==5 恒星基本参数（仅高年组）（20分）==

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

<nowiki>类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{l}(n) - \nu_{l}(n-1)$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构，其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\mu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1\,\mu\mathrm{Hz}$$，有效温度 $$T_{\mathrm{eff},\odot} = 5777\,\mathrm{K}$$。</nowiki>

[[文件:2021-2022CNAO 5.png|缩略图|居中]]

===5.1===

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星，它的观测振动频率 $$\nu(\mu\mathrm{Hz})$$ 如下表所示：<ref>[https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2041-8205/748/1/L10/meta]Metcalfe T S, Chaplin W J, Appourchaux T, et al. Asteroseismology of the solar analogs 16 Cyg A and B from Kepler observations[J]. The Astrophysical Journal Letters, 2012, 748(1): L10.</ref>

{| class="wikitable"
|-
! 节点数 $$n$$ !! 阶数 $$l=0$$ !! 阶数 $$l=1$$
|-
| 15 || 1700.43 || 1746.93
|-
| 16 || 1802.15 || 1849.11
|-
| 17 || 1904.62 || 1951.98
|-
| 18 || 2007.45 || 2055.41
|-
| 19 || 2110.94 || 2158.89
|-
| 20 || 2214.33 || 2262.32
|-
| 21 || 2317.18 || 2366.15
|-
| 22 || 2420.75 || 2470.23
|-
| 23 || 2524.94 || 2575.97
|-
| 24 || 2629.36 || 2678.47
|-
| 25 || 2736.22 || 2783.71
|}

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的大频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

===5.2===

<nowiki>$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：</nowiki>

<nowiki>$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$</nowiki>

<nowiki>其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度 $$T_{\mathrm{eff}}$$ 是可以通过观测获得的量。</nowiki>

<nowiki>已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\mu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\mu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。</nowiki>

===5.3===

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。<ref>[https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0004-637X/743/2/161/meta]White T R, Bedding T R, Stello D, et al. Calculating asteroseismic diagrams for solar-like oscillations[J]. The Astrophysical Journal, 2011, 743(2): 161.</ref>

{| class="wikitable"
|-
!恒星!!<nowiki>$$\nu_{\mathrm{max}}/\mu\mathrm{Hz}$$</nowiki>!!$$\langle\Delta\nu\rangle/\mu\mathrm{Hz}$$!!<nowiki>$$T_{\mathrm{eff}}/\mathrm{K}$$</nowiki>
|-
|α Cen A||2400||105.72||5790
|-
|α Cen B||4100||161.70||5214
|}

==解答==

===5.1===

{| class="wikitable"
|-
! 节点数 $$n$$ !! 阶数 $$l=0$$ !! 阶数 $$l=1$$
|-
| 16-15 || 101.72 || 102.18
|-
| 17-16 || 102.47 || 102.87
|-
| 18-17 || 102.83 || 103.43
|-
| 19-18 || 103.49 || 103.48
|-
| 20-19 || 103.39 || 103.43
|-
| 21-20 || 102.85 || 103.83
|-
| 22-21 || 103.57 || 104.08
|-
| 23-22 || 104.19 || 105.74
|-
| 24-23 || 104.42 || 102.50
|-
| 25-24 || 106.86 || 105.24
|}

$$\langle\Delta\nu_{l=0}\rangle = 103.58\,\mu\mathrm{Hz}$$

$$\langle\Delta\nu_{l=1}\rangle = 103.68\,\mu\mathrm{Hz}$$

===5.2===

$$
\langle\Delta\nu\rangle = \dfrac{1}{2}(\langle\Delta\nu_{l=0}\rangle + \langle\Delta\nu_{l=1}\rangle) = 103.63\,\mu\mathrm{Hz}
$$

由题意得：

$$
\dfrac{g}{g_\odot} = \dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}
$$

$$
\dfrac{\rho}{\rho_\odot} = \left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^2
$$

由 $$g = \dfrac{GM}{R^2}$$ 和 $$\rho = \dfrac{3M}{4\pi R^3}$$ 得：

$$
R = \dfrac{3g}{4\pi G\rho} \propto \dfrac{g}{\rho}
$$

则有：

$$
M = \dfrac{gR^2}{G} \propto gR^2 \propto g^3\rho^{-2}
$$

即：

$$
\dfrac{R}{R_\odot} = \dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-2}
$$

$$
\dfrac{M}{M_\odot} = \left(\dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\right)^3\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-4}
$$

代入数据得到：

{| class="wikitable"
|-
! 恒星 !! $$M/M_\odot$$ !! $$R/R_\odot$$
|-
| 16 Cyg A || 1.00 || 1.19
|}

===5.3===

由上题：

$$
\dfrac{R}{R_\odot} = \dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-2}
$$

$$
\dfrac{M}{M_\odot} = \left(\dfrac{\nu_{\mathrm{max}}T_{\mathrm{eff}}^{\tfrac{1}{2}}}{\nu_{\mathrm{max},\odot}T_{\mathrm{eff},\odot}^{\tfrac{1}{2}}}\right)^3\left(\dfrac{\langle\Delta\nu\rangle}{\langle\Delta\nu_\odot\rangle}\right)^{-4}
$$

代入数据得到：

{| class="wikitable"
|-
! 恒星 !! $$M/M_\odot$$ !! $$R/R_\odot$$
|-
| α Cen A || 1.25 || 1.27
|-
| α Cen B || 0.98 || 0.88
|}

2023-07-20T00:52:18Z

CHN-5：

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-27T16:47:14Z

CHN-5：/* 5.1 */

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-27T16:43:47Z

CHN-5：/* 5.3 */

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-27T16:27:10Z

CHN-5：

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-24T02:30:56Z

CHN-5：/* 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） */

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-24T02:30:28Z

CHN-5：/* 5.1 */

== 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） ==

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{nl} - \nu_{n-1,l}$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构,其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\mu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1\,\mu\mathrm{Hz}$$

[[文件:2021-2022CNAO 5.png|缩略图|居中]]

=== 5.1 ===

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星，它的观测振动频率如下表所示：<ref>[http://dx.doi.org/10.1088/2041-8205/748/1/L10]T. S. Metcalfe et al 2012 ApJL 748 L10</ref>

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

=== 5.2 ===

$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：

$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$

$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$

其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度 $$T_{\mathrm{eff}}$$ 是可以通过观测获得的量。

已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\mu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\mu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。

=== 5.3 ===

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。

{| class="wikitable"
|-
! 恒星 !! $$\nu_{\mathrm{max}}/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$\langle\Delta\nu\rangle/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$T_{\mathrm{eff}}/\mathrm{K}$$
|-
| α Cen A || 2400 || 105.72 || 5790
|-
| α Cen B || 4100 || 161.70 || 5214
|}

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-24T02:28:45Z

CHN-5：/* 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） */

== 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） ==

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{nl} - \nu_{n-1,l}$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构,其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\mu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1\,\mu\mathrm{Hz}$$

[[文件:2021-2022CNAO 5.png|缩略图|居中]]

=== 5.1 ===

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星,它的观测振动频率如下表所示：<ref>[http://dx.doi.org/10.1088/2041-8205/748/1/L10]T. S. Metcalfe et al 2012 ApJL 748 L10</ref>

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

=== 5.2 ===

$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：

$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$

$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$

其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度 $$T_{\mathrm{eff}}$$ 是可以通过观测获得的量。

已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\mu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\mu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。

=== 5.3 ===

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。

{| class="wikitable"
|-
! 恒星 !! $$\nu_{\mathrm{max}}/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$\langle\Delta\nu\rangle/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$T_{\mathrm{eff}}/\mathrm{K}$$
|-
| α Cen A || 2400 || 105.72 || 5790
|-
| α Cen B || 4100 || 161.70 || 5214
|}

文件:2021-2022CNAO 5.png

2023-06-24T02:21:59Z

CHN-5：

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-24T02:21:44Z

CHN-5：/* 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） */

== 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） ==

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{nl} - \nu_{n-1,l}$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构,其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\mu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1\,\mu\mathrm{Hz}$$

[[文件:2021-2022CNAO 5.png|有框|居中]]

=== 5.1 ===

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星,它的观测振动频率如下表所示：<ref>[http://dx.doi.org/10.1088/2041-8205/748/1/L10]T. S. Metcalfe et al 2012 ApJL 748 L10</ref>

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

=== 5.2 ===

$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：

$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$

$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$

其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度$$T_{\mathrm{eff}}$$是可以通过观测获得的量。

已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\mu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\mu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。

=== 5.3 ===

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。

{| class="wikitable"
|-
! 恒星 !! $$\nu_{\mathrm{max}}/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$\langle\Delta\nu\rangle/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$T_{\mathrm{eff}}/\mathrm{K}$$
|-
| α Cen A || 2400 || 105.72 || 5790
|-
| α Cen B || 4100 || 161.70 || 5214
|}

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-24T02:19:05Z

CHN-5：

== 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） ==

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{nl} - \nu_{n-1,l}$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构,其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\mu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1\,\mu\mathrm{Hz}$$

[[文件:2021-2022CNAO 5.jpg|有框|居中]]

=== 5.1 ===

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星,它的观测振动频率如下表所示：<ref>[http://dx.doi.org/10.1088/2041-8205/748/1/L10]T. S. Metcalfe et al 2012 ApJL 748 L10</ref>

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

=== 5.2 ===

$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：

$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$

$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$

其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度$$T_{\mathrm{eff}}$$是可以通过观测获得的量。

已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\mu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\mu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。

=== 5.3 ===

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。

{| class="wikitable"
|-
! 恒星 !! $$\nu_{\mathrm{max}}/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$\langle\Delta\nu\rangle/\mu\mathrm{Hz}$$ !! $$T_{\mathrm{eff}}/\mathrm{K}$$
|-
| α Cen A || 2400 || 105.72 || 5790
|-
| α Cen B || 4100 || 161.70 || 5214
|}

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-06-24T02:09:13Z

CHN-5：

== 5 恒星基本参数（仅高年组）（20分） ==

声波在恒星内部振动的频率变化反映了恒星内部的结构以及演化的状态。利用星震学观测得到的振动频率能够快速地估算出恒星基本参数（如质量、半径）。

类太阳振动中两个重要的参数：大频率间隔 $$\Delta\nu$$（同一阶数 $$l$$ 下，节点数 $$n$$ 相邻的两个频率之差 $$\Delta\nu_l(n) = \nu_{nl} - \nu_{n-1,l}$$），最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max}}$$（功率谱呈现梳子状结构,其振幅最高处附近的振动频率为最大功率谱频率）。如下图所示，横坐标为频率，纵坐标为功率谱。已知太阳的最大功率谱频率 $$\nu_{\mathrm{max},\odot} = 3090\,\nu\mathrm{Hz}$$，大频率间隔平均值 $$\langle\Delta\nu_{\odot}\rangle = 135.1,\nu\mathrm{Hz}$$

[[文件:2021-2022CNAO 5.jpg|有框|居中]]

=== 5.1 ===

16 Cyg A（KIC 12069424，HD 186408）是一颗具有类太阳振动频率的恒星,它的观测振动频率如下表所示：<ref>[http://dx.doi.org/10.1088/2041-8205/748/1/L10]T. S. Metcalfe et al 2012 ApJL 748 L10</ref>

分别计算 16 Cyg A 的大频率间隔 $$\Delta\nu_{l=0}$$，$$\Delta\nu_{l=1}$$ 以及 $$l=0$$ 和 $$l=1$$ 时的频率间隔平均值。（小数点后保留2位）

=== 5.2 ===

$$\Delta\nu$$、$$\nu_{\mathrm{max}}$$ 与恒星表面重力加速度、恒星表面有效温度和密度有如下关系：

$$\nu_{\mathrm{max}} \propto gT_{\mathrm{eff}}^{-\tfrac{1}{2}}$$

$$\langle\Delta\nu\rangle \propto \rho^{\tfrac{1}{2}}$$

其中，$$\langle\Delta\nu\rangle$$ 为大频率间隔平均值，有效温度$$T_{\mathrm{eff}}$$是可以通过观测获得的量。

已知 16 Cyg A 的最大功率谱频率为 $$\nu_{\mathrm{max}} = 2158.89\,\nu\mathrm{Hz}$$（注：原文为$$137.14\,\nu\mathrm{Hz}$$，似乎有误），$$T_{\mathrm{eff}} = 5825\,\mathrm{K}$$，请估算 16 Cyg A 的质量（以太阳质量为单位）和半径（以太阳半径为单位）。

=== 5.3 ===

计算下表中两颗恒星的质量、半径（以太阳质量、太阳半径为单位）。

用户:CHN-5

2023-05-16T11:26:33Z

CHN-5：

=='''探索宇宙奥秘，造福人类社会'''==
本人是 2015 年 CNAO 低年组银牌，APAO 国家队选手；2017 年 CNAO 高年组铜牌，IOAA 银牌。现就读于北京大学天文学系，并是北京大学青天会（阴天教）的一名骨干成员。热衷于天文常识的普及和天文奥赛题目的培训与答疑。作为一个天文奥赛的受益者，滴水之恩当涌泉相报。有什么问题可以来找我呀～

个人主页：https://blog.firestar-reimu.top

GitHub 主页：https://github.com/Firestar-Reimu

用户:CHN-5

2023-05-16T11:25:43Z

CHN-5：

2021-2022年CNAO决赛第5题-恒星基本参数（仅高年组）

2023-02-20T04:15:45Z

CHN-5：添加页面

[[文件:2021-2022CNAO 5.jpg|有框|居中|2021-2022CNAO 5]]

2019中秋国庆活动

2019-10-14T00:43:03Z

CHN-5：/* 奖励！ */

诞生只有两个星期的Astro-init，已经有了97个页面，它们来自17个用户的771次编辑。

[[文件:2019中秋国庆活动-1.png|无框|532x532像素]]

但这还远远不够！We need more！

我们的网站上还有很多题目没有答案，还有许多英文原题没有翻译，有些题目还没来得及发布到网页上。所以各位，愿不愿意接受这个挑战呢？

'''先说奖品：Astro-init做周边啦！'''

Astro-init-α文化衫和Astro-init-Ω文化衫~

[[文件:Alpha文化衫.jpg|无框]]

[[文件:Omega文化衫.jpg|无框]]

当然是免费送啦~活动的规则如下：

==时间==
自9月13日（中秋假期第一天）至10月7日（国庆假期最后一天）；

==参与方式==
在线填写报名表，链接：https://docs.qq.com/form/fill/DQ0VzeW9nR2RMVG5t?_w_tencentdocx_form=1

申请后即可获得限时1个月的omega权限。

==任务==
1）翻译试题。对于缺少中文翻译的题目，在页面中加入你的翻译。翻译不限于网页上已经存在的题目，你也需要创建新的题目页面；

2）提交解答。缺少解答的题目（几乎每个题都缺少解答），提交你的解答。同样不限于已经存在的题目页面。

关于具体的格式和方法，请看[[编辑指南]]。

==计分==
每完成一道题目的翻译和解答，并且审核通过之后，参与者就会得到相应的得分，翻译分与解答分分别计算；

*IOAA：短问题10分。中问题25分，长问题75分，实测75分；
*CNAO：选择计算题5分，理论15分；
*IAO与APAO：每道题25分。
*其他天文奥赛视题目情况，相当于短问题的10分，中问题25分，长问题75分。
*小语种天文奥赛题目的翻译有50%的额外奖励。（是的，我们也有很多其他国家的奥赛题目，想不到吧）

==内容细则==
1.你可以提交官方（英文）解答的翻译版作为解答（计入翻译分），但是需要验证官方解答是正确的，并认真排版、绘图；

2.题目的翻译机翻痕迹不能过于明显。

==奖励！==
10月7日活动截止时，翻译分得分最高的5个用户将会获得Astro-init-α文化衫，解答分得分最高的5个用户将会获得Astro-init-Ω文化衫~

如果你同时在翻译和解题进入了前五，那么你只能在两种奖品中选择一个，另外一个会顺延。

另外，只要你在活动期间进行过有价值的编辑（完整的题目翻译和解答），你的omega权限会永久保留。欢迎你在活动结束后继续提交内容！

'''所以，趁假期，跟大家一起爆肝吧！'''

用户:CHN-5

2019-09-14T05:53:37Z

CHN-5：

=='''发展天文事业，攀登科学高峰'''==
本人是2015年CNAO低年组银牌，APAO国家队选手；2017年CNAO高年组铜牌，IOAA银牌。现就读于北京大学天文学系，并是北京大学青天会（阴天教）的一名骨干成员。热衷于天文常识的普及和天文奥赛题目的培训与答疑。作为一个天文奥赛的受益者，滴水之恩当涌泉相报。有什么问题可以来找我呀~

2017年IOAA理论第13题-系外卫星

2019-09-08T23:03:59Z

CHN-5：

{{页首标记|#98FB98|[[文件:Search-line.png|无框]]|需要解答|本题目目前没有解答。要不要你来试试！}}

==英文原题==
'''Exomoon''' [60 marks]

Exomoons are natural satellites of exoplanets. The gravitational influence of such a moon will affect the position of the planet relative to the planet-moon barycentre, resulting in Transit

2017年IOAA理论第13题-系外卫星

2019-09-08T23:03:03Z

CHN-5：

2019-09-05T15:07:58Z

CHN-5：11

== 英文原题 ==
'''Mass of the Local Group''' [50 marks]

The dynamics of M31 (Andromeda) and the Milky Way (MW) can be used to estimate the total mass of the Local Group (LG). The basic idea is that galaxies currently in a binary system were at approximately the same point in space shortly after the Big Bang. To a reasonable approximation, the mass of the local group is dominated by the masses of the MW and M31. Via Doppler shifts of the spectral lines, it was found that M31 is moving towards the MW with a speed of 118 km s-1. This may be surprising, given that most galaxies are moving away from each other with the general Hubble flow. The fact that M31 is moving towards the MW is presumably because their mutual gravitational attraction has eventually reversed their initial velocities. In principle, if the pair of galaxies is well-represented by isolated point masses, their total mass may be determined by measuring their separation, relative velocity and the time since the universe began. Kahn and Woltjer (1959) used this argument to estimate the mass in the LG.

In this problem we will follow this argument through our calculation as follows.