：
[[文件:Mathpix snip.png|缩略图|替代=|左]]
以及，这个[https://www.latexlive.com/## 网站]可以帮助你在线编辑公式的LaTeX代码。

==图片==
与题目和解答直接相关的图片使用“无框”模式，向左对齐。

与内容关系不大的图片使用“缩略图”目视，向右对齐。

2016年APAO理论低年组第3题-老人星

2019-09-23T05:47:26Z

Heavens above：/* 解答 */

==题目==
在韩国，有这样一个古老的传说：如果你看到三次老人星(Canopus)，你就是个幸运的人，将会健康长寿。老人星，现在叫做船底座 α(Car α)，在过去亮度更高，更容易被看到。但即使是在今天，它有时也可以在韩国被看到。
请问，如果在我们所在的高兴郡NYSC附近观测老人星，老人星的最大高度角为多少？（数据见）
==解答==
已知高兴郡NYSC纬度为34°32'，则老人星的最大高度角为：h=90°-φ+δ=90°-34°32'+(-52°42')=2°46'

APAO2016

2019-09-23T05:41:19Z

Heavens above：/* 理论试题 */

{{内容需要完善}}
2016年11月17日至25日，第12届亚太地区天文奥林匹克竞赛（APAO 2016)在韩国全罗南道高兴郡举行。有来自七个国家和地区的共八支代表队的五十名青少年天文爱好者参加了此次比赛。
==理论试题==
[[2016年APAO理论第2题-火星上的视差]]

[[2016年APAO理论第4题-流星]]

[[2016年APAO理论第5题-小行星]]

[[2016年APAO理论第6题-不可思议之星]]

===低年组===

[[2016年APAO理论低年组第1题-月球现象]]

[[2016年APAO理论低年组第3题-老人星]]

===高年组===

[[2016年APAO理论高年组第1题-月海]]

[[2016年APAO理论高年组第3题-老人星]]

==实测试题==

[[2016年APAO实测第7题-哈勃参数]]

[[2016年APAO实测第8题-超巨星HD153919]]

[[2016年APAO实测高年组第8题-行星]]

[[2016年APAO实测第9题-比邻星的行星]]
==观测试题==
==中国队参赛名单与成绩==
{| class="wikitable"
|-
!姓名!!学校!!成绩
|-
|董伯纲||中国人民大学附属中学||金牌
|-
|黄科源||华南师范大学附属中学||金牌
|-
|李远||北京市第四中学||金牌（低年组第一）
|-
|岳泽世||山东省威海高新区第一中学||金牌
|-
|贾淞寓||北京理工大学附属中学||银牌
|-
|田茗羽||北京市第一零一中学||银牌
|-
|李欣炜||浙江省绍兴市第一中学||银牌
|-
|李韬||浙江省杭州高级中学||银牌
|}

==参与国家==
韩国，中国，俄罗斯，蒙古，孟加拉国，哈萨克斯坦，越南

==相关链接==

APAO2016

2019-09-23T05:40:08Z

Heavens above：/* 实测试题 */

{{内容需要完善}}
2016年11月17日至25日，第12届亚太地区天文奥林匹克竞赛（APAO 2016)在韩国全罗南道高兴郡举行。有来自七个国家和地区的共八支代表队的五十名青少年天文爱好者参加了此次比赛。
==理论试题==
[[2016年APAO理论第2题-火星上的视差]]
[[2016年APAO理论第4题-流星]]
[[2016年APAO理论第5题-小行星]]
[[2016年APAO理论第6题-不可思议之星]]

===低年组===
[[2016年APAO理论低年组第1题-月球现象]]
[[2016年APAO理论低年组第3题-老人星]]
===高年组===
[[2016年APAO理论高年组第1题-月海]]
[[2016年APAO理论高年组第3题-老人星]]
==实测试题==

[[2016年APAO实测第7题-哈勃参数]]

[[2016年APAO实测第8题-超巨星HD153919]]

[[2016年APAO实测高年组第8题-行星]]

[[2016年APAO实测第9题-比邻星的行星]]
==观测试题==
==中国队参赛名单与成绩==
{| class="wikitable"
|-
!姓名!!学校!!成绩
|-
|董伯纲||中国人民大学附属中学||金牌
|-
|黄科源||华南师范大学附属中学||金牌
|-
|李远||北京市第四中学||金牌（低年组第一）
|-
|岳泽世||山东省威海高新区第一中学||金牌
|-
|贾淞寓||北京理工大学附属中学||银牌
|-
|田茗羽||北京市第一零一中学||银牌
|-
|李欣炜||浙江省绍兴市第一中学||银牌
|-
|李韬||浙江省杭州高级中学||银牌
|}

==参与国家==
韩国，中国，俄罗斯，蒙古，孟加拉国，哈萨克斯坦，越南

==相关链接==

2016年APAO实测第7题-哈勃参数

2019-09-23T05:37:06Z

Heavens above：

==题目==
'''7 哈勃参数'''

表7为河外星系到我们银河系中心的距离（distance）和视向速度（radial velocity）的关系。此表在20世纪初由著名天文学家哈勃在其论文中发表。视向速度为正数意味着星系在远离我们。距离的单位是Mpc（百万秒差距 106pc ，1pc=3.08×1018cm）。
[[文件:2016apao实测第7题表7.jpg|缩略图|2016apao实测第7题表7]]

7.1 在绘图纸上画出视向速度与距离的关系图，横坐标为距离。

7.2 画出能拟合数据的最合适的直线。直线要从D=0Mpc和V=0km/s处开始。

7.3 算出这条直线的斜率H（即令V和D满足如下线性关系：V=H×D），单位是（km/s)/Mpc。这个结果使哈勃第一次意识到宇宙在整体膨胀。H被称为哈勃常数。

7.4 上述结论意味着，宇宙中的一切在很久之前从D=0开始。假设哈勃常数是变化的，其值正比于1/D（即D越大，H越小），请推算宇宙的年龄（即宇宙从D=0时开始膨胀至今的时间）。哈勃曾利用这些数据做过这一工作。作为参考，21世纪对宇宙年龄的最好估计值是大约138亿年（13.8 billion years）。

7.5 （仅高年组）图7为两个天体A和B在H-α附近的光谱，波峰对应H-α发射线的中心。请在表7中确定A和B最可能对应的星系。一定要用'''定量计算'''证明你的结果。静止物体的H-α波长为6563Å。
[[文件:2016apao实测第7题图7.jpg|缩略图|2016apao实测第7题图7]]
==解答==

文件:2016apao实测第7题图7.jpg

2019-09-23T05:36:54Z

Heavens above：

2016apao实测第7题图7

文件:2016apao实测第7题表7.jpg

2019-09-23T05:36:19Z

Heavens above：

2016apao实测第7题表7

2016年APAO实测第8题-超巨星HD153919

2019-09-23T05:35:28Z

Heavens above：

==题目==
X射线源2U1700-37的光学对应体被确定为O型超巨星HD153919，该星被认为是一颗逃逸之星，在超新星爆发后从宿主星团NGC6231中被踢出。HD153919和NGC6231的位置在表8.1中给出。
[[文件:2016apao实测低年组第8题表8.1.jpg|缩略图|2016apao实测低年组第8题表8.1]]

8.1 计算它们的赤经（α）差和赤纬（δ）差。

8.2 盖亚(Gaia)卫星测得的该星的自行为：μα×cosδ=2.28×10-3″/year和μδ=4.95×10-3″/year。计算超新星爆发于距今多久之前？

8.3 年轻的疏散星团NGC6231的年龄据估计为4-7Myr(1Myr=106年)。基于大质量恒星的理论寿命（lifetime）（见表8.2），估计该超新星的前身星的初始质量（initial mass）的范围。假定恒星质量的上限为$$120M\bigodot $$。
[[文件:2016apao实测低年组第8题表8.2.jpg|缩略图|2016apao实测低年组第8题表8.2]]

==解答==

文件:2016apao实测低年组第8题表8.2.jpg

2019-09-23T05:35:13Z

Heavens above：

2016apao实测低年组第8题表8.2

文件:2016apao实测低年组第8题表8.1.jpg

2019-09-23T05:34:38Z

Heavens above：

2016apao实测低年组第8题表8.1

2016年APAO实测高年组第8题-行星

2019-09-23T05:33:43Z

Heavens above：

==题目==

表8为一颗假想的行星A的黄道坐标（坐标原点为太阳），其轨道周期为240年，偏心率为ε=0.3。图8为A的位置图，对应表8中的数据。

另一颗假想的轨道为圆形的行星B与A的轨道共面，它们轨道周期的比率为PA/PB=1.5。当A位于其远日点时（t=0），B上的观测者发现A正好冲日。

[[文件:2016apao实测高年组第8题表8.jpg|缩略图|2016apao实测高年组第8题表8]]
[[文件:2016apao实测高年组第8题图8.jpg|缩略图|2016apao实测高年组第8题图8]]

8.1 求当从B上看到A开始顺行的年份。

8.2 用绘图纸画出在如下坐标系中，当t=ti时（i=1，2，…，12），A的位置：在该坐标系中，B和太阳均视为不动（即坐标系本身随B一起随太阳转）。请自行选择合适的坐标原点。

8.3 计算到哪年时，从太阳到A的视线与太阳到B的视线张角最大。测出这个张角。

=解答==

文件:2016apao实测高年组第8题图8.jpg

2019-09-23T05:33:30Z

Heavens above：

2016apao实测高年组第8题图8

文件:2016apao实测高年组第8题表8.jpg

2019-09-23T05:32:52Z

Heavens above：

2016apao实测高年组第8题表8

2016年APAO实测第9题-比邻星的行星

2019-09-23T05:31:02Z

Heavens above：

==题目==
'''比邻星(Proxima Centauri)的行星'''

一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星在绕其转动。表9为在某轮观测中得到的视向速度（单位为m/s）与从观测开始的第几天（单位为days）的对应关系。比邻星的质量、半径和光度分别为太阳的0.12、0.14和1.5×10-3倍。假设该行星的轨道为圆形且轨道平面沿我们的视线方向。

[[文件:2016apao实测第9题表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题图9]]
[[文件:2016apao实测表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题表9]]

9.1 在绘图纸上画出比邻星的视向速度与时间的关系图。

9.2 找出该行星的轨道周期以及比邻星视向速度的最大值。

9.3 求出该行星的轨道半径，单位为au。

9.4 算出该行星的质量，单位为$$M\oplus $$(地球质量)。

9.5 （仅高年组）该行星的气候会如何？一颗光度为L，表面温度为TS的恒星，其宜居带的内边缘和外边缘到恒星的距离（分别为d1和d0）由下式给出：

<nowiki>$$d_{1}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{1}(T_{S})}}au$$和$$d_{0}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{0}(T_{S})}}au$$</nowiki>

式中$$L\bigodot $$为太阳的光度，S1(TS)和S0(TS)为在图9中取决于TS的参数，图9中横坐标单位为103K。计算该行星是否位于比邻星的宜居带中，并写下最终结论Yes或No。

==解答==

2016年APAO实测第9题-比邻星的行星

2019-09-23T05:30:27Z

Heavens above：

==题目==
'''比邻星(Proxima Centauri)的行星'''

一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星在绕其转动。表9为在某轮观测中得到的视向速度（单位为m/s）与从观测开始的第几天（单位为days）的对应关系。比邻星的质量、半径和光度分别为太阳的0.12、0.14和1.5×10-3倍。假设该行星的轨道为圆形且轨道平面沿我们的视线方向。

[[文件:2016apao实测第9题表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题表9]]
[[文件:2016apao实测表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题图9]]

9.1 在绘图纸上画出比邻星的视向速度与时间的关系图。

9.2 找出该行星的轨道周期以及比邻星视向速度的最大值。

9.3 求出该行星的轨道半径，单位为au。

9.4 算出该行星的质量，单位为$$M\oplus $$(地球质量)。

9.5 （仅高年组）该行星的气候会如何？一颗光度为L，表面温度为TS的恒星，其宜居带的内边缘和外边缘到恒星的距离（分别为d1和d0）由下式给出：

<nowiki>$$d_{1}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{1}(T_{S})}}au$$和$$d_{0}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{0}(T_{S})}}au$$</nowiki>

式中$$L\bigodot $$为太阳的光度，S1(TS)和S0(TS)为在图9中取决于TS的参数，图9中横坐标单位为103K。计算该行星是否位于比邻星的宜居带中，并写下最终结论Yes或No。

==解答==

2016年APAO实测第9题-比邻星的行星

2019-09-23T05:30:05Z

Heavens above：

==题目==
'''比邻星(Proxima Centauri)的行星'''

一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星在绕其转动。表9为在某轮观测中得到的视向速度（单位为m/s）与从观测开始的第几天（单位为days）的对应关系。比邻星的质量、半径和光度分别为太阳的0.12、0.14和1.5×10-3倍。假设该行星的轨道为圆形且轨道平面沿我们的视线方向。

[[文件:2016apao实测第9题表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题表9]]
[[文件:2016apao实测表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题表9]]

9.1 在绘图纸上画出比邻星的视向速度与时间的关系图。

9.2 找出该行星的轨道周期以及比邻星视向速度的最大值。

9.3 求出该行星的轨道半径，单位为au。

9.4 算出该行星的质量，单位为$$M\oplus $$(地球质量)。

9.5 （仅高年组）该行星的气候会如何？一颗光度为L，表面温度为TS的恒星，其宜居带的内边缘和外边缘到恒星的距离（分别为d1和d0）由下式给出：

<nowiki>$$d_{1}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{1}(T_{S})}}au$$和$$d_{0}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{0}(T_{S})}}au$$</nowiki>

式中$$L\bigodot $$为太阳的光度，S1(TS)和S0(TS)为在图9中取决于TS的参数，图9中横坐标单位为103K。计算该行星是否位于比邻星的宜居带中，并写下最终结论Yes或No。

==解答==

文件:2016apao实测第9题表9.jpg

2019-09-23T05:29:42Z

Heavens above：

2016apao实测第9题表9

2016年APAO实测第9题-比邻星的行星

2019-09-23T05:28:12Z

Heavens above：

==题目==
'''比邻星(Proxima Centauri)的行星'''

一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星在绕其转动。表9为在某轮观测中得到的视向速度（单位为m/s）与从观测开始的第几天（单位为days）的对应关系。比邻星的质量、半径和光度分别为太阳的0.12、0.14和1.5×10-3倍。假设该行星的轨道为圆形且轨道平面沿我们的视线方向。

[[文件:2016apao实测图9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题图9]]
[[文件:2016apao实测表9.jpg|缩略图|2016apao实测第9题表9]]

9.1 在绘图纸上画出比邻星的视向速度与时间的关系图。

9.2 找出该行星的轨道周期以及比邻星视向速度的最大值。

9.3 求出该行星的轨道半径，单位为au。

9.4 算出该行星的质量，单位为$$M\oplus $$(地球质量)。

9.5 （仅高年组）该行星的气候会如何？一颗光度为L，表面温度为TS的恒星，其宜居带的内边缘和外边缘到恒星的距离（分别为d1和d0）由下式给出：

<nowiki>$$d_{1}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{1}(T_{S})}}au$$和$$d_{0}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{0}(T_{S})}}au$$</nowiki>

式中$$L\bigodot $$为太阳的光度，S1(TS)和S0(TS)为在图9中取决于TS的参数，图9中横坐标单位为103K。计算该行星是否位于比邻星的宜居带中，并写下最终结论Yes或No。

==解答==

文件:2016apao实测表9.jpg

2019-09-23T05:27:37Z

Heavens above：

2016apao实测第9题表9

文件:2016apao实测图9.jpg

2019-09-23T05:25:32Z

Heavens above：

2016apao实测图9

2016年APAO实测第9题-比邻星的行星

2019-09-23T05:10:56Z

Heavens above：/* 题目 */

==题目==
'''比邻星(Proxima Centauri)的行星'''

一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星在绕其转动。表9为在某轮观测中得到的视向速度（单位为m/s）与从观测开始的第几天（单位为days）的对应关系。比邻星的质量、半径和光度分别为太阳的0.12、0.14和1.5×10-3倍。假设该行星的轨道为圆形且轨道平面沿我们的视线方向。

9.1 在绘图纸上画出比邻星的视向速度与时间的关系图。

9.2 找出该行星的轨道周期以及比邻星视向速度的最大值。

9.3 求出该行星的轨道半径，单位为au。

9.4 算出该行星的质量，单位为$$M\oplus $$(地球质量)。

9.5 （仅高年组）该行星的气候会如何？一颗光度为L，表面温度为TS的恒星，其宜居带的内边缘和外边缘到恒星的距离（分别为d1和d0）由下式给出：

<nowiki>$$d_{1}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{1}(T_{S})}}au$$和$$d_{0}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{0}(T_{S})}}au$$</nowiki>

式中$$L\bigodot $$为太阳的光度，S1(TS)和S0(TS)为在图9中取决于TS的参数，图9中横坐标单位为103K。计算该行星是否位于比邻星的宜居带中，并写下最终结论Yes或No。

==解答==

2016年APAO实测第9题-比邻星的行星

2019-09-23T05:10:25Z

Heavens above：创建页面，内容为“==题目== '''比邻星(Proxima Centaur)的行星''' 一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星…”

==题目==
'''比邻星(Proxima Centaur)的行星'''

一个天文学小组最近观测到比邻星的视向速度展现出周期性摆动，这意味着一颗行星在绕其转动。表9为在某轮观测中得到的视向速度（单位为m/s）与从观测开始的第几天（单位为days）的对应关系。比邻星的质量、半径和光度分别为太阳的0.12、0.14和1.5×10-3倍。假设该行星的轨道为圆形且轨道平面沿我们的视线方向。

9.1 在绘图纸上画出比邻星的视向速度与时间的关系图。

9.2 找出该行星的轨道周期以及比邻星视向速度的最大值。

9.3 求出该行星的轨道半径，单位为au。

9.4 算出该行星的质量，单位为$$M\oplus $$(地球质量)。

9.5 （仅高年组）该行星的气候会如何？一颗光度为L，表面温度为TS的恒星，其宜居带的内边缘和外边缘到恒星的距离（分别为d1和d0）由下式给出：

$$d_{1}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{1}(T_{S})}}au$$和$$d_{0}=\sqrt{\frac{L/L\bigodot }{S_{0}(T_{S})}}au$$

式中$$L\bigodot $$为太阳的光度，S1(TS)和S0(TS)为在图9中取决于TS的参数，图9中横坐标单位为103K。计算该行星是否位于比邻星的宜居带中，并写下最终结论Yes或No。

==解答==

2016年APAO实测高年组第8题-行星

2019-09-23T04:49:40Z

Heavens above：创建页面，内容为“==题目== 表8为一颗假想的行星A的黄道坐标（坐标原点为太阳），其轨道周期为240年，偏心率为ε=0.3。图8为A的位置图，对应…”

==题目==

表8为一颗假想的行星A的黄道坐标（坐标原点为太阳），其轨道周期为240年，偏心率为ε=0.3。图8为A的位置图，对应表8中的数据。

另一颗假想的轨道为圆形的行星B与A的轨道共面，它们轨道周期的比率为PA/PB=1.5。当A位于其远日点时（t=0），B上的观测者发现A正好冲日。

8.1 求当从B上看到A开始顺行的年份。

8.2 用绘图纸画出在如下坐标系中，当t=ti时（i=1，2，…，12），A的位置：在该坐标系中，B和太阳均视为不动（即坐标系本身随B一起随太阳转）。请自行选择合适的坐标原点。

8.3 计算到哪年时，从太阳到A的视线与太阳到B的视线张角最大。测出这个张角。

=解答==

2016年APAO实测第8题-超巨星HD153919

2019-09-23T04:36:42Z

Heavens above：/* 题目 */

==题目==
X射线源2U1700-37的光学对应体被确定为O型超巨星HD153919，该星被认为是一颗逃逸之星，在超新星爆发后从宿主星团NGC6231中被踢出。HD153919和NGC6231的位置在表8.1中给出。

8.1 计算它们的赤经（α）差和赤纬（δ）差。

8.2 盖亚(Gaia)卫星测得的该星的自行为：μα×cosδ=2.28×10-3″/year和μδ=4.95×10-3″/year。计算超新星爆发于距今多久之前？

8.3 年轻的疏散星团NGC6231的年龄据估计为4-7Myr(1Myr=106年)。基于大质量恒星的理论寿命（lifetime）（见表8.2），估计该超新星的前身星的初始质量（initial mass）的范围。假定恒星质量的上限为$$120M\bigodot $$。

==解答==
{{还未编辑完成}}

2016年APAO实测第8题-超巨星HD153919

2019-09-22T06:02:55Z

Heavens above：创建页面，内容为“==题目== X射线源2U1700-37的光学对应体被确定为O型超巨星HD153919，该星被认为是一颗逃逸之星，在超新星爆发后从宿主星团NGC623…”

2016年APAO实测第7题-哈勃参数

2019-09-22T05:53:38Z

Heavens above：创建页面，内容为“==题目== '''7 哈勃参数''' 表7为河外星系到我们银河系中心的距离（distance）和视向速度（radial velocity）的关系。此表在20世纪…”

==题目==
'''7 哈勃参数'''

表7为河外星系到我们银河系中心的距离（distance）和视向速度（radial velocity）的关系。此表在20世纪初由著名天文学家哈勃在其论文中发表。视向速度为正数意味着星系在远离我们。距离的单位是Mpc（百万秒差距 106pc ，1pc=3.08×1018cm）。

7.1 在绘图纸上画出视向速度与距离的关系图，横坐标为距离。

7.2 画出能拟合数据的最合适的直线。直线要从D=0Mpc和V=0km/s处开始。

7.3 算出这条直线的斜率H（即令V和D满足如下线性关系：V=H×D），单位是（km/s)/Mpc。这个结果使哈勃第一次意识到宇宙在整体膨胀。H被称为哈勃常数。

7.4 上述结论意味着，宇宙中的一切在很久之前从D=0开始。假设哈勃常数是变化的，其值正比于1/D（即D越大，H越小），请推算宇宙的年龄（即宇宙从D=0时开始膨胀至今的时间）。哈勃曾利用这些数据做过这一工作。作为参考，21世纪对宇宙年龄的最好估计值是大约138亿年（13.8 billion years）。

7.5 （仅高年组）图7为两个天体A和B在H-α附近的光谱，波峰对应H-α发射线的中心。请在表7中确定A和B最可能对应的星系。一定要用'''定量计算'''证明你的结果。静止物体的H-α波长为6563Å。
==解答==
{{还未编辑完成}}

2016年APAO理论第2题-火星上的视差

2019-09-22T05:29:39Z

Heavens above：

==题目==
住在火星上的宇航员使用与地球人民同样的体系定义视差。请计算火星人民使用的下列数值：

2.1 秒差距

2.2 半人马座α(Cen α)的视差(用合适的角度单位)

2.3 太阳的视差(用合适的角度单位)

2.4 (仅高年组) 地球的视差(用合适的角度单位)

==解答==
地球上的常用视差有两种：周日视差和周年视差。周日视差用于测量太阳系内天体的距离，基线是地球的直径；周年视差用于测量太阳系外天体的距离，基线是地球绕太阳公转轨道的直径。

2.1 地球上的秒差距定义为在距离地球1秒差距的位置看地球公转轨道视直径为1″。那么，火星上的秒差距就定义为在距离火星1秒差距的位置看火星公转轨道视直径为1″。因为火星公转轨道的平均直径是地球的1.524倍，所以1火星秒差距也应为1.524地球秒差距等于1.524×3.26=4.97光年。

2.2 测量恒星使用周年视差。已知1火星秒差距也应为1.524地球秒差距，由表可知半人马座 α在地球上的视差为0.747″，因此它在火星上的视差为1.524×0.747″=1.13″。

2.3 测量太阳系内天体使用周日视差。火星上的太阳周日视差为$$\frac{3397km×2}{1.524×149600000km×2}=1.49×10^{-5}rad$$,将弧度化为角度为$$1.49×10^{-5}rad×206265≈3.1″$$。

2.4 对火星上的观测者而言，地球的视差随着时间的变化而变化。它在火星冲日时最大，在火星合日时最小。所以

$$P_{max}=\frac{3397km×2}{0.524×149600000km×2}=4.33×10^{-5}rad≈8.9″$$

$$P_{min}=\frac{3397km×2}{2.524×149600000km×2}=9.00×10^{-6}rad≈1.86″$$

2016年APAO理论高年组第1题-月海

2019-09-22T04:36:03Z

Heavens above：/* 解答 */

==题目==
我们能在地球上用裸眼分辨出下列月海吗？

1.1 危海(Mare Crisium),直径520km。

1.2 莫斯科海(Mare Moscoviense),直径275km。

（最终结论请写为Yes或No，并通过详细的计算或说明解释你的答案。）
==解答==
1.1 易知月球直径约为3500km,视直径约为30′。而危海的直径为520km，与月球直径相比得危海的视直径为:30′×520km/3500km≈4.5′。正常人眼极限分辨率为1′，4.5＞1，且危海位于月球面向地球一面，所以答案是Yes。

1.2 虽然可知莫斯科海理论上的视直径约为2′＞1′，但是莫斯科海位于月球背对地球一面，所以答案是No。（关联：2019CNAO预赛）

2016年APAO理论高年组第1题-月海

2019-09-22T04:35:08Z

Heavens above：

==题目==
我们能在地球上用裸眼分辨出下列月海吗？

1.1 危海(Mare Crisium),直径520km。

1.2 莫斯科海(Mare Moscoviense),直径275km。

（最终结论请写为Yes或No，并通过详细的计算或说明解释你的答案。）
==解答==
1.1 易知月球直径约为3500km,视角约为30′。而危海的直径为520km，与月球直径相比得危海的视角为:30′×520km/3500km≈4.5′。正常人眼极限分辨率为1′，4.5＞1，且危海位于月球面向地球一面，所以答案是Yes。

1.2 虽然可知莫斯科海理论上的视角约为2′＞1′，但是莫斯科海位于月球背对地球一面，所以答案是No。（关联：2019CNAO预赛）

APAO2016

2019-09-22T04:23:59Z

Heavens above：

{{内容需要完善}}
2016年11月17日至25日，第12届亚太地区天文奥林匹克竞赛（APAO 2016）在韩国全罗南道高兴郡举行。有来自七个国家和地区八支代表队的共五十名青少年天文爱好者参加了此次比赛。
==理论试题==
[[2016年APAO理论第2题-火星上的视差]]

[[2016年APAO理论第4题-流星]]

[[2016年APAO理论第5题-小行星]]

[[2016年APAO理论第6题-不可思议之星]]

===低年组===
[[2016年APAO理论低年组第1题-月球现象]]

[[2016年APAO理论低年组第3题-老人星]]
===高年组===
[[2016年APAO理论高年组第1题-月海]]

[[2016年APAO理论高年组第3题-老人星]]
==实测试题==

==观测试题==
==中国队参赛名单与成绩==
{| class="wikitable"
|-
!姓名!!学校!!成绩
|-
|董伯纲||中国人民大学附属中学||金牌
|-
|黄科源||华南师范大学附属中学||金牌
|-
|李远||北京市第四中学||金牌（低年组第一）
|-
|岳泽世||山东省威海高新区第一中学||金牌
|-
|贾淞寓||北京理工大学附属中学||银牌
|-
|田茗羽||北京市第一零一中学||银牌
|-
|李欣炜||浙江省绍兴市第一中学||银牌
|-
|李韬||浙江省杭州高级中学||银牌
|}

==参与国家==
韩国，中国，俄罗斯，蒙古，孟加拉国，哈萨克斯坦，越南

==相关链接==

[[Category:按赛事索引]]

2016年APAO理论低年组第1题-月球现象

2019-09-22T04:22:55Z

Heavens above：/* 解答 */

==题目==
在月球上可以观测到以下哪些现象？

1.1 人造卫星

1.2 彗星

1.3 流星

1.4 极光

1.5 彩虹

1.6 夜光云

1.7 日食

1.8 太阳黑子

（最终结论请写YES或NO，并必须解释原因。）
==解答==
1.1 Yes

1.2 No

1.3 No

1.4 No

1.5 No

1.6 No

1.7 Yes

1.8 Yes

1.3-1.6都是发生在大气层里的现象，而月球没有大气层，所以无法看到。

IOAA2016

2019-09-22T04:19:28Z

Heavens above：/* 中国队参赛名单 */

{{内容需要完善}}

第10届IOAA在2016年12月9-19日在印度布巴内斯瓦尔举行。
[[文件:IOAA2016.png|缩略图|IOAA2016]]
 
==理论题目==
[[2016年IOAA理论第1题-判断正误]]

[[2016年IOAA理论第2题-土卫六上的气体]]

[[2016年IOAA理论第3题-早期宇宙]]

[[2016年IOAA理论第4题-影子]]

[[2016年IOAA理论第5题-穿过GMRT波束]]

[[2016年IOAA理论第6题-造父变星的脉动]]

[[2016年IOAA理论第7题-望远镜光学结构]]

[[2016年IOAA理论第8题-U波段测光]]

[[2016年IOAA理论第9题-火星环绕任务]]

[[2016年IOAA理论第10题-引力透镜望远镜]]

[[2016年IOAA理论第11题-引力波]]

[[2016年IOAA理论第12题-系外行星]]

==数据分析题目==
[[2016年IOAA实测第1题-双脉冲星]]

[[2016年IOAA实测第2题-月球的距离]]

[[2016年IOAA实测第3题-Ia型超新星]]

==观测题目==
[[2016年IOAA天文馆观测第1题]]

[[2016年IOAA天文馆观测第2题]]

[[2016年IOAA星图观测第1-5题]]

[[2016年IOAA夜间观测第1题]]

[[2016年IOAA夜间观测第2题]]

[[2016年IOAA夜间观测第3题]]

==团队比赛==
[[2016年IOAA团队比赛第1题]]

==中国队参赛名单==
{| class="wikitable"
|-
!姓名!!学校!!成绩
|-
|林子轩||北京市第一零一中学||金牌
|-
|夏一飞||江苏省苏州中学||银牌（BO）
|-
|赵鑫淼||山东省齐河县第一中学||银牌
|-
|张月姮||北京市第四中学||铜牌
|}

==参与国家==

==相关链接==

http://www.ioaa2016.in
[[分类:按赛事索引]]

IOAA2016

2019-09-22T04:14:23Z

Heavens above：/* 中国队参赛名单 */

{{内容需要完善}}

第10届IOAA在2016年12月9-19日在印度布巴内斯瓦尔举行。
[[文件:IOAA2016.png|缩略图|IOAA2016]]
 
==理论题目==
[[2016年IOAA理论第1题-判断正误]]

[[2016年IOAA理论第2题-土卫六上的气体]]

[[2016年IOAA理论第3题-早期宇宙]]

[[2016年IOAA理论第4题-影子]]

[[2016年IOAA理论第5题-穿过GMRT波束]]

[[2016年IOAA理论第6题-造父变星的脉动]]

[[2016年IOAA理论第7题-望远镜光学结构]]

[[2016年IOAA理论第8题-U波段测光]]

[[2016年IOAA理论第9题-火星环绕任务]]

[[2016年IOAA理论第10题-引力透镜望远镜]]

[[2016年IOAA理论第11题-引力波]]

[[2016年IOAA理论第12题-系外行星]]

==数据分析题目==
[[2016年IOAA实测第1题-双脉冲星]]

[[2016年IOAA实测第2题-月球的距离]]

[[2016年IOAA实测第3题-Ia型超新星]]

==观测题目==
[[2016年IOAA天文馆观测第1题]]

[[2016年IOAA天文馆观测第2题]]

[[2016年IOAA星图观测第1-5题]]

[[2016年IOAA夜间观测第1题]]

[[2016年IOAA夜间观测第2题]]

[[2016年IOAA夜间观测第3题]]

== 团队比赛 ==
[[2016年IOAA团队比赛第1题]]

==中国队参赛名单==
{| class="wikitable"
|-
! 标题文字 !! 标题文字 !! 标题文字
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|-
| 示例 || 示例 || 示例
|}

==参与国家==

==相关链接==

http://www.ioaa2016.in
[[分类:按赛事索引]]

IAO2016

2019-09-21T09:44:41Z

Heavens above：

{{内容需要完善}}
第21届IAO于2016年10月6日-10月12日在保加利亚斯莫梁举办。

==理论考试==

==实测考试==

==观测考试==

==中国队参赛名单==

{| class="wikitable"
|+
|姓名
|组别
|地区
|奖项
|-
|董袁可沁
|低
|江苏
|三等
|-
|田秋实
|低
|北京
|参与
|-
|张瀚
|低
|北京
|二等
|-
|黎凯昕
|高
|广东
|三等
|-
|王彧辰
|高
|北京
|二等
|}

==参与国家==

==相关链接==

[[分类:按赛事索引]]

2017年IAO理论低年组第5题-涡状星系

2019-09-21T09:25:26Z

Heavens above：/* 中文题目 */

{{需要解答}}
==英文题目==
'''α-5. Whirlpool galaxy.''' An imaging observation of Messier object M51, consisted of galaxy
NGC 5194 (α=13h29m6s, δ=+47°13’50") and its companion NGC 5195, was made by the
1-m telescope of Weihai Observatory (WHO), on December 25, 2014. The V-band image is
shown in Fig.a5. (see separate sheet), the bounding box marks the field of view of the image
taken by the telescope (with focal length of 8 meters) and the PI CCD (2048 x 2048, pixel size
13.5 μm x 13.5 μm).

'''5.1.''' Find the Beijing time (UTC+08, write the answer in 24h format: hh:mm) of the upper
culmination of NGC 5194 in Weihai Observatory on the observing date, in form of «Tc = ...».

'''5.2.''' Estimate the angular size (diameter) of NGC 5194 (in units of arc minutes, write the
answer in form of «β= ...»).

'''5.3.''' If the physical size of NGC 5194 is known as about half the size of the Milky Way
Galaxy, estimate the distance to M51 (in units of Mpc, write the answer in form of «L= ...»).

'''5.4.''' Which is the morphological type of NGC 5194 ("elliptical", "spiral", "barred spiral",
"irregular")? Write the answer in English in form of «Type= ...».

[[文件:IAO2017Tα5.jpg|缩略图|IAO2017Tα5]]
==中文题目==
'''α-5 漩涡星系'''

梅西耶天体M51的成像观测图像由星系NGC 5194（α= 13h29m6s，δ= + 47°13'50"）及其伴星系NGC 5195组成，由山东大学威海天文台（WHO）1米望远镜拍摄。 2014年12月25日.V波段图像如图a5所示（见单独的表格），边界框标记望远镜拍摄的图像的视场（焦距为8米）和PI CCD （2048 x 2048，像素大小13.5μm X 13.5μm）。

5.1 在观测日期，以“Tc = ...”的形式给出NGC 5194在山东大学威海天文台上中天的北京时间（UTC + 08，以24h格式写出答案：hh：mm）。

（天文台位置：东经 122.06° 北纬 37.52°）

5.2 估算NGC 5194的视角大小（直径）（以'''弧分'''为单位，以“β= ...”的形式写出答案）。

5.3 如果知道NGC 5194的物理尺寸大约是银河系大小的一半，那么估算地球到M51的距离。（以Mpc为单位，以“L = ......”的形式写出答案）。

5.4 NGC 5194是哪种形态类型的星系？（“椭圆形”，“螺旋形”，“条形螺旋形”，“不规则形”）？用«Type = ...»的形式用英语写下答案。

==解答==

[[分类:望远镜]]

2018年IAO理论低年组第4题-科伦坡地球静止轨道卫星

2019-09-21T09:22:19Z

Heavens above：

==英文题目==

'''Colombo. Geostationary satellite'''

'''4.1.''' At what minimun zenith distance can a geostationary satellite be observed from Colombo? Suppose that such a satellite is observed as a 2m star in the night sky.

'''4.2.''' How long during a day(24h) can we see this satellite with the naked eye (in a clear sky)?

'''4.3.''' Estimate teh size of the satellite, considering it a polished metallic sphere.
==中文题目==
'''科伦坡地球静止卫星'''

'''4.1''' 从科伦坡可以观测到的地球静止卫星的天顶距最小为多少？假设这样的卫星与夜空中的2等星光度相等。

'''4.2''' 在一天（24小时）中我们可以用肉眼在晴朗的天空中看到这颗卫星多长时间？

'''4.3''' 估计卫星的大小，考虑它是抛光金属球（反射率为100%）。

==英文解答==

'''Geostationary satellite'''

'''4.1.'''Geostationary satellites are located above the same equator point. Terefore, each actual stellite is always visible at one point for a stationary observer on Earth.

It should be noted that the geostationary satellite should not be confused with a geosynchronous one, the orbit with a nonzero eccentricity or slight inclination with respect to the equator. Such a satellite in the sky describes loops and eights for observers on the Earth.

A geostationary satellite has a circular queatorial orbit with diameter R under the conditions:

$$\omega^{2}R_{st}\ =\ GM/R_{st}$$,

$$R_{st}^3\ =\ GM/\omega^2\ =\ GMT^2/4\pi^2$$,

where G is the gravitation constant, M is the mass of the Earth, T is the period of the Earth's revolution around its axis (23h56m04s). The calculations give the result

$$R_{st}\ =\ 42\ 160\ km$$.

It is obvious that of all the possible geotaionary satellites, the smallest zenitn distance has a satellite located on the meridian of the observer. From the drawing we see that the zenith distance is z = φ + Ψ, where φ is the latitude,and Ψ is the angle at which the "equatorial pane - Colombo" segment is visble from the satellite. We can use the latitude os the plane in Colombo, which is indicated as"seafront in the center", 06°54′).

$$tan\psi\ =\ rsin\psi/(R-rcos\psi)$$,

The calculations give

$$\psi\ \approx\ 1°14′$$.

$$z\ \approx\ 08°08′$$.

'''4.2.''' This satellite can be observed all the dark time of day from the moment when 2m stars become visible (apporximately the end of evening civil teilight) to the corresponding moment in the morning, except the possible period when the satellite falls into the shadow of the Earth. the indicated "dark time of day" is 11h 12m (12h - 2×24 m) in average, and can continue in Colombo from 11h00m in summer to 11h24m in winter and in summer the satellite is never eclipsed by the Earth (and therefore visible all night), but in periods close to the equinoxes, such eclipses in the middle of the night are regular. In maximum they last approximately the time T = 24h × 0.9·DE / 2πRst (we use here just 24h, since the movement is aynodic, DE is the diameter of the Earth, anf the coefficient 0.9 appears due to the narrowing of the earth shadow cone.

$$T_{max}\ =\ 62\ min$$.

This, in periods close to the equinoxes, when the "dark time of day" is 11h12m, the duration of visibility can be reduced by 62 minutes, that is, to 10h20m. Thus, the answer to the second question of the problem is: from 10h20m to 11h24m.

'''4.3.''' Let us compare the light fluxes coming to the observer (O) from the satellite (s) and from the full Moon (L).

If

W = light flux from the Sun near Earth,

ai = albedo of the observed objects,

Si = πri2 = πdi2/4, where ri and di are the radius and the diameter of the observed objects respectively,

Ri = distances from the observed objects to the observer:

Flux from Moon to boserver: lL = W·aL·SL/(2πRLO2).

Flux from satellite to observer: lS = W·aS·SS/(4πRSO).

(We do not take into account effects related to diagrams of scattering and random/mirror scattering. In the student's solutions it's also not reallt necessary to understand the difference between the coefficients of 2πand the 4π in 2πRLO and 4πRSO2.)

Since the satellite was made of polished metal, we may assume ·aS = 1.

Thus,

$$l_{L}\ /\ l_{s}\ =\ a_{L}·(S_{L}\ /\ S_{S})·(4{\pi}{R_{SO}}^{2}\ /\ 2{\pi}{R_{LO}}^{2})\ =\ 2a_{L}·(d_{L}/d_{S})^{2}·(R_{SO}/R_{LO})^{2}$$.

Necessary data may be taken from the Table of planetary data. Calculations may then give us:

$$l_{S}/l_{L}\ =\ 10^{-0.4(m_{S}-m_{L})}\ =\ 10^{-0.4(2+12.7)}\ ≈\ 1.3·10^{-6}$$,

and

$$d_{S}\ =\ 3.475·10^{6}\ m\ ×\ (2·0.07·1.3·10^{-6})^{1/2}·3.6·10^{7}\ m\ ≈\ 140\ m$$.
==中文解答==

'''4.1'''

地球静止卫星的星下点轨迹为赤道上的固定一点。因此，对于地球上的静止观察者来说，每个地球静止卫星都总是在天空中固定的一个点可见。

应该指出的是，地球静止卫星不应与地球同步卫星相混淆，地球静止轨道（克拉克轨道）是地球同步轨道的一种特例（即轨道倾角为零的地球同步轨道）。当卫星运行在地球静止轨道上时，它的星下点轨迹为赤道上的固定一点。而当卫星运行在轨道倾角不为零的其他地球同步轨道上时，它的星下点轨迹为一个“8”字。

地球静止卫星在以下条件下具有直径为R的圆形赤道轨道：

$$\omega^{2}R_{st}\ =\ GM/R_{st}$$,

$$R_{st}^3\ =\ GM/\omega^2\ =\ GMT^2/4\pi^2$$，

其中G是引力常数，M是地球的质量，T是地球围绕其轴旋转的周期（23h56m04s）。计算给出了结果

$$R_{st}\ =\ 42160\ km$$。

很明显，位于观察者的子午线上的卫星有着最小的天顶距。该天顶距Ζ=φ+ψ，其中φ是观测者的纬度，ψ则是科伦坡到赤道面距离对卫星的张角。则：
$$tan\psi\ =\ rsin\psi/(R-rcos\psi)$$

计算给出

$$\psi\ \approx\ 1°14′$$.

$$z\ \approx\ 08°08′$$

'''4.2'''

假设该卫星可以在2m 星可见的黑夜（大约是晚上的民用昏影之后，除去卫星可能进入地球阴影的情形外）。这一时长平均为每天11h 12m (即12h - 2×24 m)，这一时长在夏天为11h00m到冬季则为11h24m。很容易理解，在夏季和冬季时，该卫星不会进入到地球的阴影里，因此整夜可见。

但在每年的春秋分前后，该卫星每天会进入地球阴影。它在阴影里的最大时长应为 T = 24h × 0.9·DE / 2πRst

其中DE为地球的直径，系数0.9源自地球阴影的锥形形状，计算可得

$$T_{max}\ =\ 62\ min$$

所以，在春秋分前后，卫星每晚的可见时间11h12m，还需减去62分钟，即 10h20m。因此，问题的第二个问题的答案是：从 10h20m到 11h12m。

'''4.3'''

让我们比较来自卫星和满月（L）的观察者（O）的光通量。

如果

W =来自地球附近太阳的光通量，

ai =被观察物体的反照率，

Si = πri2 = πdi2/4，其中 ri和 di分别是被观察物体的半径和直径，

Ri =从观察对象到观察者的距离：

从月球到支架的通量： lL = W·aL·SL/(2πRLO2)

观测者收到的月球的光流量：

IL=WαLSL/(2πRLO2)

观测者收到的卫星的光流量：

IS=WαSSS/(4πRLO2)

对于光亮的金属表面：αS=1

由上可得：

$$l_{L}\ /\ l_{s}\ =\ a_{L}·(S_{L}\ /\ S_{S})·(4{\pi}{R_{SO}}^{2}\ /\ 2{\pi}{R_{LO}}^{2})\ =\ 2a_{L}·(d_{L}/d_{S})^{2}·(R_{SO}/R_{LO})^{2}$$.

从所提供的行星数据表可得：

$$l_{S}/l_{L}\ =\ 10^{-0.4(m_{S}-m_{L})}\ =\ 10^{-0.4(2+12.7)}\ ≈\ 1.3·10^{-6}$$,

$$d_{S}\ =\ 3.475·10^{6}\ m\ ×\ (2·0.07·1.3·10^{-6})^{1/2}·3.6·10^{7}\ m\ ≈\ 140\ m$$.

2018年IAO理论低年组第4题-科伦坡地球静止轨道卫星

2019-09-21T09:17:15Z

Heavens above：

==英文题目==

'''Colombo. Geostationary satellite'''

'''4.1.''' At what minimun zenith distance can a geostationary satellite be observed from Colombo? Suppose that such a satellite is observed as a 2m star in the night sky.

'''4.2.''' How long during a day(24h) can we see this satellite with the naked eye (in a clear sky)?

'''4.3.''' Estimate teh size of the satellite, considering it a polished metallic sphere.
==中文题目==
'''科伦坡地球静止卫星'''

'''4.1''' 从科伦坡可以观测到的地球静止卫星的天顶距最小为多少？假设这样的卫星与夜空中的2等星光度相等。

'''4.2''' 在一天（24小时）中我们可以用肉眼在晴朗的天空中看到这颗卫星多长时间？

'''4.3''' 估计卫星的大小，考虑它是抛光金属球（反射率为100%）。

==英文解答==

'''Geostationary satellite'''

'''4.1.'''Geostationary satellites are located above the same equator point. Terefore, each actual stellite is always visible at one point for a stationary observer on Earth.

It should be noted that the geostationary satellite should not be confused with a geosynchronous one, the orbit with a nonzero eccentricity or slight inclination with respect to the equator. Such a satellite in the sky describes loops and eights for observers on the Earth.

A geostationary satellite has a circular queatorial orbit with diameter R under the conditions:

$$\omega^{2}R_{st}\ =\ GM/R_{st}$$,

$$R_{st}^3\ =\ GM/\omega^2\ =\ GMT^2/4\pi^2$$,

where G is the gravitation constant, M is the mass of the Earth, T is the period of the Earth's revolution around its axis (23h56m04s). The calculations give the result

$$R_{st}\ =\ 42\ 160\ km$$.

It is obvious that of all the possible geotaionary satellites, the smallest zenitn distance has a satellite located on the meridian of the observer. From the drawing we see that the zenith distance is z = φ + Ψ, where φ is the latitude,and Ψ is the angle at which the "equatorial pane - Colombo" segment is visble from the satellite. We can use the latitude os the plane in Colombo, which is indicated as"seafront in the center", 06°54′).

$$tan\psi\ =\ rsin\psi/(R-rcos\psi)$$,

The calculations give

$$\psi\ \approx\ 1°14′$$.

$$z\ \approx\ 08°08′$$.

'''4.2.''' This satellite can be observed all the dark time of day from the moment when 2m stars become visible (apporximately the end of evening civil teilight) to the corresponding moment in the morning, except the possible period when the satellite falls into the shadow of the Earth. the indicated "dark time of day" is 11h 12m (12h - 2×24 m) in average, and can continue in Colombo from 11h00m in summer to 11h24m in winter and in summer the satellite is never eclipsed by the Earth (and therefore visible all night), but in periods close to the equinoxes, such eclipses in the middle of the night are regular. In maximum they last approximately the time T = 24h × 0.9·DE / 2πRst (we use here just 24h, since the movement is aynodic, DE is the diameter of the Earth, anf the coefficient 0.9 appears due to the narrowing of the earth shadow cone.

$$T_{max}\ =\ 62\ min$$.

This, in periods close to the equinoxes, when the "dark time of day" is 11h12m, the duration of visibility can be reduced by 62 minutes, that is, to 10h20m. Thus, the answer to the second question of the problem is: from 10h20m to 11h24m.

'''4.3.''' Let us compare the light fluxes coming to the observer (O) from the satellite (s) and from the full Moon (L).

If

W = light flux from the Sun near Earth,

ai = albedo of the observed objects,

Si = πri2 = πdi2/4, where ri and di are the radius and the diameter of the observed objects respectively,

Ri = distances from the observed objects to the observer:

Flux from Moon to boserver: lL = W·aL·SL/(2πRLO2).

Flux from satellite to observer: lS = W·aS·SS/(4πRSO).

(We do not take into account effects related to diagrams of scattering and random/mirror scattering. In the student's solutions it's also not reallt necessary to understand the difference between the coefficients of 2πand the 4π in 2πRLO and 4πRSO2.)

Since the satellite was made of polished metal, we may assume ·aS = 1.

Thus,

$$l_{L}\ /\ l_{s}\ =\ a_{L}·(S_{L}\ /\ S_{S})·(4{\pi}{R_{SO}}^{2}\ /\ 2{\pi}{R_{LO}}^{2})\ =\ 2a_{L}·(d_{L}/d_{S})^{2}·(R_{SO}/R_{LO})^{2}$$.

Necessary data may be taken from the Table of planetary data. Calculations may then give us:

$$l_{S}/l_{L}\ =\ 10^{-0.4(m_{S}-m_{L})}\ =\ 10^{-0.4(2+12.7)}\ ≈\ 1.3·10^{-6}$$,

and

$$d_{S}\ =\ 3.475·10^{6}\ m\ ×\ (2·0.07·1.3·10^{-6})^{1/2}·3.6·10^{7}\ m\ ≈\ 140\ m$$.
==中文解答==

'''4.1'''

地球静止卫星的星下点轨迹为赤道上的固定一点。因此，对于地球上的静止观察者来说，每个地球静止卫星都总是在天空中固定的一个点可见。

应该指出的是，地球静止卫星不应与地球同步卫星相混淆，地球静止轨道（克拉克轨道）是地球同步轨道的一种特例（即轨道倾角为零的地球同步轨道）。当卫星运行在地球静止轨道上时，它的星下点轨迹为赤道上的固定一点。而当卫星运行在轨道倾角不为零的其他地球同步轨道上时，它的星下点轨迹为一个“8”字。

地球静止卫星在以下条件下具有直径为R的圆形赤道轨道：

$$\omega^{2}R_{st}\ =\ GM/R_{st}$$,

$$R_{st}^3\ =\ GM/\omega^2\ =\ GMT^2/4\pi^2$$，

其中G是引力常数，M是地球的质量，T是地球围绕其轴旋转的周期（23h56m04s）。计算给出了结果

$$R_{st}\ =\ 42160\ km$$。

很明显，位于观察者的子午线上的卫星有着最小的天顶距。该天顶距Ζ=φ+ψ，其中φ是观测者的纬度，ψ则是科伦坡到赤道面距离对卫星的张角。则：
$$tan\psi\ =\ rsin\psi/(R-rcos\psi)$$

计算给出

$$\psi\ \approx\ 1°14′$$.

$$z\ \approx\ 08°08′$$

'''4.2'''

假设该卫星可以在2m 星可见的黑夜（大约是晚上的民用昏影之后，除去卫星可能进入地球阴影的情形外）。这一时长平均为每天11h 12m (即12h - 2×24 m)，这一时长在夏天为11h00m到冬季则为11h24m。很容易理解，在夏季和冬季时，该卫星不会进入到地球的阴影里，因此整夜可见。

但在每年的春秋分前后，该卫星每天会进入地球阴影。它在阴影里的最大时长应为 T = 24h × 0.9·DE / 2πRst

其中DE为地球的直径，系数0.9源自地球阴影的锥形形状，计算可得

$$T_{max}\ =\ 62\ min$$

所以，在春秋分前后，卫星每晚的可见时间11h12m，还需减去62分钟，即 10h20m。因此，问题的第二个问题的答案是：从 10h20m到 11h12m。

'''4.3'''

让我们比较来自卫星和满月（L）的观察者（O）的光通量。

如果

W =来自地球附近太阳的光通量，

ai =被观察物体的反照率，

Si = πri2 = πdi2/4，其中 ri和 di分别是被观察物体的半径和直径，

Ri =从观察对象到观察者的距离：

从月球到支架的通量： lL = W·aL·SL/(2πRLO2)

观测者收到的月球的光流量：

IL=WαLSL/(2πRLO2)

观测者收到的卫星的光流量：

IS=WαSSS/(4πRLO2)

对于光亮的金属表面：αS=1

由上可得：IL/IS=2aL(dL/dS)2(RSO/RLO)2

从所提供的行星数据表可得：

IL/IS=10-0.4(mS-mL)=10-0.4(2+12.7)=1.3×10-8

dS=3.475×106m×(2×0.07×1.3×10-6)0.5×3.6×107m/3.8×108m=140m

2018年IAO理论低年组第4题-科伦坡地球静止轨道卫星

2019-09-21T06:15:30Z

Heavens above：/* 中文解答 */

{{内容需要完善}}
==英文题目==

'''Colombo. Geostationary satellite'''

'''4.1.''' At what minimun zenith distance can a geostationary satellite be observed from Colombo? Suppose that such a satellite is observed as a 2m star in the night sky.

'''4.2.''' How long during a day(24h) can we see this satellite with the naked eye (in a clear sky)?

'''4.3.''' Estimate teh size of the satellite, considering it a polished metallic sphere.
==中文题目==
'''科伦坡地球静止卫星'''

'''4.1''' 从科伦坡可以观测到的地球静止卫星的天顶距最小为多少？假设这样的卫星与夜空中的2等星光度相等。

'''4.2''' 在一天（24小时）中我们可以用肉眼在晴朗的天空中看到这颗卫星多长时间？

'''4.3''' 估计卫星的大小，考虑它是抛光金属球（反射率为100%）。

==英文解答==

'''Geostationary satellite'''

'''4.1.'''Geostationary satellites are located above the same equator point. Terefore, each actual stellite is always visible at one point for a stationary observer on Earth.

It should be noted that the geostationary satellite should not be confused with a geosynchronous one, the orbit with a nonzero eccentricity or slight inclination with respect to the equator. Such a satellite in the sky describes loops and eights for observers on the Earth.

A geostationary satellite has a circular queatorial orbit with diameter R under the conditions:

$$\omega^{2}R_{st}\ =\ GM/R_{st}$$,

$$R_{st}^3\ =\ GM/\omega^2\ =\ GMT^2/4\pi^2$$,

where G is the gravitation constant, M is the mass of the Earth, T is the period of the Earth's revolution around its axis (23h56m04s). The calculations give the result

$$R_{st}\ =\ 42\ 160\ km$$.

It is obvious that of all the possible geotaionary satellites, the smallest zenitn distance has a satellite located on the meridian of the observer. From the drawing we see that the zenith distance is z = φ + Ψ, where φ is the latitude,and Ψ is the angle at which the "equatorial pane - Colombo" segment is visble from the satellite. We can use the latitude os the plane in Colombo, which is indicated as"seafront in the center", 06°54′).

$$tan\psi\ =\ rsin\psi/(R-rcos\psi)$$,

The calculations give

$$\psi\ \approx\ 1°14′$$.

$$z\ \approx\ 08°08′$$.

'''4.2.''' This satellite can be observed all the dark time of day from the moment when 2m stars become visible (apporximately the end of evening civil teilight) to the corresponding moment in the morning, except the possible period when the satellite falls into the shadow of the Earth. the indicated "dark time of day" is 11h 12m (12h - 2×24 m) in average, and can continue in Colombo from 11h00m in summer to 11h24m in winter and in summer the satellite is never eclipsed by the Earth (and therefore visible all night), but in periods close to the equinoxes, such eclipses in the middle of the night are regular. In maximum they last approximately the time T = 24h × 0.9·DE / 2πRst (we use here just 24h, since the movement is aynodic, DE is the diameter of the Earth, anf the coefficient 0.9 appears due to the narrowing of the earth shadow cone.

$$T_{max}\ =\ 62\ min$$.

This, in periods close to the equinoxes, when the "dark time of day" is 11h12m, the duration of visibility can be reduced by 62 minutes, that is, to 10h20m. Thus, the answer to the second question of the problem is: from 10h20m to 11h24m.

'''4.3.''' Let us compare the light fluxes coming to the observer (O) from the satellite (s) and from the full Moon (L).

If

W = light flux from the Sun near Earth,

ai = albedo of the observed objects,

Si = πri2 = πdi2/4, where ri and di are the radius and the diameter of the observed objects respectively,

Ri = distances from the observed objects to the observer:

Flux from Moon to boserver: lL = W·aL·SL/(2πRLO2).

Flux from satellite to observer: lS = W·aS·SS/(4πRSO).

(We do not take into account effects related to diagrams of scattering and random/mirror scattering. In the student's solutions it's also not reallt necessary to understand the difference between the coefficients of 2πand the 4π in 2πRLO and 4πRSO2.)

Since the satellite was made of polished metal, we may assume ·aS = 1.

Thus,

$$l_{L}\ /\ l_{s}\ =\ a_{L}·(S_{L}\ /\ S_{S})·(4{\pi}{R_{SO}}^{2}\ /\ 2{\pi}{R_{LO}}^{2})\ =\ 2a_{L}·(d_{L}/d_{S})^{2}·(R_{SO}/R_{LO})^{2}$$.

Necessary data may be taken from the Table of planetary data. Calculations may then give us:

$$l_{S}/l_{L}\ =\ 10^{-0.4(m_{S}-m_{L})}\ =\ 10^{-0.4(2+12.7)}\ ≈\ 1.3·10^{-6}$$,

and

$$d_{S}\ =\ 3.475·10^{6}\ m\ ×\ (2·0.07·1.3·10^{-6})^{1/2}·3.6·10^{7}\ m\ ≈\ 140\ m$$.
==中文解答==

'''4.1'''

地球静止卫星的星下点轨迹为赤道上的固定一点。因此，对于地球上的静止观察者来说，每个地球静止卫星都总是在天空中固定的一个点可见。

应该指出的是，地球静止卫星不应与地球同步卫星相混淆，地球静止轨道（克拉克轨道）是地球同步轨道的一种特例（即轨道倾角为零的地球同步轨道）。当卫星运行在地球静止轨道上时，它的星下点轨迹为赤道上的固定一点。而当卫星运行在轨道倾角不为零的其他地球同步轨道上时，它的星下点轨迹为一个“8”字。

地球静止卫星在以下条件下具有直径为R的圆形赤道轨道：

$$\omega^{2}R_{st}\ =\ GM/R_{st}$$,

$$R_{st}^3\ =\ GM/\omega^2\ =\ GMT^2/4\pi^2$$，

其中G是引力常数，M是地球的质量，T是地球围绕其轴旋转的周期（23h56m04s）。计算给出了结果

$$R_{st}\ =\ 42160\ km$$。

很明显，位于观察者的子午线上的卫星有着最小的天顶距。该天顶距Ζ=φ+ψ，其中φ是观测者的纬度，ψ则是科伦坡到赤道面距离对卫星的张角。则：
$$tan\psi\ =\ rsin\psi/(R-rcos\psi)$$

计算给出

$$\psi\ \approx\ 1°14′$$.

$$z\ \approx\ 08°08′$$

'''4.2'''

假设该卫星可以在2m 星可见的黑夜（大约是晚上的民用昏影之后，除去卫星可能进入地球阴影的情形外）。这一时长平均为每天11h 12m (即12h - 2×24 m)，这一时长在夏天为11h00m到冬季则为11h24m。很容易理解，在夏季和冬季时，该卫星不会进入到地球的阴影里，因此整夜可见。

但在每年的春秋分前后，该卫星每天会进入地球阴影。它在阴影里的最大时长应为 T = 24h × 0.9·DE / 2πRst

其中DE为地球的直径，系数0.9源自地球阴影的锥形形状，计算可得

$$T_{max}\ =\ 62\ min$$

所以，在春秋分前后，卫星每晚的可见时间11h12m，还需减去62分钟，即 10h20m。因此，问题的第二个问题的答案是：从 10h20m到 11h12m。

'''4.3'''

让我们比较来自卫星和满月（L）的观察者（O）的光通量。

如果

W =来自地球附近太阳的光通量，

ai =被观察物体的反照率，

Si = πri2 = πdi2/4，其中 ri和 di分别是被观察物体的半径和直径，

Ri =从观察对象到观察者的距离：

从月球到支架的通量： lL = W·aL·SL/(2πRLO2)

观测者收到的月球的光流量：

IL=WαLSL/(2πRLO2)

观测者收到的卫星的光流量：

IS=WαSSS/(4πRLO2)

对于光亮的金属表面：αS=1

由上可得：IL/IS=2aL(dL/dS)2(RSO/RLO)2

从所提供的行星数据表可得：

IL/IS=10-0.4(mS-mL)=10-0.4(2+12.7)=1.3×10-8

dS=3.475×106m×(2×0.07×1.3×10-6)0.5×3.6×107m/3.8×108m=140m

2016年APAO理论第5题-小行星

2019-09-21T05:43:30Z

Heavens above：

==题目==

图片显示了小行星X（Asteroid X）在天空中的轨迹，拍摄于它冲日时附近，曝光时间为85分钟。图上底部标出了1角分所对应的比例尺。

5.1 计算小行星X的角速度，以“角秒/秒”为单位。

5.2 小行星在星空背景中的运动，是由于其自身绕太阳的公转与地球让太阳的公转的叠加。假设小行星和地球的轨道均为圆形且共面，请通过数学计算推导出如下的小行星自行公式（单位为“角度值/秒”）：
$$\mu = \frac{2π}{P}×\frac{1}{\frac{R}{R_{E}}+\sqrt{\frac{R}{R_{E}}}}$$

式中P为地球的轨道周期（空转周期），R和RE分别为小行星和地球的轨道半径。

5.3 结合以上两问，计算当天小行星X到地球的距离。

==解答==
{{还未编辑完成}}

2016年APAO理论第6题-不可思议之星

2019-09-21T05:42:01Z

Heavens above：

==题目==
刍藁（chú gāo)增二（Mira,鲸鱼座 ο（Cet ο),在拉丁语中意味着不可思议之星）是鲸鱼座中的双星，由一颗红巨星Mira A和一颗白矮星 Mira B组成。Mira A是一颗长周期脉动变星。Mira A+B系统星等的变化显示在图6中。图中横坐标为时间，总长度为20年，纵坐标为系统的星等mA+B。

6.1 估计该星的脉动周期，以“天”为单位。

6.2 估计Mira A的半径变化了多少倍（只考虑在这20年内的最大变化）。可以忽略该星表面温度的变化。Mira B的星等为mB=10.5m。
[[文件:不可思议之星图片.jpg|居中|图片]]

==解答==

2016年APAO理论第6题-不可思议之星

2019-09-21T05:40:29Z

Heavens above：

{{内容需要完善}}
==题目==
刍藁（chú gāo)增二（Mira,鲸鱼座 ο（Cet ο),在拉丁语中意味着不可思议之星）是鲸鱼座中的双星，由一颗红巨星Mira A和一颗白矮星 Mira B组成。Mira A是一颗长周期脉动变星。Mira A+B系统星等的变化显示在图6中。图中横坐标为时间，总长度为20年，纵坐标为系统的星等mA+B。

6.1 估计该星的脉动周期，以“天”为单位。

6.2 估计Mira A的半径变化了多少倍（只考虑在这20年内的最大变化）。可以忽略该星表面温度的变化。Mira B的星等为mB=10.5m。
[[文件:不可思议之星图片.jpg|居中|图片]]

==解答==

编辑指南

2019-09-21T05:29:11Z

Heavens above：/* 关于公式 */

本文是关于Astro-init网站上内容的基本格式，以及用户提交这些内容的步骤。
==题目页面==
题目页面的标题应严格按照格式，年份+赛事+类型+（年级组）+题号+题目标题：

2017年IAO理论低年组第4题-美国日食

每道题根据考察的知识点，需要在页面末尾添加相应的分类标记。每道题可以添加一到两个最相关的标记。
当一个题目暂时没有解答时，应该在页面的最开头添加“需要解答”模板。

（创建新页面：如果你在搜索框中输入关键字时无对应页面，则你可以创建以此关键字为题的页面。）

===选择题===
每次赛事的选择题合并为一个页面，包含题目原文、中文翻译、答案、计算题的解答等大标题。
选择题中有必要提供步骤的计算选择题单独一个页面，并将这个题目页面的链接放在相应页面的“计算题解答”部分。

===简答题===
每个简答题单独一个页面。题目页面应包含“原文题目”“中文翻译”和“解答”等几个大标题。
对于高低年组有不同版本的题目，页面开头应该链接另一个年龄组对应的题目。
题目的原文应尽可能与来源的格式保持一致。原文题目的题号、分值和标题应该加粗。其他的题目文本按照原文中的格式即可。
解答部分应该注明解答是来自于官方答案的翻译还是自己独立完成的。如果解答步骤过长，可以添加小一级的标题。
在添加解答之后，如果有必要对一些相关问题进行讨论，可以增加“评论”部分，在这一部分写下你对这个题目的看法。

==赛事页面==
赛事页面的标题格式为赛事缩写+年份。页面开头是这届比赛的届数、举办的时间、地点、logo（如果有）。如果赛事的页面除题目列表之外的信息不完整，应该在页面的最开头添加“内容需要完善”模板。、

赛事页面的最末尾应该加入分类“按赛事索引”。

===国际赛事===
国际赛事页面应包含题目列表、中国队参赛名单、参与国家、相关链接等部分。理论、实测、观测等比赛的题目分为三个大标题。
===CNAO===
CNAO页面应包含题目列表、获奖名单、相关链接等部分。
===外国赛事===
外国的赛事需要有完整的题目列表和相关链接，其他内容不做硬性要求。

==源代码编辑==
对于熟练的用户，直接使用源代码编辑页面可能效率更高。网站使用的样式并不复杂，只需要掌握如下几个标记就足够了。

源代码中的换行需要用一个完整的空行分隔。

大标题：使用两个等号包围，如下：
==英文题目==
中标题：使用三个等号包围，如下：
===试题讨论和翻译===
加粗：使用三个单引号将文本包围，如下：
<nowiki>'''α-4. Eclipse in USA'''</nowiki>
斜体：使用两个单引号将文本包围，如下：
<nowiki>''斜体文本''</nowiki>
引用本站页面：使用双中括号将文本包围，如下：
<nowiki>[[IOAA]]</nowiki>
题目分类：与引用页面类似，如下：
<nowiki>[[分类:会合周期]]</nowiki>
模板：使用双大括号添加模板（主要用于页首标记），如下:
<nowiki>{{需要解答}}</nowiki>
下标与上标：
<nowiki>下标文字上标文字</nowiki>

==关于公式==
公式使用LaTeX语法。在编辑器中，如果需要插入公式，需要将公式的文本用双美元号包围，如下：
<nowiki>$$h=\frac{H_0}{100kms^{-1}Mpc^{-1}}$$</nowiki>
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使用标记语言描述公式可能较为复杂，但我们还是推荐大家学习这些语法，因为迟早都会学到。

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[[文件:Mathpix snip.png|缩略图|替代=|左]]
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==图片==
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2016年IOAA理论第12题-系外行星

2019-09-21T05:17:51Z

Heavens above：

==题目==
探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
系外行星及其寄主星的多重信息。

本题中，我们考虑一颗质量为Mp，半径为Rp的行星绕一颗质量为Ms(Ms>>Mp)，半径为Rs的恒星公转，公转轨道半径为a。当轨道面的中心轴与视线方向的夹角i趋向于i=90°时，观测者的视线与该行星的轨道面平行，此时被定义为“侧向”。假设没有其他行星绕恒星公转，且Rs<<a。

'''“摆动法”''':

当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
生微弱的多普勒位移。见图1

[[文件:系外行星1.jpg|缩略图|系外行星图1]]
恒星的视向速度可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V1随时间t的周期变化如图所示。
图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V0。

12.1 请用MS和P表示，推导出轨道半径a和轨道线速度Vp。

12.2 请用Ms,v0 和vp表示，推出行星质量下限Mp,min。

'''凌星法'''：

当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒
星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。见图2

[[文件:系外行星2.jpg|缩略图|系外行星图2]]
如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
条弦，弦的中心到圆心的距离为bRs。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
量变化的最大值为Δ。
图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其
中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为tF，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为tT。这些
节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。
凌星法中可测量的物理量有P ,tT ,tF 和 Δ。

12.3 请用含有Rs和a的表达式给出i的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的
现象。

12.4 用Rs和Rp表示Δ。

12.5 用Rs, Rp, a, P和 b表示 tT和 tF。

12.6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为

<nowiki>$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$</nowiki>

12.7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/Rs ，推导过程可以采用适当的近似。

12.8 结合摆动法与凌日法的结论，用tT ,tF<nowiki> ,Δ 和 P表示恒星平均密度，已知
$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。</nowiki>

'''固态还是气态'''：

考虑一个从地球看过去为侧向(i=90°)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星
的质量为$$1.00M_{\bigodot }$$，凌日法观测到的周期P为50.0天，凌日现象的时长为1.00小时，凌日的流量变
化量Δ为0.0064。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为0.400m/s。

12.9 计算行星的轨道半径 a分别以AU和米为单位。

12.10 求系统的 tF/tT比值。

12.11 用地球质量$$M_{\bigoplus }$$和地球半径$$R_{\bigoplus }$$分别求得行星质量Mp与行星半径Rp。行星是固态的还
是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。

'''恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线'''

12.12 考虑一个i=90°的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行
星的尺寸 Rp相等。恒星的自转周期是 2P。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续
五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流
量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子
与行星相遇了。

12.13 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。见图3

[[文件:系外行星3.jpg|缩略图|系外行星图3]]
==解答==

2016年IOAA理论第12题-系外行星

2019-09-21T05:16:06Z

Heavens above：

==题目==
探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
系外行星及其寄主星的多重信息。

本题中，我们考虑一颗质量为Mp，半径为Rp的行星绕一颗质量为Ms(Ms>>Mp)，半径为Rs的恒星公转，公转轨道半径为a。当轨道面的中心轴与视线方向的夹角i趋向于i=90°时，观测者的视线与该行星的轨道面平行，此时被定义为“侧向”。假设没有其他行星绕恒星公转，且Rs<<a。

'''“摆动法”''':

当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
生微弱的多普勒位移。

[[文件:系外行星1.jpg|缩略图|系外行星1]]
恒星的视向速度可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V1随时间t的周期变化如图所示。
图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V0。

12.1 请用MS和P表示，推导出轨道半径a和轨道线速度Vp。

12.2 请用Ms,v0 和vp表示，推出行星质量下限Mp,min。

'''凌星法'''：

当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒
星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。

[[文件:系外行星2.jpg|缩略图|系外行星2]]
如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
条弦，弦的中心到圆心的距离为bRs。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
量变化的最大值为Δ。
图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其
中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为tF，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为tT。这些
节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。
凌星法中可测量的物理量有P ,tT ,tF 和 Δ。

12.3 请用含有Rs和a的表达式给出i的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的
现象。

12.4 用Rs和Rp表示Δ。

12.5 用Rs, Rp, a, P和 b表示 tT和 tF。

12.6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为

<nowiki>$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$</nowiki>

12.7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/Rs ，推导过程可以采用适当的近似。

12.8 结合摆动法与凌日法的结论，用tT ,tF<nowiki> ,Δ 和 P表示恒星平均密度，已知
$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。</nowiki>

'''固态还是气态'''：

考虑一个从地球看过去为侧向(i=90°)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星
的质量为$$1.00M_{\bigodot }$$，凌日法观测到的周期P为50.0天，凌日现象的时长为1.00小时，凌日的流量变
化量Δ为0.0064。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为0.400m/s。

12.9 计算行星的轨道半径 a分别以AU和米为单位。

12.10 求系统的 tF/tT比值。

12.11 用地球质量$$M_{\bigoplus }$$和地球半径$$R_{\bigoplus }$$分别求得行星质量Mp与行星半径Rp。行星是固态的还
是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。

'''恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线'''

12.12 考虑一个i=90°的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行
星的尺寸 Rp相等。恒星的自转周期是 2P。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续
五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流
量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子
与行星相遇了。

12.13 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。

[[文件:系外行星3.jpg|缩略图|系外行星3]]
==解答==

文件:系外行星3.jpg

2019-09-21T05:15:59Z

Heavens above：

系外行星3

文件:系外行星2.jpg

2019-09-21T05:14:56Z

Heavens above：

系外行星2

文件:系外行星1.jpg

2019-09-21T05:13:58Z

Heavens above：

系外行星1

2016年IOAA理论第12题-系外行星

2019-09-21T04:59:20Z

Heavens above：

==题目==
探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
系外行星及其寄主星的多重信息。

本题中，我们考虑一颗质量为Mp，半径为Rp的行星绕一颗质量为Ms(Ms>>Mp)，半径为Rs的恒星公转，公转轨道半径为a。当轨道面的中心轴与视线方向的夹角i趋向于i=90°时，观测者的视线与该行星的轨道面平行，此时被定义为“侧向”。假设没有其他行星绕恒星公转，且Rs<<a。

'''“摆动法”''':

当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
生微弱的多普勒位移。

(图片）
恒星的视向速度可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V1随时间t的周期变化如图所示。
图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V0。

12.1 请用MS和P表示，推导出轨道半径a和轨道线速度Vp。

12.2 请用Ms,v0 和vp表示，推出行星质量下限Mp,min。

'''凌星法'''：

当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒
星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。

（图片）
如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
条弦，弦的中心到圆心的距离为bRs。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
量变化的最大值为Δ。
图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其
中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为tF，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为tT。这些
节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。
凌星法中可测量的物理量有P ,tT ,tF 和 Δ。

12.3 请用含有Rs和a的表达式给出i的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的
现象。

12.4 用Rs和Rp表示Δ。

12.5 用Rs, Rp, a, P和 b表示 tT和 tF。

12.6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为

<nowiki>$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$</nowiki>

12.7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/Rs ，推导过程可以采用适当的近似。

12.8 结合摆动法与凌日法的结论，用tT ,tF<nowiki> ,Δ 和 P表示恒星平均密度，已知
$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。</nowiki>

'''固态还是气态'''：

考虑一个从地球看过去为侧向(i=90°)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星
的质量为$$1.00M_{\bigodot }$$，凌日法观测到的周期P为50.0天，凌日现象的时长为1.00小时，凌日的流量变
化量Δ为0.0064。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为0.400m/s。

12.9 计算行星的轨道半径 a分别以AU和米为单位。

12.10 求系统的 tF/tT比值。

12.11 用地球质量$$M_{\bigoplus }$$和地球半径$$R_{\bigoplus }$$分别求得行星质量Mp与行星半径Rp。行星是固态的还
是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。

'''恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线'''

12.12 考虑一个i=90°的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行
星的尺寸 Rp相等。恒星的自转周期是 2P。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续
五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流
量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子
与行星相遇了。

12.13 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。

==解答==

2016年IOAA理论第12题-系外行星

2019-09-21T04:58:10Z

Heavens above：

==题目==
探测系外行星（太阳系外绕恒星运动的行星）有两种主流方法，一种是视向速度法（或者叫
“摆动法”），另一种是凌日法。本题中，我们将尝试一种将两种方法结合的办法，由此探测
系外行星及其寄主星的多重信息。

本题中，我们考虑一颗质量为Mp，半径为Rp的行星绕一颗质量为Ms(Ms>>Mp)，半径为Rs的恒星公转，公转轨道半径为a。当轨道面的中心轴与视线方向的夹角i趋向于i=90°时，观测者的视线与该行星的轨道面平行，此时被定义为“侧向”。假设没有其他行星绕恒星公转，且Rs<<a。

'''“摆动法”''':
当行星和恒星绕他们的共同质心公转时，恒星会轻微地移动，或者叫“摆动”，因为恒星的质
心并不是严格的恒星-行星系统的共同质心。恒星摆动造成的速度改变会引起恒星发出的光线产
生微弱的多普勒位移。

(图片）
恒星的视向速度可以通过已知光谱的多普勒位移求出。视向速度V1随时间t的周期变化如图所示。
图中显示了这种方式可以测得的两个物理量：轨道周期P和视线速度的最大值V0。

12.1 请用MS和P表示，推导出轨道半径a和轨道线速度Vp。

12.2 请用Ms,v0 和vp表示，推出行星质量下限Mp,min。

'''凌星法'''：
当行星绕寄主星转动，且轨道面的方向接近侧向( i≈90°)时，观测者会发现行星周期性地从恒
星前方“凌”。这会引起观测者测得的恒星流量出现微弱的减小。原理图（未按比例绘制）显
示了观测者看到的透视图以及相应的光变曲线（归一化的流量 f 随时间 t 的变化）。

（图片）
如果倾角恰好是90°，那么行星凌恒星的路径就是恒星的直径。如果i取其他值，凌的路径是一
条弦，弦的中心到圆心的距离为bRs。没有行星凌时，恒星的流量为 1，行星发生凌的过程中流
量变化的最大值为Δ。
图中标注了 1 至 4 号四个点，分别对应了行星凌恒星的过程中先后四次与恒星相切的瞬间。其
中，2 号和 3 号之间即两次内切的时间间隔为tF，1 号和 4 号即两次外切的时间间隔为tT。这些
节点也被标在了从旁侧画出的以下示意图中（该图示并不一定成比例）。
凌星法中可测量的物理量有P ,tT ,tF 和 Δ。

12.3 请用含有Rs和a的表达式给出i的取值范围，使得位于遥远距离的观测者都能看到凌的
现象。

12.4 用Rs和Rp表示Δ。

12.5 用Rs, Rp, a, P和 b表示 tT和 tF。

12.6 在轨道半径远大于恒星半径的情况下，证明参数b可以近似表示为

$$b=\left [ 1+\Delta-2\sqrt{\Delta }\frac{1+\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}}{1-\left ( \frac{t_{F}}{t_{T}}\right )^{2}} \right ]^{\frac{1}{2}}$$

12.7 根据（12.6）的结论，用凌星法中的可测量表示a/Rs ，推导过程可以采用适当的近似。

12.8 结合摆动法与凌日法的结论，用tT ,tF ,Δ 和 P表示恒星平均密度，已知
$$\rho _{s}\equiv \frac{M_{s}}{4\pi R_{s}^{3}/3}$$。

'''固态还是气态'''：

考虑一个从地球看过去为侧向(i=90°)的恒星-行星系统（行星轨道为圆轨道）。它的寄主星
的质量为$$1.00M_{\bigodot }$$，凌日法观测到的周期P为50.0天，凌日现象的时长为1.00小时，凌日的流量变
化量Δ为0.0064。同一系统通过摆动法测得的最大视向速度为0.400m/s。

12.9 计算行星的轨道半径 a分别以AU和米为单位。

12.10 求系统的 tF/tT比值。

12.11 用地球质量$$M_{\bigoplus }$$和地球半径$$R_{\bigoplus }$$分别求得行星质量Mp与行星半径Rp。行星是固态的还
是气态的？在答题纸相应的表格中打勾。

'''恒星黑子与邻边昏暗引起的凌星光变曲线'''

12.12 考虑一个i=90°的行星凌恒星过程，在恒星的赤道上有一个黑子。黑子的尺寸与行
星的尺寸 Rp相等。恒星的自转周期是 2P。在答题纸的五个坐标格中分别画出行星连续
五次凌恒星的光变曲线的五幅示意图，在五个示意图中当没有凌的现象时，恒星的流
量分别独立地被归一。假设第一次凌时黑子与行星没有相遇，但是第二次凌时，黑子
与行星相遇了。

12.13 至此之前，我们在此问题中都只考虑了恒星星盘亮度均匀分布的情形。但是在实际宇
宙中，真实的星盘会有临边昏暗（恒星的亮度从视面中心向边缘逐渐减小的现象）的
情形。请画出有显著临边昏暗情形下的凌星光变曲线。

==解答==